I’m going to define uma função s de N e eu vou defini-la como a soma de todos os inteiros positivos inteiros positivos incluindo n incluindo n e assim o domínio desta função é realmente tudo inteiros positivos e tem que ser um inteiro positivo e assim podemos experimentar com algumas coisas que podemos tomar s de 3 isto vai ser igual a 1 mais 2 mais 3 que é igual a 6 podemos tomar s de 4 bem que vai ser 1 mais 2 mais 3 mais 4 que vai ser igual a 10 tão razoavelmente simples agora o que eu quero fazer nisto vídeo é uma prova para você e há várias maneiras de provar que eu posso escrever isso em função de n que a soma de todos os inteiros positivos até e incluindo n é igual a n vezes n mais 1 tudo isso sobre 2 e a maneira que eu vou provar isso para você é pelo menos a primeira maneira que eu vou provar isso para você é por indução esta será uma prova por indução é uma forma filosófica interessante de provar algo porque a forma como se faz uma prova por indução é primeiro provar o caso base, por isso, no caso desta função, esta afirmação aqui é o que precisamos de provar no caso desta afirmação aqui, vamos primeiro provar 4-1 que vai ser o nosso caso base e depois vamos fazer o passo de indução o passo de indução que é essencialmente dizer que se assumirmos que funciona para algum número inteiro positivo K que se assim for podemos provar que vai funcionar para o próximo número inteiro positivo para K mais 1 e a razão pela qual isto funciona digamos que vamos provar se provarmos ambos para que o caso base vamos provar para que neste caso vamos provar para 1 prova para 1 mas não tem que ser sempre 1 porque você pode ser o seu pode ser que isto é verdade para tudo acima de 55 ou tudo acima de algum limiar mas neste caso estamos a dizer que é verdade para todos os inteiros positivos, por isso o nosso caso base vai ser 4 1 e depois o nosso próximo F vamos tentar provar que se você assumir 4 se você assumir que esta coisa é verdade para alguns de K se assumirmos que então vai ser verdade para alguns de K mais 1 e a razão pela qual isto é tudo o que você tem que fazer para provar isto para todos os inteiros positivos é apenas imaginar, então vamos pensar em todos os inteiros positivos aqui mesmo 1 2 3 4 5 6 você poderia simplesmente continuar para sempre, então vamos provar 4-1 vamos provar que esta fórmula aqui mesmo esta expressão se aplica ao caso 1 quando n é 1 e depois vamos provar que se sabemos que é verdade para qualquer K que é verdade para o próximo então se sabemos que é verdade para 1 no nosso caso base então o segundo passo este passo de indução diz bem que deve ser verdade para 2 então porque provamos geralmente que se é verdade para K vai ser verdade para K mais 1 bem se é verdade para 2 então deve ser verdade para 3 porque nós provamos se é verdade para K é verdade para K mais 1 então se é verdade para 2 é verdade para 3 e então se é verdade para 3 precisa ser verdade para 4 e você pode simplesmente continuar e continuar para sempre o que significa que é verdade para tudo o que agora é falado em geral para fora generalidades vamos realmente provar isso por indução então vamos pegar vamos pegar vamos pegar vamos pegar o soma vamos fazer esta função em 1 poço que vai ser apenas a soma de todos os inteiros positivos incluindo 1 vai ser literalmente 1 acabamos de adicionar todos eles é apenas 1 não há outro inteiro positivo até um incluindo 1 e podemos provar que isto é a mesma coisa que 1 vezes 1 mais 1 tudo isso sobre 2 1 mais 1 é 2 2 dividido por 2 é 1 1 vezes 1 é 1 então esta fórmula aqui mesmo esta expressão funcionou para que funcionasse para 1 então provamos que provamos nosso caso base provamos para 1 agora o que quero fazer é assumir que funciona para algum número para algum número K então vou assumir que vou assumir que é verdade para algum número K então vou assumir que é verdade para algum número K então vou assumir que para algum número K esta função em K vai ser igual a K vezes k mais 1 sobre 2 então vou assumir que isto é verdade para isso agora o que eu quero fazer é pensar no que acontece quando eu tento encontrar esta função para k mais 1 então isto é o que eu estou assumindo que eu sei isto agora vamos tentar fazê-lo para k mais 1 então qual é a soma de todos os inteiros até um incluindo k mais 1 até um incluindo k mais 1 bem isto vai ser 1 mais 2 mais 3 mais até k mais k mais 1 certo isto é a soma de tudo até e incluindo o poço k mais 1 assumimos que já sabemos o que isto é assumimos que já temos uma fórmula para isto assumimos que isto vai simplificar para k vezes k mais 1 sobre 2 ou assumimos que sabemos isso e por isso vamos apenas tomar esta parte e vamos adicioná-lo a k mais 1 por isso vamos adicioná-lo ao k mais 1 aqui vamos adicioná-lo ao k mais 1 e se você encontrar um denominador comum se você encontrar um comentário o o denominador comum vai ser 2, então vamos lá, isto vai ser igual a eu vou escrever a parte em magenta primeiro isto é K vezes k mais 1 sobre 2 mais 2 vezes k mais 1 sobre 2 esta coisa em azul é a mesma coisa que aquela coisa em azul os dois cancelariam Eu acabei de escrever desta forma, então eu tenho um denominador comum e então isto vai ser igual a isto vai ser igual a nós temos um denominador comum de 2 e eu vou Escreva isto numa cor diferente aqui, por isso vamos ter K vezes k mais 1 mais 2 vezes k mais 1 agora neste passo aqui mesmo, você pode factorar um k mais 1 ambos os termos são divisíveis por K mais 1 então vamos factorar isto se você factorar um k mais 1 você recebe k mais 1 k mais 1 vezes nós fracturamos isto aqui se você factorar um k mais 1 você só tem um K aqui se factorar um k mais 1 você só tem um – Deixe-me codificar as cores para que você saiba o que estou fazendo, então este 2 é este 2 ali e este K este K é este K é este K ali, nós o fatorizamos este k mais uma vez que o fatorizamos cerca de 2 este k mais 1 ali e vai ser tudo isto tudo isto mais de 2 agora podemos reescrever isto é a mesma coisa que isto é igual a isto é a mesma coisa que isto é a mesma coisa que k mais 1 que é esta parte aqui mesmo vezes k mais 1 k mais 1 direito isto é claramente a mesma coisa que k mais 2 tudo isto sobre tudo aquilo mais de 2 agora porque é que isto é interessante para nós bem, acabámos de o provar se assumirmos que isto é verdade e se nós e depois nós apenas usarmos essa suposição, apenas usarmos essa suposição, obtemos que a soma de todos os inteiros positivos até e incluindo k mais 1 é igual a k mais 1 vezes k mais 1 mais 1 mais 1 sobre 2 estamos na verdade a mostrar que aquela fórmula original que a fórmula original se aplica a k mais 1 também se você pegar em k mais 1 e colocá-lo para n você poderia colocá-lo para n você tem exatamente o resultado que temos aqui então mostramos provámos que provámos o nosso caso base isto esta expressão funcionou para a soma de todos os inteiros positivos até e incluindo 1 e também funciona se assumirmos que funciona para tudo até k ou se assumirmos que funciona para o inteiro k também funciona para o integer k mais 1 e já fizemos isso é o nosso amigo prova por indução que nos prova que funciona para todos os inteiros positivos porque é que provamos que funciona para 1 e provamos que se funciona para algum integer vai funcionar para o próximo integer se você pode assumir que funciona para um número inteiro vamos trabalhar para o próximo número inteiro, então se você assumiu que funcionou para um, então ele pode funcionar para dois bem, já provamos que funciona para um, então podemos assumir que funciona para um, então ele definitivamente funcionará para dois, então temos dois verificados, mas como podemos assumir funciona para dois, agora podemos assumir que funciona para três, se funcionar para três, então já provamos que funciona para quatro, você vê como este passo de indução é como um dominó e Cascades e podemos continuar e continuar para sempre para que realmente funcione para todos os inteiros positivos