Che cos’è un test a una coda?

Un test a una coda è un test statistico in cui l’area critica di una distribuzione è unilaterale in modo che sia maggiore o minore di un certo valore, ma non entrambi. Se il campione testato cade nell’area critica unilaterale, l’ipotesi alternativa sarà accettata al posto dell’ipotesi nulla.

Le basi di un test a una coda

Un concetto di base nella statistica inferenziale è la verifica delle ipotesi. Il test di ipotesi viene eseguito per determinare se un’affermazione è vera o no, dato un parametro della popolazione. Un test che viene condotto per mostrare se la media del campione è significativamente maggiore e significativamente minore della media di una popolazione è considerato un test a due code. Quando il test è impostato per mostrare che la media del campione sarebbe superiore o inferiore alla media della popolazione, si parla di test a una coda. Il test a una coda prende il suo nome dalla verifica dell’area sotto una delle code (lati) di una distribuzione normale, anche se il test può essere usato anche in altre distribuzioni non normali.

Prima che il test a una coda possa essere eseguito, devono essere stabilite le ipotesi nulla e alternativa. Un’ipotesi nulla è un’affermazione che il ricercatore spera di rifiutare. Un’ipotesi alternativa è l’affermazione che è supportata dal rifiuto dell’ipotesi nulla.

Esempio di un test a una coda

Diciamo che un analista vuole provare che un gestore di portafoglio ha sovraperformato l’indice S&P 500 in un dato anno del 16,91%. Può impostare le ipotesi nulla (H0) e alternativa (Ha) come:

H0: μ ≤ 16,91

Ha: μ > 16,91

L’ipotesi nulla è la misura che l’analista spera di rifiutare. L’ipotesi alternativa è l’affermazione dell’analista che il gestore del portafoglio ha ottenuto una performance migliore del S&P 500. Se il risultato del test a una coda rifiuta l’ipotesi nulla, l’ipotesi alternativa sarà supportata. D’altra parte, se il risultato del test non riesce a rifiutare l’ipotesi nulla, l’analista può effettuare ulteriori analisi e indagini sulla performance del gestore di portafoglio.

La regione di rifiuto è solo su un lato della distribuzione di campionamento in un test a una coda. Per determinare come il rendimento dell’investimento del portafoglio si confronta con l’indice di mercato, l’analista deve eseguire un test di significatività a coda superiore in cui i valori estremi cadono nella coda superiore (lato destro) della curva di distribuzione normale. Il test a una coda condotto nell’area della coda superiore o destra della curva mostrerà all’analista quanto è più alto il rendimento del portafoglio rispetto a quello dell’indice e se la differenza è significativa.

Determinazione della significatività in un test a una coda

Per determinare quanto sia significativa la differenza di rendimento, è necessario specificare un livello di significatività. Il livello di significatività è quasi sempre rappresentato dalla lettera “p”, che sta per probabilità. Il livello di significatività è la probabilità di concludere erroneamente che l’ipotesi nulla è falsa. Il valore di significatività usato in un test a una coda è 1%, 5% o 10%, anche se qualsiasi altra misura di probabilità può essere usata a discrezione dell’analista o dello statistico. Il valore di probabilità è calcolato assumendo che l’ipotesi nulla sia vera. Più basso è il p-value, più forte è la prova che l’ipotesi nulla è falsa.

Se il p-value risultante è inferiore al 5%, allora la differenza tra le due osservazioni è statisticamente significativa, e l’ipotesi nulla è rifiutata. Seguendo il nostro esempio sopra, se il p-value = 0,03, o 3%, allora l’analista può essere sicuro al 97% che i rendimenti del portafoglio non sono stati uguali o inferiori al rendimento del mercato per l’anno. Egli rifiuterà quindi H0 e sosterrà l’affermazione che il gestore del portafoglio ha sovraperformato l’indice. La probabilità calcolata in una sola coda di una distribuzione è la metà della probabilità di una distribuzione a due code se misure simili sono state testate usando entrambi gli strumenti di test di ipotesi.

Quando si usa un test a una coda, l’analista sta testando la possibilità della relazione in una direzione di interesse, e trascurando completamente la possibilità di una relazione in un’altra direzione. Usando il nostro esempio sopra, l’analista è interessato a sapere se il rendimento di un portafoglio è maggiore di quello del mercato. In questo caso, non ha bisogno di tenere conto statisticamente di una situazione in cui il gestore del portafoglio ha sottoperformato l’indice S&P 500. Per questo motivo, un test a una coda è appropriato solo quando non è importante testare il risultato all’altra estremità di una distribuzione.