AristotelesEdit

De vroegst bekende formulering is in Aristoteles’ bespreking van het beginsel van non-contradictie, voor het eerst voorgesteld in On Interpretation, waar hij zegt dat van twee tegenstrijdige stellingen (d.w.z. waarbij de ene stelling de negatie is van de andere) de ene waar moet zijn, en de andere onwaar. Hij stelt het ook als een principe in boek 3 van de Metafysica, waar hij zegt dat het in elk geval noodzakelijk is te bevestigen of te ontkennen, en dat het onmogelijk is dat er iets tussen de twee delen van een tegenstrijdigheid zou staan.

Aristoteles schreef dat dubbelzinnigheid kan ontstaan door het gebruik van dubbelzinnige namen, maar niet kan bestaan in de feiten zelf:

Het is dus onmogelijk dat “mens zijn” precies betekent “niet mens zijn”, als “mens” niet alleen iets betekent over één onderwerp, maar ook één betekenis heeft. … En het zal niet mogelijk zijn hetzelfde te zijn en niet hetzelfde te zijn, behalve krachtens een dubbelzinnigheid, net als wanneer iemand die wij “mens” noemen, en anderen “niet-mens” zouden noemen; maar het punt waar het om gaat is niet dit, of hetzelfde ding tegelijkertijd wel en niet een mens kan zijn in naam, maar of het dat in feite kan zijn. (Metafysica 4.4, W.D. Ross (trans.), GBWW 8, 525-526).

Aristoteles’ bewering dat “het niet mogelijk zal zijn hetzelfde te zijn en niet hetzelfde te zijn”, die in de propositielogica zou worden geschreven als ¬(P ∧ ¬P), is een uitspraak die moderne logici de wet van het uitgesloten midden zouden kunnen noemen (P ∨ ¬P), als verdeling van de negatie van Aristoteles’ bewering maakt ze gelijkwaardig, ongeacht dat de eerste beweert dat geen enkele bewering zowel waar als onwaar is, terwijl de laatste vereist dat elke bewering òf waar òf onwaar is.

Maar Aristoteles schrijft ook: “aangezien het onmogelijk is dat tegenstrijdigheden tegelijkertijd waar zijn van hetzelfde ding, kunnen tegenstrijdigheden uiteraard ook niet tegelijkertijd tot hetzelfde ding behoren” (Boek IV, CH 6, p. 531). Vervolgens stelt hij voor dat “er geen tussenvorm kan zijn tussen tegenstrijdigheden, maar dat we van één onderwerp ofwel één predikaat moeten bevestigen ofwel ontkennen” (Boek IV, CH 7, p. 531). In de context van Aristoteles’ traditionele logica is dit een opmerkelijk nauwkeurige verklaring van de wet van uitgesloten midden, P ∨ ¬P.

Ook in On Interpretation lijkt Aristoteles de wet van uitgesloten midden te ontkennen in het geval van toekomstige contingenten, in zijn discussie over de zeeslag.

LeibnizEdit

De gebruikelijke vorm, “Elk oordeel is óf waar óf onwaar” ….”(uit Kolmogorov in van Heijenoort, p. 421) voetnoot 9: “Dit is de zeer eenvoudige formulering van Leibniz (zie Nouveaux Essais, IV,2)” (ibid p 421)

Bertrand Russell en Principia MathematicaEdit

Het principe werd door Russell en Whitehead in Principia Mathematica als een stelling van de propositielogica geformuleerd:

∗ 2 ⋅ 11 . ⊢ . p ∨ ∼ p {\displaystyle \bf {*2\cdot 11} .\vdash .p \vee \thicksim p}

.

Wat is nu eigenlijk “waarheid” en “onwaarheid”? Bij de opening kondigt PM snel enkele definities aan:

Waarheidswaarden. De “waarheidswaarde” van een propositie is waarheid als zij waar is en onwaarheid als zij onwaar is* …de waarheidswaarde van “p ∨ q” is waarheid als de waarheidswaarde van ofwel p ofwel q waarheid is, en is anders onwaarheid … die van “~ p” is het tegengestelde van die van p…” (p. 7-8)

Dit helpt niet veel. Maar later, in een veel diepere discussie (“Definition and systematic ambiguity of Truth and Falsehood” Hoofdstuk II deel III, p. 41 e.v.), definieert PM waarheid en onwaarheid in termen van een relatie tussen de “a” en de “b” en de “percipient”. Bijvoorbeeld “Dit ‘a’ is ‘b'” (b.v. “Dit ‘voorwerp a’ is ‘rood'”) betekent in werkelijkheid “‘voorwerp a’ is een zintuig-datum” en “‘rood’ is een zintuig-datum”, en zij “staan in relatie” tot elkaar en in relatie tot “ik”. Wat we dus eigenlijk bedoelen is: “Ik neem waar dat ‘dit voorwerp a rood is'” en dit is een onbetwistbare-door-3de-partij “waarheid”.

PM maakt verder een onderscheid tussen een “zintuiglijk-datum” en een “gewaarwording”:

Dat wil zeggen, als we oordelen (zeggen) “dit is rood”, dan is er sprake van een relatie tussen drie termen, de geest, en “dit”, en “rood”. Anderzijds, wanneer we “de roodheid van dit” waarnemen, is er een relatie van twee termen, namelijk de geest en het complexe object “de roodheid van dit” (blz. 43-44).

Russell herhaalde zijn onderscheid tussen “sense-data” en “sensation” in zijn boek The Problems of Philosophy (1912), dat tegelijk met PM (1910-1913) verscheen:

Laat ons de naam “sense-data” geven aan de dingen die onmiddellijk in gewaarwording gekend worden: zulke dingen als kleuren, geluiden, geuren, hardheden, ruwheden, enzovoort. Wij geven de naam “gewaarwording” aan de ervaring van het onmiddellijk gewaar zijn van deze dingen… De kleur zelf is een zintuig-datum, geen sensatie. (p. 12)

Russell beschreef verder zijn redenering achter zijn definities van “waarheid” en “onwaarheid” in hetzelfde boek (Hoofdstuk XII, Waarheid en onwaarheid).

Gevolgen van de wet van het uitgesloten midden in Principia MathematicaEdit

Uit de wet van het uitgesloten midden, formule ✸2.1 in Principia Mathematica, leiden Whitehead en Russell enkele van de krachtigste hulpmiddelen af in de argumentatie-toolkit van de logicus. (In Principia Mathematica worden formules en proposities aangeduid met een sterretje en twee cijfers, zoals “✸2.1”.)

✸2.1 ~p ∨ p “Dit is de Wet van het uitgesloten midden” (PM, p. 101).

Het bewijs van ✸2.1 is ruwweg als volgt: “primitief idee” 1.08 definieert p → q = ~p ∨ q. Substitueren van p voor q in deze regel levert p → p = ~p ∨ p. Aangezien p → p waar is (dit is Stelling 2.08, die afzonderlijk bewezen wordt), dan moet ~p ∨ p waar zijn.

✸2.11 p ∨ ~p (Permutatie van de beweringen is toegestaan door axioma 1.4)
✸2.12 p → ~(~p) (Principe van dubbele negatie, deel 1: als “deze roos is rood” waar is dan is het niet waar dat “‘deze roos is niet-rood’ waar is”.)
✸2.13 p ∨ ~{~(~p)} (Lemma samen met 2.12 gebruikt om 2.14 af te leiden)
✸2.14 ~(~p) → p (Principe van dubbele negatie, deel 2)
✸2.15 (~p → q) → (~q → p) (Een van de vier “Principes van transpositie”. Vergelijkbaar met 1.03, 1.16 en 1.17. Hier was een zeer lange demonstratie nodig.)
✸2.16 (p → q) → (~q → ~p) (Als het waar is dat “Als deze roos rood is dan vliegt dit varken” dan is het ook waar dat “Als dit varken niet vliegt dan is deze roos niet rood.”)
✸2.17 ( ~p → ~q ) → (q → p) (Nog een van de “Beginselen van transpositie”.)
✸2.18 (~p → p) → p (Genoemd “Het complement van reductio ad absurdum. Het stelt dat een stelling die volgt uit de hypothese van haar eigen onwaarheid waar is” (PM, pp. 103-104).)

De meeste van deze stellingen-in het bijzonder ✸2.1, ✸2.11, en ✸2.14- worden door het intuïtionisme verworpen. Deze hulpmiddelen worden omgewerkt tot een andere vorm die Kolmogorov aanhaalt als “Hilbert’s four axioms of implication” en “Hilbert’s two axioms of negation” (Kolmogorov in van Heijenoort, p. 335).

Proposities ✸2.12 en ✸2.14, “double negation”:In de intuïtionistische geschriften van L. E. J. Brouwer verwijzen naar wat hij noemt “het principe van de wederkerigheid van de meervoudige soorten, d.w.z. het principe dat voor elk systeem de juistheid van een eigenschap volgt uit de onmogelijkheid van de onmogelijkheid van deze eigenschap” (Brouwer, ibid, p. 335).

Dit principe wordt gewoonlijk “het principe van de dubbele negatie” genoemd (PM, p. 101-102). Uit de wet van het uitgesloten midden (✸2.1 en ✸2.11) leidt PM onmiddellijk principe ✸2.12 af. We vervangen ~p voor p in 2.11 om ~p ∨ ~(~p) te verkrijgen, en door de definitie van implicatie (i.e. 1.01 p → q = ~p ∨ q) dan ~p ∨ ~(~p)= p → ~(~p). QED (De afleiding van 2.14 is iets ingewikkelder.)

ReichenbachEdit

Het is juist, althans voor bivalente logica – d.w.z. het is te zien met een Karnaugh kaart – dat deze wet “het midden” van de in zijn wet (3) gebruikte inclusieve-or verwijdert. En dit is het punt van Reichenbachs demonstratie dat volgens sommigen de exclusieve-of de plaats moet innemen van de inclusieve-or.

Over deze kwestie (in weliswaar zeer technische bewoordingen) merkt Reichenbach op:

Het tertium non datur 29. (x) is niet uitputtend in zijn belangrijkste termen en is daarom een opgeblazen formule. Dit feit kan misschien verklaren waarom sommigen het onredelijk vinden (29) te schrijven met de inclusieve-‘of’, en het willen laten schrijven met het teken van de exclusieve-‘of’ 30. (x), waarbij het symbool “⊕” staat voor exclusief-of, in welke vorm het volledig uitputtend zou zijn en dus nomologisch in engere zin. (Reichenbach, p. 376)

In regel (30) betekent “(x)” “voor alles” of “voor elk”, een vorm die door Russell en Reichenbach werd gebruikt; tegenwoordig is de symboliek meestal ∀ {{{\displaystyle \forall }

x. Een voorbeeld van de uitdrukking zou er dus als volgt uitzien:

• (varken): (Vliegt(varken) ⊕ ~Vliegt(varken))
• (Voor alle gevallen van “varken” gezien en ongezien): (“Varken vliegt” of “Varken vliegt niet” maar niet beide tegelijk)

Logici versus intuïtionistenEdit

Van het einde van de jaren 1800 tot in de jaren 1930 woedde er een bitter, hardnekkig debat tussen Hilbert en zijn volgelingen versus Hermann Weyl en L. E. J. Brouwer. Brouwers filosofie, intuïtionisme genoemd, begon eind 1800 serieus met Leopold Kronecker.

Hilbert had een intense hekel aan Kroneckers ideeën:

Kronecker hield vol dat er geen bestaan kon zijn zonder constructie. Voor hem, net als voor Paul Gordan , was Hilberts bewijs van de eindigheid van de basis van het invariante systeem gewoonweg geen wiskunde. Hilbert daarentegen bleef zijn leven lang volhouden dat als men kan bewijzen dat de aan een concept toegekende attributen nooit tot een tegenspraak zullen leiden, daarmee het wiskundig bestaan van het concept vaststaat (Reid p. 34)

Hij was van mening dat van niets kon worden gezegd dat het wiskundig bestond, tenzij het daadwerkelijk kon worden geconstrueerd met een eindig aantal positieve gehele getallen (Reid p. 26)

De discussie had een diepgaand effect op Hilbert. Reid geeft aan dat Hilberts tweede probleem (een van Hilberts problemen van de Tweede Internationale Conferentie in Parijs in 1900) voortkwam uit dit debat (cursief in het origineel):

In zijn tweede probleem had gevraagd om een wiskundig bewijs van de consistentie van de axioma’s van de rekenkunde van de reële getallen. Om het belang van dit probleem aan te tonen, voegde hij de volgende opmerking toe: “Als aan een begrip tegenstrijdige attributen worden toegekend, zeg ik dat wiskundig gezien het begrip niet bestaat” (Reid p. 71)

Dus Hilbert zei: “Als p en ~p beide waar blijken te zijn, dan bestaat p niet”, en beriep zich daarmee op de wet van het uitgesloten midden, gegoten in de vorm van de wet van de tegenspraak.

En tenslotte beperkten de constructivisten … de wiskunde tot de studie van concrete bewerkingen op eindige of potentieel (maar niet werkelijk) oneindige structuren; voltooide oneindige totalen … werden verworpen, evenals indirecte bewijzen op basis van de wet van het uitgesloten midden. Het meest radicaal onder de constructivisten waren de intuïtionisten, aangevoerd door de topoloog L. E. J. Brouwer (Dawson p. 49)

Het rancuneuze debat duurde van begin 1900 tot in de jaren 1920; in 1927 klaagde Brouwer over “het op hoongelachachtige toon polemiseren ertegen” (Brouwer in van Heijenoort, p. 492). Maar het debat was vruchtbaar: het resulteerde in Principia Mathematica (1910-1913), en dat werk gaf een precieze definitie van de wet van uitgesloten midden, en dit alles verschafte een intellectueel kader en de instrumenten die nodig waren voor de wiskundigen van het begin van de 20e eeuw:

Uit de rancune, en gedeeltelijk erdoor voortgebracht, ontstonden verschillende belangrijke logische ontwikkelingen….Zermelo’s axiomatisering van de verzamelingenleer (1908a) … die twee jaar later werd gevolgd door het eerste deel van Principia Mathematica …. waarin Russell en Whitehead lieten zien hoe, via de theorie van typen, een groot deel van de rekenkunde met logicistische middelen kon worden ontwikkeld (Dawson p. 49)

Brouwer reduceerde het debat tot het gebruik van bewijzen ontworpen vanuit “negatief” of “niet-bestaand” versus “constructief” bewijs:

Volgens Brouwer betekent een uitspraak dat een voorwerp bestaat met een bepaalde eigenschap dat, en wordt dit pas bewezen, wanneer een methode bekend is waarmee in principe althans een dergelijk voorwerp gevonden of geconstrueerd kan worden …. Hilbert was het daar natuurlijk niet mee eens. “Zuivere bestaansbewijzen zijn de belangrijkste mijlpalen geweest in de historische ontwikkeling van onze wetenschap,” hield hij vol. (Reid p. 155) Brouwer … weigerde het logische principe van het uitgesloten midden te aanvaarden… Zijn argument was het volgende: “Stel dat A de uitspraak is “Er bestaat een lid van de verzameling S met de eigenschap P.” Als de verzameling eindig is, is het in principe mogelijk om elk lid van S te onderzoeken en te bepalen of er een lid van S is met de eigenschap P of dat elk lid van S de eigenschap P mist. Voor eindige verzamelingen accepteerde Brouwer dus het principe van het uitgesloten midden als geldig. Hij weigerde het voor oneindige verzamelingen, want als de verzameling S oneindig is, kunnen we niet elk lid van de verzameling onderzoeken, zelfs niet in principe. Als we tijdens ons onderzoek een lid van de verzameling vinden met de eigenschap P, is het eerste alternatief bewezen; maar als we zo’n lid nooit vinden, is het tweede alternatief nog steeds niet bewezen. Aangezien wiskundige stellingen vaak bewezen worden door vast te stellen dat de negatie ons in een tegenspraak zou brengen, zou deze derde mogelijkheid die Brouwer voorstelde veel van de thans aanvaarde wiskundige stellingen op losse schroeven zetten. “Het principe van het uitgesloten midden afnemen van de wiskundige,” zei Hilbert, “is hetzelfde als … de bokser het gebruik van zijn vuisten verbieden.” “Het mogelijke verlies leek Weyl niet te deren… Brouwer’s programma was het komende ding, drong hij aan bij zijn vrienden in Zürich.” (Reid, p. 149)}}

In zijn lezing in 1941 op Yale en de daaropvolgende paper stelde Gödel een oplossing voor: “dat de negatie van een universele stelling moest worden opgevat als de bewering … van het bestaan van een tegenvoorbeeld” (Dawson, p. 157))

Gödel’s benadering van de wet van het uitgesloten midden was te stellen dat bezwaren tegen “het gebruik van ‘impredicatieve definities'” “meer gewicht in de schaal legden” dan “de wet van het uitgesloten midden en verwante stellingen van de propositionele calculus” (Dawson, p. 156). Hij stelde zijn “systeem Σ voor … en hij besloot met het noemen van verschillende toepassingen van zijn interpretatie. Daaronder was een bewijs van de consistentie met de intuïtionistische logica van het principe ~ (∀A: (A ∨ ~A)) (ondanks de inconsistentie van de aanname ∃ A: ~ (A ∨ ~A))” (Dawson, p. 157)

Het debat leek af te zwakken: wiskundigen, logici en ingenieurs blijven de wet van het uitgesloten midden (en de dubbele negatie) gebruiken in hun dagelijks werk.

Intuïtionistische definities van de wet (principe) van het uitgesloten middenEdit

Hierna komt het diepe wiskundige en filosofische probleem naar voren achter wat het betekent om te “weten”, en helpt ook te verduidelijken wat de “wet” inhoudt (d.w.z. wat de wet werkelijk betekent). Hun moeilijkheden met de wet komen naar voren: dat zij niet als waar willen aanvaarden implicaties die getrokken worden uit datgene wat oncontroleerbaar is (niet te testen, niet te kennen) of uit het onmogelijke of het valse. (Alle citaten zijn van van Heijenoort, cursief toegevoegd).

Brouwer geeft zijn definitie van “principe van uitgesloten midden”; we zien hier ook de kwestie van “toetsbaarheid”:

Op grond van de zojuist genoemde toetsbaarheid geldt voor eigenschappen die binnen een bepaald eindig hoofdsysteem worden opgevat, het “beginsel van het uitgesloten midden”, dat wil zeggen het beginsel dat voor elk systeem elke eigenschap ofwel juist, ofwel onmogelijk is, en in het bijzonder het beginsel van de wederkerigheid van de complementaire soorten, dat wil zeggen het beginsel dat voor elk systeem de juistheid van een eigenschap volgt uit de onmogelijkheid van de onmogelijkheid van deze eigenschap. (335)

Kolmogorovs definitie haalt de twee ontkenningsaxioma’s van Hilbert aan

1. A → (~A → B)
2. (A → B) → { (~A → B) → B}

Hilberts eerste ontkenningsaxioma, “alles volgt uit het onware”, deed pas zijn intrede met de opkomst van de symbolische logica, evenals het eerste implicatie-axioma…. terwijl… het onderhavige axioma iets beweert over de gevolgen van iets onmogelijks: we moeten B aanvaarden als de ware uitspraak A als onwaar wordt beschouwd… Hilbert’s tweede axioma van negatie drukt het principe van uitgesloten midden uit. Het principe wordt hier uitgedrukt in de vorm waarin het voor afleidingen wordt gebruikt: als B zowel uit A als uit ~A volgt, dan is B waar. De gebruikelijke vorm, “elk oordeel is óf waar óf onwaar”, is gelijkwaardig aan de hierboven gegeven vorm”. Uit de eerste interpretatie van de negatie, namelijk het verbod om het oordeel als waar te beschouwen, kan men onmogelijk de zekerheid verkrijgen dat het principe van het uitgesloten midden waar is… Brouwer toonde aan dat in het geval van dergelijke transfiniete oordelen het principe van het uitgesloten midden niet als vanzelfsprekend kan worden beschouwd voetnoot 9: “Dit is de zeer eenvoudige formulering van Leibniz (zie Nouveaux Essais, IV,2). De formulering “A is óf B óf niet-B” heeft niets te maken met de logica van oordelen. voetnoot 10: “Symbolisch wordt de tweede vorm dus uitgedrukt als A ∨ ~A

waarbij ∨ “of” betekent. De gelijkwaardigheid van de twee vormen is gemakkelijk te bewijzen (p. 421)