Jag kommer att definiera en funktion s i N och jag kommer att definiera den som summan summan summan av alla positiva heltal positiva heltal heltal inklusive n inklusive n och så domänen för den här funktionen är egentligen allt. positiva heltal och måste vara ett positivt heltal och så vi kan prova det med några saker vi kan ta s av 3 detta kommer att vara lika med 1 plus 2 plus 3 vilket är lika med 6 vi kan ta s av låt oss ta s av 4 ja det kommer att vara 1 plus 2 plus 3 plus 4 vilket kommer att vara lika med 10 så ganska ganska okomplicerat nu vad jag vill göra i denna videon är att bevisa för dig och det finns faktiskt flera sätt att bevisa detta att jag kan skriva detta som en funktion av n att summan av alla positiva heltal upp till och med n är lika med n gånger n plus 1 allt detta över 2 och det sätt jag kommer att bevisa det för dig är åtminstone det första sättet jag kommer att bevisa det för dig är genom induktion detta kommer att vara ett bevis Det är ett intressant filosofiskt sätt att bevisa något eftersom sättet du gör ett bevis genom induktion är att först bevisa grundfallet. Du bevisar grundfallet, så i fallet med den här funktionen, det här uttalandet här borta, så det här är vad vi behöver bevisa, i fallet med det här uttalandet här borta kommer vi först att bevisa det 4-1 det blir vårt grundfall och sedan ska vi göra induktionssteget induktionssteget som i huvudsak går ut på att om vi antar att det fungerar för något positivt heltal K att om vi antar att så kan vi bevisa att det kommer att fungera för nästa positiva heltal kommer det att fungera för K plus 1 och anledningen till att detta fungerar låt oss säga att vi bevisar om vi bevisar båda dessa så basfallet vi kommer att bevisa det för i detta fall kommer vi att bevisa för 1 bevisa för 1 men det finns det behöver inte alltid vara 1 eftersom du kan din din din det kan vara detta är sant för allting över 55 eller allt över något tröskelvärde men i det här fallet säger vi att det är sant för alla positiva heltal så vårt grundfall kommer att vara 4 1 och sedan vår nästa F vi kommer att försöka bevisa att om du antar om du antar 4 om du antar att det här är sant för en del av K om vi antar att så kommer det att vara sant för några av K plus 1 och anledningen till att detta är allt du behöver göra för att bevisa detta för alla positiva heltal är bara att föreställa sig så låt oss tänka på alla positiva heltal här borta 1 2 3 4 4 5 6 du skulle bara kunna fortsätta i all oändlighet så vi kommer att bevisa det 4-1 vi ska bevisa att denna formel här borta detta detta uttryck gäller för fallet 1 när n är 1 och sedan ska vi bevisa att om vi vet att det är sant för någon given K så är det sant för nästa så om vi vet att det är sant för 1 i vårt basfall så säger det andra steget, detta induktionssteg, att det måste vara sant för 2 då eftersom vi har bevisat generellt att om det är sant för K så kommer det att vara sant för K plus 1, om det är sant för 2 så måste det vara sant för 3 eftersom vi har bevisat att om det är sant för om det är sant för K så är det sant för K plus 1 så om det är sant för 2 så är det sant för 3 och sedan om det är sant för 3 så måste det vara sant för 4 och du kan bara fortsätta i all oändlighet vilket betyder att det är sant för allting, nu talat generellt, låt oss bevisa det här genom induktion så låt oss ta låt oss ta låt oss ta låt oss ta låt oss ta summan, låt oss göra den här funktionen på 1, det kommer bara att vara summan av alla positiva heltal inklusive 1, det kommer bokstavligen att vara 1, vi har bara adderat dem alla, det är bara 1, det finns inget annat positivt heltal upp till och med 1, och vi kan bevisa att det är samma sak som 1 gånger 1 plus 1, allt det där över 2, 1 plus 1 är 2, 2 dividerat med 2 är 1, 1 gånger 1 är 1, så den här formeln, här borta, det här uttrycket, det fungerade. för det fungerade för 1 så vi har bevisat vi har bevisat vårt grundfall vi har bevisat det för 1 nu vad jag vill göra är att jag vill anta att det fungerar för något nummer för för något nummer K så jag kommer att anta jag kommer att anta jag kommer att anta sant sant för jag kommer att anta att det är sant för något nummer K så jag kommer att anta att för något nummer K att den här funktionen vid K kommer att vara lika med K gånger k plus 1 över 2 så jag antar bara att det är sant för det nu Vad jag vill göra är att tänka på vad som händer när jag försöker hitta när jag försöker hitta denna funktion för k plus 1 så detta är vad jag antar att jag antar att jag vet detta nu låt oss försöka göra det för k plus 1 så vad är summan av alla heltal upp till och inklusive k plus 1 upp till och inklusive k plus 1 väl detta kommer att vara 1 plus 2 plus 3 plus hela vägen upp till k plus k plus 1 rätt detta är summan av allt upp till och inklusive k plus 1 väl vi antar att vi vet vad detta redan är vi antar att vi redan har en formel för detta vi antar att detta kommer att förenklas till k gånger k plus 1 över 2 eller antar att vi vet det och så tar vi bara den här delen och vi adderar den till k plus 1 så vi adderar den till k plus 1 här borta vi adderar den till k plus 1 och om du hittar en gemensam nämnare om du hittar en kommentar den Den gemensamma nämnaren kommer att vara 2 så låt oss gå detta kommer att vara lika med jag skriver delen i magenta först detta är K gånger k plus 1 över 2 plus 2 gånger k plus 1 över 2 detta i blått är samma sak som det i blått tvåorna skulle utplåna jag skrev det bara på detta sätt så jag har en gemensam nämnare och så detta kommer att vara lika med detta kommer att vara lika med vi har en gemensam nämnare på 2 och jag kommer skriva detta i en annan färg här så vi kommer att ha K gånger k plus 1 plus 2 gånger k plus 1 nu i det här steget här borta kan du faktorisera ut ett k plus 1 båda dessa termer är delbara med K plus 1 så låt oss faktorisera ut detta om du faktoriserar ut ett k plus 1 så får du k plus 1 k plus 1 k plus 1 gånger vi frakturerar ut det här borta om du faktoriserar ut ett k plus 1 så har du bara ett K här borta om du faktoriserar ut ett k plus 1 så har du bara ett – Låt mig färgkoda dem så att du vet vad jag gör, så den här 2 är den här 2 där borta och den här K är den här K är den här K är den här K där borta, vi har räknat ut den här k plus en gång, vi har räknat ut den här k plus en gång, vi har räknat ut den här k plus en gång, vi har räknat ut den här 2, den här k plus en gång där borta, och det kommer att bli allt det här, allt det här. över 2 nu kan vi skriva om detta är samma sak detta är lika med detta är samma sak som detta är samma sak som k plus 1 det är denna del här borta gånger k plus 1 k plus 1 plus 1 plus 1 rätt detta är helt klart samma sak som k plus 2 allt detta över allt detta över 2 Varför är detta intressant för oss? Vi har just bevisat det om vi antar att detta är sant om vi antar att detta är sant, och om vi använder det antagandet så får vi fram att summan av alla positiva heltal upp till och med k plus 1 är lika med k plus 1 gånger k plus 1 plus 1 plus 1 över 2 vi visar faktiskt att den ursprungliga formeln den ursprungliga formeln gäller för k plus 1 också om du bara tar k plus 1 och sätter in det för n du kan sätta in det för n du skulle få exakt samma resultat som vi fick här borta så vi visade vi vi bevisat att vi har bevisat vårt grundfall detta detta detta detta uttryck fungerade för summan för alla positiva heltal upp till och med 1 och det fungerar också om vi antar att det fungerar för allt upp till upp till upp till k eller om vi antar att det fungerar för heltalet k så fungerar det också för heltalet k plus 1 och vi är klara det är vårt bevis vän genom induktion som bevisar för oss att det fungerar för alla positiva heltal varför är det så väl vi har bevisat det för 1 och vi har bevisat det att om det fungerar för något heltal så kommer det att fungera för nästa heltal om du kan anta att det fungerar för något heltal så kommer det att fungera för nästa heltal så om du antar att det fungerar för ett så kan det fungera för två, ja vi har redan bevisat att det fungerar för ett så vi kan anta att det fungerar för ett så det kommer definitivt att fungera för två så vi får två kontrollerade men eftersom vi kan anta att det Om det fungerar för två kan vi nu anta att det fungerar för tre. Om det fungerar för tre har vi bevisat att det fungerar för fyra. Du ser hur det här induktionssteget är som en domino och det kaskaderar och vi kan fortsätta i all oändlighet, så det kommer verkligen att fungera för alla positiva heltal.