$ \def\P{\mathcal P} % potensmängd \def\iff{\Leftrightarrow}$

Mappning, eller förkortat map, är ett av många synonymer som används för funktion.I synnerhet används termen map(ping) i allmänna sammanhang, såsom mängdteori, men användningen är inte begränsad till dessa fall.

Mappningsbegreppet i mängdteori

I mängdteori är mappningar speciella binära relationer.

En mappning $f$ från en mängd $A$ till en mängd $B$ är en (ordnad) trippel $ f = (A,B,G_f) $ där $ G_f \ delmängd A \ gånger B $ så att

• (a) om $ (x,y) $ och $ (x,y’) \in G_f $ då $ y=y’ $, och
• (b) projektionen $ \pi_1 (G_f) = \{ x \mid (x,y) \in G_f \} = A $.

Kondition (a) uttrycker att $f$ är enkelvärdig. ochkondition (b) att den är definierad på $A$.

$A$ är domänen, $B$ är kodomänen och $G_f$ är grafen för avbildningen. I denna miljö är därför avbildningar lika om och endast om alla tre motsvarande komponenter (domän, kodomän och graf) är lika.
Avbildningen betecknas vanligen som $ f : A \till B $, och $ a \mapsto f(a) $ där $ f(a) := b \iff (a,b) \in G_f $ är värdet av $f$ vid $a$.

Om två avbildningar $ f_1 = (A_1,B_1,G_1) $ och $ f_2 = (A_2,B_2,G_2) $ uppfyller

$ A_1 \subset A_2 $, $ B_1 \subset B_2 $ och $ G_1 \subset G_2 $

då kallas $f_2$ en förlängning av $ f_1 $, och $ f_1 $ en begränsning av $f_2$.I detta fall betecknas $ f_1 $ ofta som $ f_2 \vert A_1 $ och det är tydligt att $ f_1 (a) = f_2 (a) $ gäller för alla $ a \in A_1 $.

Remärkning:
Ibland används endast grafen $G_f$ för att representera en funktion.I detta fall är två avbildningar lika om de har samma graf,och man kan tillåta grafer som inte är mängder utan klasser.
Om funktionens domän kan erhållas som projektion $ \pi_1 (G_f) $ av den första komponenten, ger projektionen $ \pi_2 (G_f) $ av den andra komponenten inte kodomänen utan endast bilden av domänen.Begreppet surjektivitet är således inte tillämpligt.

Komposition

Två avbildningar kan komponeras om den ena avbildningens koddomän är en delmängd av den andra avbildningens domän:

För $ f=(A,B,G_f) $ och $ g=(C,D,G_g) $ med $ B \ delmängd C $ är kompositionen $ g \circ f $ avbildningen $ (A,D,G) $ med

$ G := \{ (a,g(f(a))) \mid a \in A \} = \{ (a,c) \mid (\exists b \in B) ( (a,b) \in G_f \land (b,c) \in G_g ) \} $.

Anmärkningar:
(a) Villkoret $ B \subset C $ kan lättas upp till $ f(A) \subset C $.
(b) Om endast grafer används definieras kompositionens graf (som ovan) genom

$ G_{g \circ f} := \{ (a,c) \mid (\exists b ) ( (a,b) \in G_f \land (b,c) \in G_g ) \} $

men kan visa sig vara tom.

Inducerade avbildningar

Alla avbildningar $ f : A \till B $ inducerar två avbildningar mellan potensmängderna $\P(A)$ och $\P(B)$.

$ f_\ast : \P(A) \to \P(B) $ definieras av $ f_\ast (S) := \{ f(a) \mid a \in S \}$ for $ S \subset A $

och

$ f^\ast : \P(B) \to \P(A) $ definieras av $ f^\ast (T) := \{ a \mid f(a) \in T \}$$ för $ T \subset B $

$ f_\ast (S) $ kallas bilden av $S$ under $f$, vanligen betecknad som $f(S)$, och$ f^\ast (T) $ kallas den omvända bilden av $T$ under $f$, vanligen betecknad som $f^{-1}(T)$,men man måste vara medveten om att dessa vanliga benämningar kan vara tvetydiga i vissa situationer.