$ \def\P{\mathcal P} % power set \def\iff{\Leftrightarrow}$

A leképezés, vagy rövidítve map, a függvény számos szinonimája közül az egyik.Különösen a map(ping) kifejezést használják általános összefüggésekben, például a halmazelméletben, de a használat nem korlátozódik ezekre az esetekre.

A leképezés fogalma a halmazelméletben

A halmazelméletben a leképezések speciális bináris relációk.

A leképezés $f$ egy $A$ halmazról egy $B$ halmazra egy (rendezett) hármas $ f = (A,B,G_f) $ ahol $ G_f \A részhalmaz \mint B $úgy, hogy

• (a) ha $ (x,y) $ és $ (x,y’) \in G_f $ akkor $ y=y’ $, és
• (b) a vetület $ \pi_1 (G_f) = \{ x \mid (x,y) \in G_f \} = A $.

Az (a) feltétel kifejezi, hogy $f$ egyértékű. ésa (b) feltétel, hogy $A$-on definiált.

$A$ a tartomány, $B$ a társtartomány, $G_f$ pedig a leképezés gráfja. Ebben a környezetben tehát a leképezések akkor és csak akkor egyenlők, ha mindhárom megfelelő komponens (tartomány, kodomain és gráf) egyenlő.
A leképezést általában úgy jelöljük, hogy $ f : A \to B $, és $ a \mapsto f(a) $ ahol $ f(a) := b \iff (a,b) \in G_f $ az $f$ értéke $a$-nál.

Ha két leképezés $ f_1 = (A_1,B_1,G_1) $ és $ f_2 = (A_2,B_2,G_2) $ megfelel

$ A_1 \subset A_2 $, $ B_1 \subset B_2 $ és $ G_1 \subset G_2 $

akkor $f_2$ az $ f_1 $ kiterjesztésének, $ f_1 $ pedig az $f_2$ korlátozásának nevezzük.Ebben az esetben $ f_1 $-t gyakran úgy jelöljük, hogy $ f_2 \vert A_1 $, és nyilvánvaló, hogy $ f_1 (a) = f_2 (a) $ minden $ a \in A_1 $-ra érvényes.

Jegyzet:
Egy függvény ábrázolására néha csak a $G_f$ gráfot használjuk.Ebben az esetben két leképezés akkor egyenlő, ha ugyanaz a gráfjuk,és megengedhetünk olyan gráfokat is, amelyek nem halmazok, hanem osztályok.
Míg a függvény tartományát az első komponens $ \pi_1 (G_f) $ vetületeként kapjuk meg, addig a második komponens $ \pi_2 (G_f) $ vetülete nem adja meg a kodomaint, hanem csak a tartomány képét.Így a szurjektivitás fogalma nem alkalmazható.

Kompozíció

Két leképezés akkor állítható össze, ha az egyik leképezés kodomainje a másik leképezés doménjének részhalmaza:

A $ f=(A,B,G_f) $ és $ g=(C,D,G_g) $ esetén $ B \ C részhalmaz $ a $ g \circ f $ kompozíció a $ (A,D,G) $ leképezés, ahol

$ G := \{ (a,g(f(a)))) \mid a \in A \} = \{ (a,c) \mid (\exists b \in B) ( (a,b) \in G_f \land (b,c) \in G_g ) \} $.

Megjegyzések:
(a) A $ B \subset C $ feltétel lazítható $ f(A) \subset C $-ra.
(b) Ha csak gráfokat használunk, akkor az összetétel gráfját (a fentiek szerint) a következőképpen határozzuk meg:

$ G_{g \circ f} := \{ (a,c) \mid (\exists b ) ( (a,b) \in G_f \land (b,c) \in G_g ) \} $

de kiderülhet, hogy üres.

Indukált leképezések

Minden $ f : A \to B $ leképezés két leképezést indukál a $\P(A)$ és $\P(B)$ hatványhalmazok között.

$ f_\ast : \P(A) \to \P(B) $ a $ f_\ast (S) := \{ f(a) \mid a \in S \}$ for $ S \subset A $

és

$ f^\ast : \P(B) \to \P(A) $ a $ f^\ast (T) által definiálva:= \{ a \mid f(a) \in T \}$ a $ T \ B részhalmazra $

$ f_\ast (S) $ az $S$ $f$ alatti képének nevezzük, amelyet általában $f(S)$-ként jelölünk, és $ f^\ast (T) $ az $T$ $f$ alatti inverz képének nevezzük, amelyet általában $f^{-1}(T)$-ként jelölünk,de tisztában kell lennünk azzal, hogy ezek az általános jelölések bizonyos helyzetekben kétértelműek lehetnek.