Det finns två grundläggande formler som vi redan känner till:
1) Total = n(Ingen uppsättning) + n(Exakt en uppsättning) + n(Exakt två uppsättningar) + n(Exakt tre uppsättningar)

2) Total = n(A) + n(B) + n(C) – n(A och B) – n(B och C) – n(C och A) + n(A och B och C) + n(Ingen uppsättning)

Från dessa två formler kan vi härleda alla andra.

n(Exakt en uppsättning) + n(Exakt två uppsättningar) + n(Exakt tre uppsättningar) ger oss n(Minst en uppsättning). Vi får alltså:

3) Total = n(Ingen uppsättning) + n(Minst en uppsättning)

Från (3) får vi n(Minst en uppsättning) = Total – n(Ingen uppsättning)

Plattar vi in detta i (2) får vi då:

4) n(Minst en uppsättning) = n(A) + n(B) + n(C) – n(A och B) – n(B och C) – n(C och A) + n(A och B och C)

Nu ska vi se hur vi kan beräkna antalet personer i exakt två uppsättningar. Det finns en anledning till att vi hoppade till n(Exakt två uppsättningar) i stället för att följa det mer logiska nästa steg att räkna ut n(Minst två uppsättningar) – det blir mer intuitivt att få fram n(Minst två uppsättningar) efter att vi har funnit n(Exakt två uppsättningar).

n(A och B) innefattar personer som är med i både A och B, och det innefattar också personer som är med i A, B och C. På grund av detta bör vi ta bort n(A och B och C) från n(A och B) för att få fram n(Endast A och B). På samma sätt får man n(endast B och C) och n(endast C och A), så genom att addera alla dessa tre får vi antalet personer i exakt två uppsättningar.

n(Exakt två uppsättningar) = n(A och B) – n(A och B och C) + n(B och C) – n(A och B och C) + n(C och A) – n(A och B och C) + n(C och A) – n(A och B och C). Därför:

5) n(Exakt två mängder) = n(A och B) + n(B och C) + n(C och A) – 3*n(A och B och C)

Nu kan vi lätt få n(Minst två mängder):

6) n(Minst två uppsättningar) = n(A och B) + n(B och C) + n(C och A) – 2*n(A och B och C)

Detta är bara n(A och B och C) mer än n(Exakt två uppsättningar). Det är väl logiskt, eller hur? Här inkluderar man de personer som ingår i alla tre uppsättningarna en gång och n(Exakt två uppsättningar) omvandlas till n(Minst två uppsättningar)!

Nu går vi vidare för att hitta n(Exakt en uppsättning). Från n(Minst en uppsättning) subtraherar vi n(Minst två uppsättningar), dvs. vi subtraherar (6) från (4)

n(Exakt en uppsättning) = n(Minst en uppsättning) – n(Minst två uppsättningar), därför:

7) n(Exakt en uppsättning) = n(A) + n(B) + n(C) – 2*n(A och B) – 2*n(B och C) – 2*n(C och A) + 3*n(A och B och C)

Du behöver inte lära dig alla dessa formler. Fokusera bara på de två första och vet hur du kan komma fram till de andra om det behövs. Låt oss prova detta i ett exempelproblem:

Av 250 intervjuade tittare som tittar på minst en av de tre TV-kanalerna A, B &C. 116 tittar på A, 127 på C och 107 på B. Om 50 tittar på exakt två kanaler. Hur många tittar på exakt en kanal?

(A) 185

(B) 180

(C) 175

(D) 190

(E) 195

Du får följande uppgifter:

n(Minst en kanal) = 250

n(Exakt två kanaler) = 50

Så vi vet att n(Minst en kanal) = n(Exakt 1 kanal) + n(Exakt 2 kanaler) + n(Exakt 3 kanaler) = 250

250 = n(Exakt 1 kanal) + 50 + n(Exakt 3 kanaler)

Låt oss hitta värdet av n(Exakt 3 kanaler) = x

Vi vet också att n(Minst en kanal) = n(A) + n(B) + n(C) – n(A och B) – n(B och C) – n(C och A) + n(A och B och C) = 250

Alltså, n(Exakt två kanaler) = n(A och B) + n(B och C) + n(C och A) – 3*n(A och B och C)

Så n(A och B) + n(B och C) + n(C och A) = n(Exakt två kanaler) + 3*n(A och B och C)

Om detta sätts in i ekvationen ovan:

250 = n(A) + n(B) + n(C) – n(Exakt två kanaler) – 3*x + x