AristótelesEditar

La formulación más antigua conocida se encuentra en la discusión de Aristóteles sobre el principio de no contradicción, propuesto por primera vez en Sobre la interpretación, donde dice que de dos proposiciones contradictorias (es decir, cuando una proposición es la negación de la otra) una debe ser verdadera y la otra falsa. También lo afirma como principio en el libro 3 de la Metafísica, diciendo que es necesario en todo caso afirmar o negar, y que es imposible que haya algo entre las dos partes de una contradicción.

Aristóteles escribió que la ambigüedad puede surgir del uso de nombres ambiguos, pero no puede existir en los hechos mismos:

Es imposible, pues, que «ser hombre» signifique precisamente «no ser hombre», si «hombre» no sólo significa algo sobre un sujeto, sino que también tiene un significado. … Y no será posible ser y no ser la misma cosa, sino en virtud de una ambigüedad, como si uno a quien llamamos «hombre», y otros llamaran «no-hombre»; pero el punto en cuestión no es éste, si la misma cosa puede al mismo tiempo ser y no ser hombre de nombre, sino si puede serlo de hecho. (Metafísica 4.4, W.D. Ross (trans.), GBWW 8, 525-526).

La afirmación de Aristóteles de que «no será posible ser y no ser la misma cosa», que se escribiría en lógica proposicional como ¬(P ∧ ¬P), es un enunciado que los lógicos modernos podrían llamar ley del medio excluido (P ∨ ¬P), ya que la distribución de la negación de la afirmación de Aristóteles las hace equivalentes, independientemente de que la primera afirma que ningún enunciado es a la vez verdadero y falso, mientras que la segunda requiere que cualquier enunciado sea verdadero o falso.

Pero Aristóteles también escribe: «como es imposible que los contradictorios sean al mismo tiempo verdaderos de la misma cosa, evidentemente los contrarios tampoco pueden pertenecer al mismo tiempo a la misma cosa» (Libro IV, CH 6, p. 531). Luego propone que «no puede haber un intermedio entre las contradicciones, sino que de un sujeto debemos afirmar o negar cualquier predicado» (Libro IV, CH 7, p. 531). En el contexto de la lógica tradicional de Aristóteles, ésta es una afirmación notablemente precisa de la ley del medio excluido, P ∨ ¬P.

También en Sobre la interpretación, Aristóteles parece negar la ley del medio excluido en el caso de los contingentes futuros, en su discusión sobre la batalla naval.

LeibnizEdit

Su forma habitual, «Todo juicio es verdadero o falso» …»(de Kolmogorov en van Heijenoort, p. 421) nota 9: «Esta es la formulación muy simple de Leibniz (ver Nouveaux Essais, IV,2)» (ibid p 421)

Bertrand Russell y Principia MathematicaEdit

El principio fue enunciado como un teorema de la lógica proposicional por Russell y Whitehead en Principia Mathematica como:

∗ 2 ⋅ 11 . ⊢ . p ∨ ∼ p {\displaystyle \mathbf {*2\cdot 11} .\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ~ – p.}

.

Entonces, ¿qué es la «verdad» y la «falsedad»? En la apertura PM anuncia rápidamente algunas definiciones:

Valores de verdad. El «valor de verdad» de una proposición es verdad si es verdadera y falsedad si es falsa* …el valor de verdad de «p ∨ q» es verdad si el valor de verdad de p o de q es verdad, y es falsedad en caso contrario… el de «~ p» es el opuesto al de p…» (p. 7-8)

Esto no ayuda mucho. Pero más adelante, en una discusión mucho más profunda («Definición y ambigüedad sistemática de la Verdad y la Falsedad» Capítulo II parte III, p. 41 ss), PM define la verdad y la falsedad en términos de una relación entre el «a» y el «b» y el «perceptor». Por ejemplo, «Este ‘a’ es ‘b'» (por ejemplo, «Este ‘objeto a’ es ‘rojo'») significa realmente «‘objeto a’ es un dato-sentido» y «‘rojo’ es un dato-sentido», y «están en relación» entre sí y en relación con el «yo». Por lo tanto, lo que realmente queremos decir es: «Percibo que ‘Este objeto a es rojo'» y esto es una «verdad» innegable-por-3ª parte.

PM define además una distinción entre un «sentido-dato» y una «sensación»:

Es decir, cuando juzgamos (decimos) «esto es rojo», lo que ocurre es una relación de tres términos, la mente, y «esto», y «rojo». En cambio, cuando percibimos «la rojez de esto», hay una relación de dos términos, a saber, la mente y el objeto complejo «la rojez de esto» (pp. 43-44).

Russell reiteró su distinción entre «sentido-dato» y «sensación» en su libro Los problemas de la filosofía (1912), publicado al mismo tiempo que PM (1910-1913):

Demos el nombre de «sentido-dato» a las cosas que se conocen inmediatamente en la sensación: cosas tales como colores, sonidos, olores, durezas, asperezas, etc. Daremos el nombre de «sensación» a la experiencia de ser inmediatamente consciente de estas cosas… El color mismo es un dato sensorial, no una sensación. (p. 12)

Russell describió además su razonamiento detrás de sus definiciones de «verdad» y «falsedad» en el mismo libro (capítulo XII, Verdad y falsedad).

Consecuencias de la ley del medio excluido en Principia MathematicaEditar

A partir de la ley del medio excluido, fórmula ✸2.1 en Principia Mathematica, Whitehead y Russell derivan algunas de las herramientas más poderosas en la caja de herramientas de argumentación del lógico. (En Principia Mathematica, las fórmulas y proposiciones se identifican con un asterisco inicial y dos números, como «✸2.1».)

✸2.1 ~p ∨ p «Esta es la Ley del medio excluido» (PM, p. 101).

La prueba de ✸2.1 es aproximadamente la siguiente: La «idea primitiva» 1.08 define p → q = ~p ∨ q. Sustituyendo p por q en esta regla se obtiene p → p = ~p ∨ p. Como p → p es verdadero (esto es el Teorema 2.08, que se demuestra por separado), entonces ~p ∨ p debe ser verdadero.

✸2.11 p ∨ ~p (La permutación de las afirmaciones está permitida por el axioma 1.4)
✸2.12 p → ~(~p) (Principio de la doble negación, parte 1: si «esta rosa es roja» es verdadera entonces no es cierto que «‘esta rosa no es roja’ sea verdadera».)
✸2.13 p ∨ ~{~(~p)} (Lema junto con 2.12 utilizado para derivar 2.14)
✸2.14 ~(~p) → p (Principio de doble negación, parte 2)
✸2.15 (~p → q) → (~q → p) (Uno de los cuatro «Principios de transposición». Similar a 1.03, 1.16 y 1.17. Aquí fue necesaria una demostración muy larga.)
✸2.16 (p → q) → (~q → ~p) (Si es cierto que «Si esta rosa es roja entonces este cerdo vuela» entonces es cierto que «Si este cerdo no vuela entonces esta rosa no es roja.»)
✸2.17 ( ~p → ~q ) → (q → p) (Otro de los «Principios de transposición».)
✸2.18 (~p → p) → p (Llamado «El complemento de la reductio ad absurdum. Afirma que una proposición que se sigue de la hipótesis de su propia falsedad es verdadera» (PM, pp. 103-104).)

La mayoría de estos teoremas-en particular ✸2.1, ✸2.11 y ✸2.14-son rechazados por el intuicionismo. Estas herramientas se refunden en otra forma que Kolmogorov cita como «los cuatro axiomas de implicación de Hilbert» y «los dos axiomas de negación de Hilbert» (Kolmogorov en van Heijenoort, p. 335).

Las proposiciones ✸2.12 y ✸2.14, «doble negación»:Los escritos intuicionistas de L. E. J. Brouwer se refieren a lo que él llama «el principio de la reciprocidad de las especies múltiples, es decir, el principio de que para todo sistema la corrección de una propiedad se sigue de la imposibilidad de la imposibilidad de esta propiedad» (Brouwer, ibid, p. 335).

Este principio se llama comúnmente «el principio de la doble negación» (PM, pp. 101-102). De la ley del medio excluido (✸2.1 y ✸2.11), PM deriva inmediatamente el principio ✸2.12. Sustituimos ~p por p en 2.11 para obtener ~p ∨ ~(~p), y por la definición de implicación (es decir, 1.01 p → q = ~p ∨ q) entonces ~p ∨ ~(~p)= p → ~(~p). QED (La derivación de 2.14 es un poco más complicada.)

ReichenbachEdit

Es correcto, al menos para la lógica bivalente -es decir, se puede ver con un mapa de Karnaugh- que esta ley elimina «el medio» del inclusivo-o utilizado en su ley (3). Y éste es el punto de la demostración de Reichenbach de que algunos creen que el exclusivo-o debe tomar el lugar del inclusivo-o.

Acerca de esta cuestión (en términos ciertamente muy técnicos) Reichenbach observa:

El tertium non datur 29. (x) no es exhaustivo en sus términos principales y, por tanto, es una fórmula inflada. Este hecho tal vez explique por qué algunos consideran que no es razonable escribir (29) con el signo inclusivo-‘o’, y quieren que se escriba con el signo exclusivo-‘o’ 30. (x), donde el símbolo «⊕» significa exclusivo-o en cuya forma sería plenamente exhaustivo y, por tanto, nomológico en sentido estricto. (Reichenbach, p. 376)

En la línea (30) el «(x)» significa «para todos» o «para cada», forma utilizada por Russell y Reichenbach; hoy el simbolismo suele ser ∀ {\displaystyle \forall }

x. Así, un ejemplo de la expresión quedaría así:

• (cerdo): (Vuela(cerdo) ⊕ ~Vuela(cerdo))
• (Para todas las instancias de «cerdo» vistas y no vistas): («El cerdo vuela» o «El cerdo no vuela» pero no las dos cosas simultáneamente)

Lógicos frente a IntuicionistasEditar

Desde finales del siglo XIX hasta la década de 1930, se produjo un agrio y persistente debate entre Hilbert y sus seguidores frente a Hermann Weyl y L. E. J. Brouwer. La filosofía de Brouwer, llamada intuicionismo, comenzó en serio con Leopold Kronecker a finales del siglo XIX.

A Hilbert le desagradaban intensamente las ideas de Kronecker:

Kronecker insistía en que no podía haber existencia sin construcción. Para él, como para Paul Gordan , la prueba de Hilbert de la finitud de la base del sistema invariante simplemente no era matemática. Hilbert, en cambio, insistió durante toda su vida en que si se puede demostrar que los atributos asignados a un concepto no conducen nunca a una contradicción, la existencia matemática del concepto queda así establecida (Reid p. 34)

Sostuvo que no se podía decir que nada tuviera existencia matemática a menos que pudiera construirse realmente con un número finito de enteros positivos (Reid p. 26)

El debate tuvo un profundo efecto en Hilbert. Reid indica que el segundo problema de Hilbert (uno de los problemas de Hilbert de la Segunda Conferencia Internacional de París en 1900) evolucionó a partir de este debate (cursiva en el original):

En su segundo problema había pedido una prueba matemática de la consistencia de los axiomas de la aritmética de los números reales. Para mostrar la importancia de este problema, añadió la siguiente observación: «Si se asignan atributos contradictorios a un concepto, digo que matemáticamente el concepto no existe» (Reid p. 71)

Así Hilbert decía: «Si se demuestra que p y ~p son verdaderos, entonces p no existe», y con ello estaba invocando la ley del medio excluido moldeada en la forma de la ley de la contradicción.

Y finalmente los constructivistas … restringieron las matemáticas al estudio de operaciones concretas sobre estructuras finitas o potencialmente (pero no realmente) infinitas; las totalidades infinitas completadas … fueron rechazadas, al igual que las pruebas indirectas basadas en la Ley del Medio Excluido. Los más radicales entre los constructivistas eran los intuicionistas, liderados por el antiguo topólogo L. E. J. Brouwer (Dawson p. 49)

El rencoroso debate continuó a lo largo de los primeros años del siglo XX hasta la década de 1920; en 1927 Brouwer se quejaba de que «se polemizaba contra él en tono burlón» (Brouwer en van Heijenoort, p. 492). Pero el debate fue fértil: dio lugar a Principia Mathematica (1910-1913), y esa obra dio una definición precisa de la ley del medio excluido, y todo ello proporcionó un marco intelectual y las herramientas necesarias para los matemáticos de principios del siglo XX:

Del rencor, y engendrado en parte por él, surgieron varios desarrollos lógicos importantes….la axiomatización de la teoría de conjuntos de Zermelo (1908a) …que fue seguida dos años después por el primer volumen de Principia Mathematica …. en el que Russell y Whitehead mostraron cómo, a través de la teoría de los tipos, gran parte de la aritmética podía desarrollarse por medios logísticos (Dawson p. 49)

Brouwer redujo el debate al uso de pruebas diseñadas a partir de la «negativa» o «inexistencia» frente a la prueba «constructiva»:

Según Brouwer, una afirmación de que existe un objeto que tiene una propiedad determinada significa eso, y sólo se demuestra, cuando se conoce un método que en principio al menos permitirá encontrar o construir tal objeto… Hilbert, naturalmente, no estaba de acuerdo. «Las pruebas de existencia pura han sido los hitos más importantes en el desarrollo histórico de nuestra ciencia», sostuvo. (Reid p. 155) Brouwer … se negó a aceptar el principio lógico del medio excluido… Su argumento era el siguiente: «Supongamos que A es el enunciado «Existe un miembro del conjunto S que tiene la propiedad P». Si el conjunto es finito, es posible -en principio- examinar cada miembro de S y determinar si existe un miembro de S con la propiedad P o que cada miembro de S carece de la propiedad P. Para conjuntos finitos, por tanto, Brouwer aceptó el principio del medio excluido como válido. Se negó a aceptarlo para conjuntos infinitos porque si el conjunto S es infinito, no podemos -ni siquiera en principio- examinar cada miembro del conjunto. Si, en el curso de nuestro examen, encontramos un miembro del conjunto con la propiedad P, la primera alternativa está corroborada; pero si nunca encontramos tal miembro, la segunda alternativa sigue sin estar corroborada. Dado que los teoremas matemáticos se demuestran a menudo estableciendo que la negación nos implicaría en una contradicción, esta tercera posibilidad que sugirió Brouwer pondría en cuestión muchos de los enunciados matemáticos actualmente aceptados. «Quitarle al matemático el Principio del Medio Excluido», dijo Hilbert, «es lo mismo que … prohibirle al boxeador el uso de sus puños». «La posible pérdida no parecía molestar a Weyl… El programa de Brouwer era lo que venía, insistió a sus amigos en Zürich». (Reid, p. 149)}}

En su conferencia de 1941 en Yale y en la ponencia posterior Gödel propuso una solución: «que la negación de una proposición universal debía entenderse como la afirmación de la existencia … de un contraejemplo» (Dawson, p. 157))

El enfoque de Gödel sobre la ley del medio excluido era afirmar que las objeciones contra «el uso de ‘definiciones impredicativas'» «tenían más peso» que «la ley del medio excluido y los teoremas relacionados del cálculo proposicional» (Dawson p. 156). Propuso su «sistema Σ … y concluyó mencionando varias aplicaciones de su interpretación. Entre ellas, una prueba de la consistencia con la lógica intuicionista del principio ~ (∀A: (A ∨ ~A)) (a pesar de la inconsistencia del supuesto ∃ A: ~ (A ∨ ~A)» (Dawson, p. 157)

El debate pareció debilitarse: Los matemáticos, los lógicos y los ingenieros siguen utilizando la ley del medio excluido (y la doble negación) en su trabajo diario.

Definiciones intuicionistas de la ley (principio) del medio excluidoEditar

Lo que sigue pone de manifiesto el profundo problema matemático y filosófico que hay detrás de lo que significa «conocer», y también ayuda a dilucidar lo que implica la «ley» (es decir, lo que la ley realmente significa). Surgen sus dificultades con la ley: que no quieren aceptar como verdaderas las implicaciones extraídas de lo que es inverificable (no comprobable, incognoscible) o de lo imposible o lo falso. (Todas las citas son de van Heijenoort, cursiva añadida).

Brouwer ofrece su definición de «principio del medio excluido»; vemos aquí también la cuestión de la «comprobabilidad»:

Sobre la base de la comprobabilidad que acabamos de mencionar, se sostiene, para las propiedades concebidas dentro de un sistema principal finito específico, el «principio del medio excluido», es decir, el principio de que para todo sistema toda propiedad es correcta o imposible, y en particular el principio de la reciprocidad de las especies complementarias, es decir, el principio de que para todo sistema la corrección de una propiedad se sigue de la imposibilidad de la imposibilidad de esta propiedad. (335)

La definición de Kolmogorov cita los dos axiomas de negación de Hilbert

1. A → (~A → B)
2. (A → B) → { (~A → B) → B}

El primer axioma de negación de Hilbert, «cualquier cosa se sigue de lo falso», hizo su aparición sólo con el surgimiento de la lógica simbólica, al igual que el primer axioma de implicación…. mientras que… el axioma considerado afirma algo sobre las consecuencias de algo imposible: tenemos que aceptar B si el juicio verdadero A se considera falso… El segundo axioma de negación de Hilbert expresa el principio del medio excluido. El principio se expresa aquí en la forma en que se utiliza para las derivaciones: si B se sigue tanto de A como de ~A, entonces B es verdadero. Su forma habitual, «todo juicio es o bien verdadero o bien falso», es equivalente a la dada anteriormente». De la primera interpretación de la negación, es decir, de la prohibición de considerar el juicio como verdadero, es imposible obtener la certeza de que el principio del medio excluido es verdadero… Brouwer mostró que en el caso de tales juicios transfinitos el principio del medio excluido no puede ser considerado como obvio nota 9: «Esta es la formulación muy simple de Leibniz (ver Nouveaux Essais, IV,2). La formulación «A es o B o no-B» no tiene nada que ver con la lógica de los juicios. nota 10: «Simbólicamente la segunda forma se expresa así A ∨ ~A

donde ∨ significa «o». La equivalencia de las dos formas se demuestra fácilmente (p. 421)