No início do século XX, a Universidade de Göttingen foi um dos principais centros de pesquisa de matemática do mundo. O matemático David Hilbert foi um professor bem estabelecido lá, e durante o semestre de inverno de 1924-25 ele deu uma série de palestras sobre o infinito em matemática, física e astronomia. (Estas e outras palestras de Hilbert são agora publicadas em forma de livro pela Springer-Verlag. O livro está disponível na biblioteca da IAS em tradução e no original em alemão). Em uma dessas palestras, ele usou um exemplo para explicar a diferença crucial entre conjuntos finitos e infinitos: em um hotel com um número finito de quartos, se todos os quartos estão ocupados, então não há espaço para novos hóspedes. Mas em um hotel com infinitos quartos isso não é um problema: se todos os quartos estiverem ocupados e um novo hóspede chegar, basta mover cada hóspede antigo um quarto para o outro, deixando o primeiro quarto vago para o hóspede recém-chegado. Um argumento semelhante permite-nos acomodar qualquer número finito de, e mesmo infinitamente muitos, hóspedes recém-chegados.

George Gamow (do famoso autor Alpher-Bethe-Gamow no campo da cosmologia física) foi um postdoc de verão na Universidade de Göttingen alguns anos depois destas palestras e provavelmente soube do exemplo de Hilbert do hotel infinito de lá. Ele popularizou-o em seu livro de ciências populares de 1947 intitulado One Two Three…Infinity: Facts and Speculations of Science (disponível na biblioteca da Universidade de Princeton).

Deixe-nos voltar ao hotel de Hilbert. Para tornar as coisas mais limpas, digamos que o hotel tem infinitos quartos numerados 1, 2, 3, 4, 5, . . . Uma noite, todos eles estão ocupados, mas chega um novo hóspede. Como dissemos anteriormente, simplesmente mudamos o hóspede do quarto 1 para o quarto 2, o do quarto 2 para o quarto 3, o do quarto 3 para o quarto 4, e em geral, o hóspede do quarto n para o quarto n + 1, criando assim uma vaga no quarto 1 para o novo hóspede, mas não deixando nenhum dos hóspedes originais sem casa.

Agora digamos que chegam vinte novos hóspedes em vez de apenas um. O truque usado antes também funciona: mover o hóspede do quarto 1 para o quarto 21, o hóspede do quarto 2 para o quarto 22, e em geral, o hóspede do quarto n para o quarto n + 20. Isto deixará vinte quartos vagos e prontos para os vinte novos hóspedes.

Mas, e se chegarem infinitamente muitos novos hóspedes a bordo de um autocarro infinito? Podemos modificar o argumento anterior para que ainda funcione para esta situação: espaçar os hóspedes já no hotel para que eles só ocupem todos os outros quartos. Matematicamente falando, mova o hóspede do quarto n para o quarto 2n, para que todos os quartos de número par sejam ocupados. Isto deixa todos os outros quartos (infinitamente muitos!) vazios e prontos para acomodar as (infinitamente muitos!) pessoas que chegam junto ao autocarro. A pessoa sentada no assento número n do ônibus deve se mudar para o quarto número n ímpar, que é o quarto número 2n – 1.

E se chegarem noventa e nove ônibus infinitos? Basta mover os hóspedes originais do hotel para os quartos 100, 200, 300, etc., os passageiros do primeiro autocarro para os quartos 1, 101, 201, etc., os passageiros do segundo autocarro para os quartos 2, 102, 202, etc., e assim por diante para o resto dos autocarros. Isto ocupará todos os quartos do hotel sem deixar hóspedes sem um quarto. Se os passageiros dos ônibus fossem eles mesmos numerados 1, 2, 3, 4, 5, … (e não façamos distinção e chamemos os hóspedes originais dos passageiros do hotel tão bem podemos pensar nisso como se movêssemos todos os hóspedes originais para fora do hotel e para um autocarro decorativo estacionado mesmo fora do hotel, que podemos chamar de autocarro número 0), então veríamos que os primeiros cem quartos do hotel estão cheios de passageiros número 1, os segundos cem quartos do hotel estão cheios de passageiros número 2, e assim por diante.

O próximo nível é lidar com infinitos ônibus infinitos (cada ônibus com infinitos passageiros). A primeira coisa a fazer é tirar toda a gente do hotel e dos autocarros e organizá-los em forma de grelha no parque de estacionamento, ou num pedaço de papel: fazer com que os hóspedes originais do hotel (também conhecidos como passageiros do autocarro 0) se alinhem em ordem, da esquerda para a direita, formando uma fila. Faça os passageiros do primeiro ônibus formarem outra fila logo abaixo dele, e os passageiros do segundo ônibus formarem uma fila abaixo dele, etc. Faça com que as filas se alinhem umas com as outras para que os passageiros número 1 de cada fila de ônibus formem uma coluna, os passageiros número 2 formem uma coluna à direita dessa, e assim por diante. Agora, se começarmos a encher os quartos de hotel 1, 2, 3, 4, . . com pessoas da primeira fila, nunca o terminaremos e passaremos para a segunda fila, e da mesma forma, se tentarmos começar com a primeira coluna. O truque é pensar em linhas diagonais, correndo de baixo-esquerda para cima-direita na grelha. A linha diagonal mais à esquerda só atinge a pessoa superior esquerda (autocarro 0, passageiro 1): coloque essa pessoa na sala 1. A próxima linha diagonal atinge duas pessoas (autocarro 1, passageiro 1 e autocarro 0, passageiro 2): coloque essas duas pessoas nas salas 2 e 3. A linha diagonal seguinte atinge três pessoas: coloque-as nos três quartos vazios seguintes, 4, 5, 6. Continuando este padrão vamos eventualmente atribuir um quarto a cada uma das pessoas pacientemente de pé no estacionamento.

Podemos ir mais fundo no infinito, mais fundo do que muitos ônibus infinitos? Sim, podemos: imagine que ao lado do hotel do Hilbert há uma garagem de estacionamento. No primeiro andar, bem ao lado da porta do hotel, estão os nossos já conhecidos infinitos ônibus infinitos. Mas depois reparamos: a garagem tem infinitos andares, cada um com infinitos e infinitos autocarros. O hotel Hilbert pode lidar com esta camada de infinito? A resposta é sim! Você pode imaginar usar o método anterior para fazer um único arquivo de passageiros em cada andar da garagem, depois dizer a cada arquivo para ir em um ônibus infinito. Agora reduzimos o problema a infinitos ônibus infinitos, que sabemos que podem ser acomodados no hotel.

E se adicionarmos outra camada de infinito? Por exemplo, se houver infinitas garagens, cada uma com infinitos andares, cada andar com infinitos ônibus, cada ônibus com infinitos passageiros? Isso são quatro camadas de infinito, e a resposta ainda é sim! Na verdade, a resposta é sim mesmo para quatro mil camadas de infinito. Será que alguma vez pára? O hotel de Hilbert nunca falha em acomodar novos hóspedes? Existe um infinito que é muito grande para o hotel de Hilbert?

Sim, existe. Na verdade, se tivéssemos infinitas camadas de infinito, todas essas pessoas não poderiam ser acomodadas no hotel de Hilbert. Então …o que está a acontecer? Acontece que todos os infinitos descritos, até este último, são do mesmo tamanho. Esse tamanho chama-se ℵ0 (aleph nought), o tamanho do conjunto ℕ = {1, 2, 3, 4, . …} e quantos quartos há no hotel do Hilbert. Foi Georg Cantor que em 1874 introduziu a idéia de como comparar os tamanhos de infinitos, e mostrou que existem infinitos de tamanhos diferentes. Vários matemáticos importantes (Poincaré, Kronecker e mais tarde Weyl) se opuseram fortemente às suas idéias, assim como alguns teólogos – estes afirmaram que as idéias de Cantor desafiavam a singularidade do infinito absoluto de Deus. Hilbert, por outro lado, apoiou e defendeu Cantor.

Comparar tamanhos de conjuntos infinitos não é tão diferente de comparar tamanhos de conjuntos finitos: para saber se há mais cadeiras ou mais pessoas em uma sala de conferências, você não precisa contar pessoas e cadeiras e comparar os dois números. Você pode apenas olhar para a sala e ver se há cadeiras vazias (mais cadeiras do que pessoas) ou pessoas deixadas de pé (mais pessoas do que cadeiras): se cada pessoa está sentada em uma cadeira e não há cadeiras vazias, então o conjunto das cadeiras e o conjunto de pessoas são do mesmo tamanho. Da mesma forma, se a cada passageiro dos ônibus é atribuído um quarto no hotel Hilbert e não há quartos vazios, então o conjunto de passageiros é uma infinidade do mesmo tamanho que o conjunto de quartos no hotel Hilbert, ℵ0. Cantor usou essa idéia para mostrar que o conjunto de números reais, ℝ, é estritamente maior que o conjunto de números naturais, ℕ; seu belo argumento ficou conhecido como “Cantor’s diagonal”. Cantor também conjeturou – e tentou provar, mas falhou – a Hipótese do Continuum: que não há um conjunto infinito estritamente maior do que ℕ, mas estritamente menor do que ℝ. Hilbert incluiu a prova de que essa afirmação é verdadeira ou falsa como o primeiro problema na famosa lista de vinte e três problemas que ele apresentou no Congresso Internacional de Matemáticos de 1900 em Paris, que daria forma à direção da pesquisa matemática para as próximas décadas. A resposta é que essa hipótese não pode ser provada como falsa (Gödel, 1940), mas também não pode ser provada como verdadeira (Cohen, 1960): é um problema indecidível!

Hilbert disse, famoso, sobre as idéias de Cantor sobre o infinito e todas as novas matemáticas que eles trouxeram: “Ninguém nos expulsará do paraíso que Cantor criou.”