Gästfrihet på Hilbert Hotel
I början av 1900-talet var universitetet i Göttingen ett av de främsta forskningscentren för matematik i världen. Matematikern David Hilbert var en väletablerad professor där, och under vinterterminen 1924-25 höll han en serie föreläsningar om det oändliga inom matematik, fysik och astronomi. (Dessa och andra föreläsningar av Hilbert publiceras nu i bokform av Springer-Verlag. Boken finns tillgänglig på IAS-biblioteket i översättning och i tysk originalversion). I en av dessa föreläsningar använde han ett exempel för att förklara den avgörande skillnaden mellan ändliga och oändliga mängder: På ett hotell med ett ändligt antal rum, om alla rum är upptagna finns det inget utrymme för nya gäster. Men på ett hotell med oändligt många rum är detta inget problem: om alla rum är upptagna och en ny gäst anländer, är det bara att flytta varje gammal gäst ett rum över och lämna det första rummet ledigt för den nyanlända gästen. Ett liknande argument gör att vi kan ta emot ett ändligt antal och till och med oändligt många nyanlända gäster.
George Gamow (från den berömda Alpher-Bethe-Gamow-uppsatsen inom området fysisk kosmologi) var sommarjobbare vid universitetet i Göttingen några år efter det att dessa föreläsningar ägde rum, och han lärde sig troligen Hilberts exempel på det oändliga hotellet där. Han populariserade det i sin populärvetenskapliga bok från 1947 med titeln One Two Three…Infinity: Facts and Speculations of Science (tillgänglig på Princeton University library).
Låt oss återgå till Hilberts hotell. För att göra det hela snyggt kan vi säga att hotellets oändligt många rum är numrerade 1, 2, 3, 4, 5, . . . . En kväll är alla rum upptagna, men en ny gäst anländer. Som vi sa tidigare flyttar vi helt enkelt gästen i rum 1 över till rum 2, gästen i rum 2 över till rum 3, gästen i rum 3 över till rum 4 och i allmänhet gästen i rum n över till rum n + 1. På så sätt skapar vi en ledig plats i rum 1 för den nya gästen, men lämnar ingen av de ursprungliga gästerna hemlös.
Säg nu att tjugo nya gäster anländer i stället för bara en. Tricket som användes tidigare fungerar lika bra: flytta gästen i rum 1 till rum 21, gästen i rum 2 till rum 22 och i allmänhet gästen i rum n till rum n + 20. Detta kommer att lämna tjugo rum lediga och redo för de tjugo nya gästerna.
Men vad händer om oändligt många nya gäster anländer ombord på en oändlig buss? Vi kan ändra det tidigare argumentet så att det fortfarande fungerar i denna situation: fördela de gäster som redan befinner sig på hotellet så att de bara upptar vartannat rum. Matematiskt talat, flytta gästen i rum n till rum 2n, så att alla jämna rum är upptagna. Detta lämnar alla andra rum (oändligt många!) lediga och redo att ta emot de (oändligt många!) personer som anländer med bussen. Den person som sitter på plats nummer n på bussen bör flytta in i det n:e ojämnt numrerade rummet, vilket är rum nummer 2n – 1.
Hur blir det om nittionio oändliga bussar anländer? Flytta helt enkelt de ursprungliga hotellgästerna till rum 100, 200, 300 osv., passagerarna i den första bussen till rum 1, 101, 201 osv., passagerarna i den andra bussen till rum 2, 102, 202 osv. och så vidare för resten av bussarna. Detta kommer att leda till att alla hotellets rum blir belagda samtidigt som ingen gäst blir utan rum. Om passagerarna på bussarna själva fick nummer 1, 2, 3, 4, 5, . . . (och låt oss inte göra någon skillnad och kalla hotellets ursprungliga gäster för passagerare också – vi kan tänka oss att alla ursprungliga gäster flyttas ut ur hotellet och in i en dekorativ buss som står parkerad precis utanför hotellet, som vi kan kalla buss nummer 0), så skulle vi se att de första hundra rummen på hotellet fylls med passagerare nummer 1, de andra hundra rummen på hotellet fylls med passagerare nummer 2, och så vidare.
Nästa nivå handlar om att hantera oändligt många oändliga bussar (varje buss med oändligt många passagerare). Det första man måste göra är att få ut alla ur hotellet och ur bussarna och organisera dem i ett rutnät på parkeringsplatsen eller på ett papper: låt de ursprungliga gästerna på hotellet (dvs. passagerarna på buss 0) ställa sig upp i tur och ordning, från vänster till höger, så att de bildar en rad. Låt passagerarna från den första bussen bilda en annan rad strax nedanför, och passagerarna från den andra bussen en rad nedanför den, osv. Låt raderna ställa sig i linje med varandra så att passagerare nummer 1 från varje buss ställer upp sig i en kolumn, passagerare nummer 2 ställer upp sig i en kolumn till höger om den kolumnen, och så vidare. Om vi nu börjar fylla hotellrummen 1, 2, 3, 4, … med personer från den första raden kommer vi aldrig att bli klara med dem och gå vidare till den andra raden, och på samma sätt om vi försöker börja med den första kolumnen. Tricket är att tänka på diagonala linjer som löper från nedre vänster till övre höger på rutnätet. Den diagonala linjen längst till vänster träffar bara en person uppe till vänster (buss 0, passagerare 1): placera den personen i rum 1. Nästa diagonala linje träffar två personer (buss 1, passagerare 1 och buss 0, passagerare 2): placera dessa två personer i rum 2 och 3. Nästa diagonala linje träffar tre personer: placera dem i de tre nästa tomma rummen 4, 5 och 6. Om vi fortsätter detta mönster kommer vi så småningom att tilldela ett rum till var och en av de personer som tålmodigt står på parkeringsplatsen.
Kan vi gå djupare in i oändligheten, djupare än oändligt många oändliga bussar? Ja, det kan vi: tänk dig att det precis bredvid Hilberts hotell finns ett parkeringsgarage. På första våningen, precis bredvid hotelldörren, finns våra redan kända oändligt många oändliga bussar. Men sedan märker vi att garaget har oändligt många våningar, var och en med oändligt många oändliga bussar. Kan Hilbert-hotellet hantera detta extra lager av oändlighet? Svaret är ja! Du kan tänka dig att använda den tidigare metoden för att skapa en enda fil med passagerare på varje våning i parkeringsgaraget, och sedan säga åt varje enskild fil att gå in i en oändlig buss. Nu har vi reducerat problemet tillbaka till oändligt många oändliga bussar, som vi vet kan få plats på hotellet.
Vad händer om vi lägger till ytterligare ett lager av oändlighet? Till exempel om det finns oändligt många parkeringshus, vart och ett med oändligt många våningar, varje våning med oändligt många bussar, varje buss med oändligt många passagerare? Det är fyra lager av oändlighet, och svaret är fortfarande ja! Faktum är att svaret är ja till och med för fyra tusen lager av oändlighet. Slutar det någonsin? Misslyckas Hilberts hotell någonsin med att ta emot nya gäster? Finns det en oändlighet som är för stor för Hilberts hotell?
Ja, det finns det. Om vi hade oändligt många lager av oändlighet skulle alla dessa människor omöjligen kunna få plats på Hilberts hotell. Så … vad är det som händer? Det visar sig att alla de oändligheter som beskrivits, fram till denna sista, har samma storlek. Den storleken kallas ℵ0 (aleph nought), storleken på mängden ℕ = {1, 2, 3, 4, . . .} och hur många rum det finns på Hilberts hotell. Det var Georg Cantor som 1874 introducerade idén om hur man kan jämföra storleken på oändligheter och visade att det finns oändligheter av olika storlek. Flera viktiga matematiker (Poincaré, Kronecker och senare Weyl) motsatte sig starkt hans idéer, liksom vissa teologer – dessa hävdade att Cantors idéer utmanade det unika i Guds absoluta oändlighet. Hilbert, å andra sidan, stödde och försvarade Cantor.
Vid jämförelse av storleken på oändliga mängder skiljer sig inte så mycket från att jämföra storleken på ändliga mängder: för att veta om det finns fler stolar eller fler människor i ett föreläsningssal behöver man inte räkna människor och stolar och jämföra de två siffrorna. Du kan bara titta på rummet och se om det finns tomma stolar (fler stolar än människor) eller människor som står upp (fler människor än stolar): om varje enskild person sitter på en stol och det inte finns några tomma stolar är mängden stolar och mängden människor lika stora. På samma sätt: Om varje passagerare på bussarna tilldelas ett rum på Hilberts hotell och inget rum lämnas tomt, är mängden passagerare en oändlighet av samma storlek som mängden rum på Hilberts hotell, ℵ0. Cantor använde denna idé för att visa att mängden verkliga tal, ℝ, är strikt större än mängden naturliga tal, ℕ; hans vackra argument blev känt som ”Cantors diagonal”. Cantor antog också – och försökte bevisa men misslyckades – kontinuumshypotesen: att det inte finns någon oändlig mängd som är strikt större än ℕ men strikt mindre än ℝ. Hilbert inkluderade bevisningen av att detta påstående är sant eller falskt som det första problemet på den berömda listan med tjugotre problem som han presenterade vid 1900 års internationella matematikkongress i Paris, och som skulle komma att prägla riktningen för den matematiska forskningen under de kommande decennierna. Svaret är att denna hypotes inte kan bevisas vara falsk (Gödel, 1940-talet), men den kan inte heller bevisas vara sann (Cohen, 1960-talet): det är ett problem som inte kan avgöras!
Hilbert sade som bekant om Cantors idéer om oändligheten och all den nya matematik som de medförde: ”Ingen skall fördriva oss från det paradis som Cantor har skapat.”
.