AristoteleModifica

La prima formulazione conosciuta è nella discussione di Aristotele del principio di non contraddizione, proposto per la prima volta in Sull’interpretazione, dove dice che di due proposizioni contraddittorie (cioè dove una proposizione è la negazione dell’altra) una deve essere vera e l’altra falsa. Lo afferma anche come principio nel libro 3 della Metafisica, dicendo che è necessario in ogni caso affermare o negare, e che è impossibile che ci sia qualcosa tra le due parti di una contraddizione.

Aristotele scrive che l’ambiguità può nascere dall’uso di nomi ambigui, ma non può esistere nei fatti stessi:

È impossibile, dunque, che “essere un uomo” significhi precisamente “non essere un uomo”, se “uomo” non solo significa qualcosa su un soggetto ma ha anche un solo significato. … E non sarà possibile essere e non essere la stessa cosa, se non in virtù di un’ambiguità, proprio come se uno che noi chiamiamo “uomo”, e altri chiamassero “non uomo”; ma il punto in questione non è questo, se la stessa cosa può allo stesso tempo essere e non essere un uomo di nome, ma se può esserlo di fatto. (Metafisica 4.4, W.D. Ross (trans.), GBWW 8, 525-526).

L’affermazione di Aristotele che “non sarà possibile essere e non essere la stessa cosa”, che sarebbe scritta nella logica proposizionale come ¬(P ∧ ¬P), è un’affermazione che i logici moderni potrebbero chiamare la legge del mezzo escluso (P ∨ ¬P), in quanto la distribuzione della negazione dell’affermazione di Aristotele le rende equivalenti, indipendentemente dal fatto che la prima afferma che nessuna affermazione è sia vera che falsa, mentre la seconda richiede che ogni affermazione sia o vera o falsa.

Ma Aristotele scrive anche: “poiché è impossibile che le contraddizioni siano allo stesso tempo vere della stessa cosa, ovviamente anche le contrarietà non possono appartenere allo stesso tempo alla stessa cosa” (Libro IV, CH 6, p. 531). Propone poi che “non ci può essere un intermedio tra le contraddizioni, ma di un soggetto si deve affermare o negare un predicato qualsiasi” (Libro IV, CH 7, p. 531). Nel contesto della logica tradizionale di Aristotele, questa è un’affermazione straordinariamente precisa della legge del mezzo escluso, P ∨ ¬P.

Anche in Sull’interpretazione, Aristotele sembra negare la legge del mezzo escluso nel caso dei contingenti futuri, nella sua discussione sulla battaglia navale.

LeibnizEdit

La sua forma usuale, “Ogni giudizio è o vero o falso” ..”(da Kolmogorov in van Heijenoort, p. 421) nota 9: “Questa è la formulazione molto semplice di Leibniz (vedi Nouveaux Essais, IV,2)” (ibid p 421)

Bertrand Russell e i Principia MathematicaEdit

Il principio fu affermato come teorema della logica proposizionale da Russell e Whitehead nei Principia Mathematica come:

∗ 2 ⋅ 11 . ⊢ . p ∨ ∼ p {displaystyle \mathbf {*2\cdot 11} .\ \vdash .\ p \vee \thicksim p}

.

Cos’è dunque la “verità” e la “falsità”? In apertura PM annuncia rapidamente alcune definizioni:

Valori di verità. Il “valore di verità” di una proposizione è verità se è vera e falsità se è falsa* … il valore di verità di “p ∨ q” è verità se il valore di verità sia di p che di q è verità, ed è falsità altrimenti … quello di “~ p” è il contrario di quello di p…” (p. 7-8)

Questo non è di grande aiuto. Ma più avanti, in una discussione molto più profonda (“Definizione e ambiguità sistematica di verità e falsità” Capitolo II parte III, p. 41 e seguenti), PM definisce verità e falsità in termini di una relazione tra l'”a” e il “b” e il “percipiente”. Per esempio “Questo ‘a’ è ‘b'” (per esempio “Questo ‘oggetto a’ è ‘rosso'”) significa realmente “‘oggetto a’ è un senso-dato” e “‘rosso’ è un senso-dato”, ed essi “stanno in relazione” tra loro e in relazione a “io”. Così ciò che intendiamo veramente è: “Io percepisco che ‘Questo oggetto a è rosso'” e questa è una “verità” innegabile per la terza parte.

PM definisce inoltre una distinzione tra un “senso-dato” e una “sensazione”:

Quindi, quando giudichiamo (diciamo) “questo è rosso”, ciò che avviene è una relazione di tre termini, la mente, e “questo”, e “rosso”. D’altra parte, quando percepiamo “il rossore di questo”, c’è una relazione di due termini, cioè la mente e l’oggetto complesso “il rossore di questo” (pp. 43-44).

Russell ribadisce la sua distinzione tra “senso-dato” e “sensazione” nel suo libro The Problems of Philosophy (1912), pubblicato contemporaneamente a PM (1910-1913):

Diamo il nome di “senso-dato” alle cose che sono immediatamente conosciute nella sensazione: cose come colori, suoni, odori, durezze, rugosità e così via. Daremo il nome di “sensazione” all’esperienza di essere immediatamente consapevoli di queste cose… Il colore stesso è un senso-dato, non una sensazione. (p. 12)

Russell descrive ulteriormente il suo ragionamento dietro le sue definizioni di “verità” e “falsità” nello stesso libro (Capitolo XII, Verità e Falsità).

Conseguenze della legge del mezzo escluso nei Principia MathematicaEdit

Dalla legge del mezzo escluso, formula ✸2.1 nei Principia Mathematica, Whitehead e Russell ricavano alcuni degli strumenti più potenti nella cassetta degli attrezzi del logico. (Nei Principia Mathematica, le formule e le proposizioni sono identificate da un asterisco iniziale e da due numeri, come “✸2.1”.)

✸2.1 ~p ∨ p “Questa è la legge del mezzo escluso” (PM, p. 101).

La dimostrazione di ✸2.1 è più o meno la seguente: L'”idea primitiva” 1.08 definisce p → q = ~p ∨ q. Sostituendo p con q in questa regola si ottiene p → p = ~p ∨ p. Poiché p → p è vero (questo è il Teorema 2.08, che viene dimostrato separatamente), allora ~p ∨ p deve essere vero.

✸2.11 p ∨ ~p (La permutazione delle asserzioni è permessa dall’assioma 1.4)
✸2.12 p → ~(~p) (Principio della doppia negazione, parte 1: se “questa rosa è rossa” è vera allora non è vero che “‘questa rosa non è rossa’ è vera”.)
✸2.13 p ∨ ~{~(~p)} (Lemma insieme a 2.12 usato per derivare 2.14)
✸2.14 ~(~p) → p (Principio della doppia negazione, parte 2)
✸2.15 (~p → q) → (~q → p) (Uno dei quattro “Principi di trasposizione”. Simile a 1.03, 1.16 e 1.17. Qui è stata necessaria una dimostrazione molto lunga.)
✸2.16 (p → q) → (~q → ~p) (Se è vero che “Se questa rosa è rossa allora questo maiale vola” allora è vero che “Se questo maiale non vola allora questa rosa non è rossa.”)
✸2.17 ( ~p → ~q ) → (q → p) (Un altro dei “Principi di trasposizione”.)
✸2.18 (~p → p) → p (Chiamato “Il complemento della reductio ad absurdum. Esso afferma che una proposizione che segue dall’ipotesi della propria falsità è vera” (PM, pp. 103-104).)

La maggior parte di questi teoremi – in particolare ✸2.1, ✸2.11, e ✸2.14 – sono respinti dall’intuizionismo. Questi strumenti sono rifusi in un’altra forma che Kolmogorov cita come “i quattro assiomi di implicazione di Hilbert” e “i due assiomi di negazione di Hilbert” (Kolmogorov in van Heijenoort, p. 335).

Proposizioni ✸2.12 e ✸2.14, “doppia negazione”:Gli scritti intuizionisti di L. E. J. Brouwer fanno riferimento a quello che egli chiama “il principio della reciprocità delle specie multiple, cioè il principio che per ogni sistema la correttezza di una proprietà segue dall’impossibilità dell’impossibilità di questa proprietà” (Brouwer, ibidem, p. 335).

Questo principio è comunemente chiamato “il principio della doppia negazione” (PM, pp. 101-102). Dalla legge del mezzo escluso (✸2.1 e ✸2.11), PM deriva immediatamente il principio ✸2.12. Sostituiamo ~p con p in 2.11 per ottenere ~p ∨ ~(~p), e per la definizione di implicazione (cioè 1.01 p → q = ~p ∨ q) allora ~p ∨ ~(~p)= p → ~(~p). QED (La derivazione di 2.14 è un po’ più complessa.)

ReichenbachEdit

È corretto, almeno per la logica bivalente – cioè si può vedere con una mappa di Karnaugh – che questa legge rimuove “il mezzo” dell’inclusive-or usato nella sua legge (3). E questo è il punto della dimostrazione di Reichenbach che alcuni credono che l’esclusivo-o debba prendere il posto dell’inclusivo-o.

A proposito di questa questione (in termini dichiaratamente molto tecnici) Reichenbach osserva:

Il tertium non datur 29. (x) non è esaustivo nei suoi termini principali ed è quindi una formula gonfiata. Questo fatto può forse spiegare perché alcuni considerano irragionevole scrivere (29) con l’inclusivo-‘o’, e vogliono farlo scrivere con il segno dell’esclusivo-‘o’ 30. (x), dove il simbolo “⊕” significa esclusivo-o nella cui forma sarebbe pienamente esaustivo e quindi nomologico in senso stretto. (Reichenbach, p. 376)

Nella riga (30) il “(x)” significa “per tutti” o “per ogni”, una forma usata da Russell e Reichenbach; oggi il simbolismo è solitamente ∀ {displaystyle \forall }

x. Così un esempio dell’espressione sarebbe come questo:

• (pig): (Flies(pig) ⊕ ~Flies(pig))
• (Per tutte le istanze di “pig” viste e non viste): (“Il maiale vola” o “Il maiale non vola”, ma non entrambi contemporaneamente)

Logici contro IntuizionistiModifica

Dalla fine del 1800 agli anni ’30, un aspro e persistente dibattito infuriò tra Hilbert e i suoi seguaci contro Hermann Weyl e L. E. J. Brouwer. La filosofia di Brouwer, chiamata intuizionismo, iniziò seriamente con Leopold Kronecker alla fine del 1800.

Hilbert disprezzava intensamente le idee di Kronecker:

Kronecker insisteva che non poteva esserci esistenza senza costruzione. Per lui, come per Paul Gordan , la prova di Hilbert della finitezza della base del sistema invariante non era semplicemente matematica. Hilbert, d’altra parte, per tutta la sua vita ha insistito sul fatto che se si può dimostrare che gli attributi assegnati a un concetto non porteranno mai a una contraddizione, l’esistenza matematica del concetto è così stabilita (Reid p. 34)

Era sua convinzione che non si poteva dire che nulla avesse un’esistenza matematica se non poteva essere costruito con un numero finito di numeri interi positivi (Reid p. 26)

Il dibattito ebbe un profondo effetto su Hilbert. Reid indica che il secondo problema di Hilbert (uno dei problemi di Hilbert della seconda conferenza internazionale di Parigi del 1900) si è evoluto da questo dibattito (corsivo nell’originale):

Nel suo secondo problema aveva chiesto una prova matematica della consistenza degli assiomi dell’aritmetica dei numeri reali. Per mostrare il significato di questo problema, aggiunse la seguente osservazione: “Se si assegnano attributi contraddittori a un concetto, dico che matematicamente il concetto non esiste” (Reid p. 71)

Quindi Hilbert stava dicendo: “Se si dimostra che p e ~p sono entrambi veri, allora p non esiste”, e stava quindi invocando la legge del mezzo escluso, trasformata nella forma della legge della contraddizione.

E infine i costruttivisti … restringevano la matematica allo studio di operazioni concrete su strutture finite o potenzialmente (ma non effettivamente) infinite; le totalità infinite complete … erano respinte, così come le prove indirette basate sulla legge del mezzo escluso. I più radicali tra i costruttivisti erano gli intuizionisti, guidati dall’ex topologo L. E. J. Brouwer (Dawson p. 49)

Il rancoroso dibattito continuò per i primi anni del 1900 fino agli anni venti; nel 1927 Brouwer si lamentò di “polemizzare contro di esso con toni beffardi” (Brouwer in van Heijenoort, p. 492). Ma il dibattito fu fertile: sfociò nei Principia Mathematica (1910-1913), e quell’opera diede una definizione precisa alla legge del mezzo escluso, e tutto ciò fornì un contesto intellettuale e gli strumenti necessari ai matematici dell’inizio del XX secolo:

Dal rancore, e in parte da esso generato, nacquero diversi importanti sviluppi logici….l’assiomatizzazione della teoria degli insiemi di Zermelo (1908a)… che fu seguita due anni dopo dal primo volume dei Principia Mathematica…. in cui Russell e Whitehead mostrarono come, attraverso la teoria dei tipi, gran parte dell’aritmetica potesse essere sviluppata per via logicista (Dawson p. 49)

Brouwer ridusse il dibattito all’uso di prove progettate da prove “negative” o di “non esistenza” contro prove “costruttive”:

Secondo Brouwer, un’affermazione che esiste un oggetto con una data proprietà significa che, ed è dimostrata, solo quando è noto un metodo che in linea di principio permetterà almeno di trovare o costruire un tale oggetto… Hilbert naturalmente non era d’accordo. “Le prove di esistenza pura sono state i punti di riferimento più importanti nello sviluppo storico della nostra scienza”, sosteneva. (Reid p. 155) Brouwer … rifiutò di accettare il principio logico del mezzo escluso… Il suo argomento era il seguente: “Supponiamo che A sia l’affermazione “Esiste un membro dell’insieme S che ha la proprietà P”. Se l’insieme è finito, è possibile – in linea di principio – esaminare ogni membro di S e determinare se esiste un membro di S con la proprietà P o che ogni membro di S manca della proprietà P. Per gli insiemi finiti, quindi, Brouwer accettava il principio del mezzo escluso come valido. Rifiutò di accettarlo per gli insiemi infiniti perché se l’insieme S è infinito, non possiamo – nemmeno in linea di principio – esaminare ogni membro dell’insieme. Se, nel corso del nostro esame, troviamo un membro dell’insieme con la proprietà P, la prima alternativa è confermata; ma se non troviamo mai un tale membro, la seconda alternativa non è ancora confermata. Poiché i teoremi matematici sono spesso dimostrati stabilendo che la negazione ci coinvolgerebbe in una contraddizione, questa terza possibilità suggerita da Brouwer metterebbe in discussione molte delle affermazioni matematiche attualmente accettate. “Togliere il Principio del Mezzo Escluso al matematico”, disse Hilbert, “è lo stesso che … vietare al pugile l’uso dei suoi pugni”. “La possibile perdita non sembrava preoccupare Weyl… Il programma di Brouwer era la cosa che veniva, insisteva con i suoi amici a Zurigo.” (Reid, p. 149)}}

Nella sua conferenza del 1941 a Yale e nel successivo articolo Gödel propose una soluzione: “che la negazione di una proposizione universale doveva essere intesa come l’affermazione dell’esistenza … di un controesempio” (Dawson, p. 157))

L’approccio di Gödel alla legge del mezzo escluso era di affermare che le obiezioni contro “l’uso di ‘definizioni impredicative'” “avevano più peso” della “legge del mezzo escluso e dei relativi teoremi del calcolo proposizionale” (Dawson p. 156). Egli propose il suo “sistema Σ … e concluse menzionando diverse applicazioni della sua interpretazione. Tra queste c’era una prova della coerenza con la logica intuizionistica del principio ~ (∀A: (A ∨ ~A)) (nonostante l’inconsistenza dell’assunto ∃ A: ~ (A ∨ ~A)” (Dawson, p. 157)

Il dibattito sembrava indebolirsi: matematici, logici e ingegneri continuano a usare la legge del mezzo escluso (e la doppia negazione) nel loro lavoro quotidiano.

Definizioni intuizioniste della legge (principio) del mezzo esclusoModifica

Quanto segue evidenzia il profondo problema matematico e filosofico dietro a ciò che significa “sapere”, e aiuta anche a chiarire cosa implica la “legge” (cioè cosa significa realmente la legge). Emergono le loro difficoltà con la legge: non vogliono accettare come vere le implicazioni tratte da ciò che non è verificabile (indimostrabile, inconoscibile) o dall’impossibile o dal falso. (Tutte le citazioni sono di van Heijenoort, corsivo aggiunto).

Brouwer offre la sua definizione di “principio del mezzo escluso”; vediamo qui anche la questione della “testabilità”:

Sulla base della testabilità appena menzionata, vigono, per le proprietà concepite all’interno di uno specifico sistema principale finito, il “principio del mezzo escluso”, cioè il principio che per ogni sistema ogni proprietà è o corretta o impossibile, e in particolare il principio della reciprocità delle specie complementari, cioè il principio che per ogni sistema la correttezza di una proprietà segue dall’impossibilità dell’impossibilità di questa proprietà. (335)

La definizione di Kolmogorov cita i due assiomi di negazione di Hilbert

1. A → (~A → B)
2. (A → B) → { (~A → B) → B}

Il primo assioma di negazione di Hilbert, “qualsiasi cosa segue dal falso”, fece la sua comparsa solo con l’affermarsi della logica simbolica, così come il primo assioma di implicazione…. mentre… l’assioma in esame afferma qualcosa sulle conseguenze di qualcosa di impossibile: dobbiamo accettare B se il giudizio vero A è considerato falso… Il secondo assioma di negazione di Hilbert esprime il principio del mezzo escluso. Il principio è espresso qui nella forma in cui è usato per le derivazioni: se B segue da A così come da ~A, allora B è vero. La sua forma abituale, “ogni giudizio è o vero o falso” è equivalente a quella data sopra”. Dalla prima interpretazione della negazione, cioè l’interdizione di considerare il giudizio come vero, è impossibile ottenere la certezza che il principio del mezzo escluso sia vero… Brouwer ha mostrato che nel caso di tali giudizi transfiniti il principio del mezzo escluso non può essere considerato ovvio nota 9: “Questa è la formulazione molto semplice di Leibniz (vedi Nouveaux Essais, IV,2). La formulazione “A è o B o non B” non ha nulla a che fare con la logica dei giudizi. nota 10: “Simbolicamente la seconda forma si esprime così A ∨ ~A

dove ∨ significa “o”. L’equivalenza delle due forme si dimostra facilmente (p. 421)

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