Gæstfrihed på Hilbert-hotellet
I begyndelsen af det 20. århundrede var universitetet i Göttingen et af de førende forskningscentre for matematik i verden. Matematikeren David Hilbert var en veletableret professor der, og i vinterhalvåret 1924-25 holdt han en række foredrag om det uendelige i matematik, fysik og astronomi. (Disse og andre foredrag af Hilbert er nu udgivet i bogform af Springer-Verlag. Bogen er tilgængelig på IAS-biblioteket i oversættelse og i den originale tyske udgave). I en af disse forelæsninger brugte han et eksempel til at forklare den afgørende forskel mellem endelige og uendelige mængder: På et hotel med et endeligt antal værelser er der ikke plads til nye gæster, hvis alle værelser er optaget. Men i et hotel med uendeligt mange værelser er dette ikke noget problem: hvis alle værelser er optaget, og en ny gæst ankommer, skal man blot flytte hver gammel gæst et værelse over, så det første værelse bliver ledigt til den nyankomne gæst. Et lignende argument giver os mulighed for at imødekomme ethvert endeligt antal og endda uendeligt mange nyankomne gæster.
George Gamow (fra det berømte Alpher-Bethe-Gamow-papir inden for fysisk kosmologi) var postdoc på universitetet i Göttingen et par år efter disse forelæsninger og lærte sandsynligvis Hilberts eksempel på det uendelige hotel at kende der. Han gjorde det populært i sin populærvidenskabelige bog fra 1947 med titlen One Two Three… Infinity: Facts and Speculations of Science (tilgængelig på biblioteket på Princeton University).
Lad os komme tilbage til Hilberts hotel. For at gøre tingene pæne, lad os sige, at hotellets uendeligt mange værelser er nummereret 1, 2, 3, 4, 5, … … En aften er de alle optaget, men en ny gæst ankommer. Som vi sagde før, flytter vi simpelthen gæsten på værelse 1 over på værelse 2, gæsten på værelse 2 over på værelse 3, gæsten på værelse 3 over på værelse 4 og generelt gæsten på værelse n over på værelse n + 1, hvorved der skabes en ledig plads på værelse 1 til den nye gæst, men ingen af de oprindelige gæster bliver hjemløse.
Sæt nu, at der ankommer tyve nye gæster i stedet for blot én. Det trick, der blev brugt før, virker lige så godt: flyt gæsten i værelse 1 til værelse 21, gæsten i værelse 2 til værelse 22 og generelt gæsten i værelse n til værelse n + 20. Dette vil efterlade tyve værelser ledige og klar til de tyve nye gæster.
Men hvad nu, hvis der ankommer uendeligt mange nye gæster om bord på en uendelig bus? Vi kan ændre det tidligere argument, så det stadig virker i denne situation: Vi kan fordele de gæster, der allerede er på hotellet, således at de kun optager hvert andet værelse. Matematisk set skal gæsten på værelse n flyttes til værelse 2n, så alle de lige værelser er optaget. Dette efterlader alle andre værelser (uendeligt mange!) ledige og klar til at huse de (uendeligt mange!) gæster, der ankommer med bussen. Den person, der sidder på plads nummer n i bussen, skal flytte ind i det niende ulige nummererede rum, som er rum nummer 2n – 1.
Hvad sker der, hvis nioghalvfems uendelige busser ankommer? Du skal blot flytte de oprindelige hotelgæster til værelserne 100, 200, 300 osv., passagererne i den første bus til værelserne 1, 101, 201 osv., passagererne i den anden bus til værelserne 2, 102, 202 osv. osv. osv. osv. og så videre for resten af busserne. På denne måde vil alle hotellets værelser være optaget, men ingen gæster vil stå uden et værelse. Hvis passagererne i busserne selv fik nummer 1, 2, 3, 4, 4, 5, . . . (og lad os ikke skelne og også kalde hotellets oprindelige gæster for passagerer – vi kan se det som at flytte alle de oprindelige gæster ud af hotellet og over i en dekorativ bus parkeret lige uden for hotellet, som vi kan kalde bus nummer 0), så vil vi se, at de første hundrede værelser på hotellet er fyldt op med passagerer nummer 1, de andet hundrede værelser på hotellet er fyldt op med passagerer nummer 2 osv.
Det næste niveau omhandler uendeligt mange uendeligt mange uendelige busser (hver bus med uendeligt mange passagerer). Det første, man skal gøre, er at få alle ud af hotellet og ud af busserne og organiseret som et gitter på parkeringspladsen eller på et stykke papir: Lad de oprindelige gæster på hotellet (dvs. passagererne i bus 0) stille sig op i rækkefølge, fra venstre mod højre, og danne en række. Lad passagererne fra den første bus danne en anden række lige under den, og passagererne fra den anden bus en række under den anden osv. Få rækkerne til at stille sig på linje med hinanden, således at passagerer nummer 1 fra hver bus stiller sig op i en kolonne, passagerer nummer 2 stiller sig op i en kolonne til højre for denne kolonne osv. Hvis vi nu begynder at fylde hotelværelser 1, 2, 3, 4, … med folk fra den første række, vil vi aldrig blive færdige og gå videre til den anden række, og det samme gælder, hvis vi forsøger at starte med den første kolonne. Tricket er at tænke på diagonale linjer, der løber fra nederst til venstre til øverst til højre på gitteret. Den diagonale linje længst til venstre rammer kun den ene person øverst til venstre (bus 0, passager 1): sæt denne person i rum 1. Den næste diagonale linje rammer to personer (bus 1, passager 1 og bus 0, passager 2): sæt disse to personer i rum 2 og 3. Den næste diagonale linje rammer tre personer: sæt dem i de næste tre tomme rum, 4, 5 og 6. Hvis vi fortsætter dette mønster, vil vi til sidst tildele et rum til hver af de personer, der tålmodigt står på parkeringspladsen.
Kan vi gå dybere ind i uendeligheden, dybere end uendeligt mange uendeligt mange uendelige busser? Ja, det kan vi: Forestil dig, at der lige ved siden af Hilberts hotel er en parkeringskælder. På første sal, lige ved siden af hotellets dør, står vores allerede kendte uendeligt mange uendeligt mange uendeligt mange busser. Men så bemærker vi: garagen har uendeligt mange etager, hver med uendeligt mange uendeligt mange uendeligt mange busser. Kan Hilbert-hotellet håndtere dette ekstra lag af uendelighed? Svaret er ja! Du kan forestille dig at bruge den tidligere metode til at lave en enkelt række passagerer på hver etage i parkeringshuset og derefter bede hver enkelt række om at gå ind i én uendelig bus. Nu har vi reduceret problemet tilbage til uendeligt mange uendelige busser, som vi ved kan rummes på hotellet.
Hvad nu hvis vi tilføjer endnu et lag af uendelighed? Hvis der f.eks. er uendeligt mange parkeringshaller, hver med uendeligt mange etager, hver etage med uendeligt mange busser, hver bus med uendeligt mange passagerer? Det er fire lag af uendelighed, og svaret er stadig ja! Faktisk er svaret ja, selv for fire tusinde lag af uendelighed. Stopper det nogensinde? Kan Hilberts hotel aldrig undlade at tage imod nye gæster? Er der en uendelighed, der er for stor til Hilberts hotel?
Ja, det er der. Hvis vi havde uendeligt mange lag af uendelighed, kunne alle disse mennesker umuligt få plads på Hilberts hotel. Så … hvad er det, der sker? Det viser sig, at alle de beskrevne uendeligheder op til denne sidste er af samme størrelse. Denne størrelse kaldes ℵ0 (aleph nought) og er størrelsen af mængden ℕ = {1, 2, 3, 4, . . .} og hvor mange værelser der er på Hilberts hotel. Det var Georg Cantor, der i 1874 introducerede ideen om, hvordan man kan sammenligne størrelserne af uendeligheder, og viste, at der findes uendeligheder af forskellig størrelse. Flere vigtige matematikere (Poincaré, Kronecker og senere Weyl) var stærkt imod hans ideer, og det samme gjorde nogle teologer – disse hævdede, at Cantors ideer anfægtede entydigheden af Guds absolutte uendelighed. Hilbert støttede og forsvarede derimod Cantor.
Sammenligning af størrelser af uendelige mængder er ikke så forskellig fra sammenligning af størrelser af endelige mængder: for at vide, om der er flere stole eller flere mennesker i et foredragssal, behøver man ikke at tælle mennesker og stole og sammenligne de to tal. Man kan bare kigge på lokalet og se, om der er tomme stole (flere stole end mennesker) eller mennesker, der står op (flere mennesker end stole): Hvis hver eneste person sidder på en stol, og der ikke er nogen tomme stole, er mængden af stole og mængden af mennesker lige store. På samme måde: Hvis alle passagerer i busserne får tildelt et værelse på Hilberts hotel, og der ikke står noget værelse tomt, så er mængden af passagerer en uendelighed af samme størrelse som mængden af værelser på Hilberts hotel, ℵ0. Cantor brugte denne idé til at vise, at mængden af reelle tal, ℝ, er strengt større end mængden af naturlige tal, ℕ; hans smukke argument blev kendt som “Cantors diagonal”. Cantor formodede også – og forsøgte at bevise, men det lykkedes ikke – kontinuumshypotesen: at der ikke findes nogen uendelig mængde, der er strengt større end ℕ, men strengt mindre end ℝ. Hilbert inkluderede beviset for, at denne påstand er sand eller falsk, som det første problem på den berømte liste over 23 problemer, som han fremlagde på den internationale matematikkongres i Paris i 1900, og som skulle komme til at præge retningen for matematisk forskning i de kommende årtier. Svaret er, at det ikke kan bevises, at denne hypotese er falsk (Gödel, 1940’erne), men det kan heller ikke bevises, at den er sand (Cohen, 1960’erne): det er et ubeslutsomt problem!
Hilbert sagde som bekendt om Cantors idéer om uendelighed og al den nye matematik, som de førte til: “Ingen skal forvise os fra det paradis, som Cantor har skabt.”