$ \def\P{\mathcal P} % power set \def\iff{\Leftrightarrow}$

Mapování nebo zkráceně mapa je jedním z mnoha synonym používaných pro funkci.Zejména termín map(ping) se používá v obecných souvislostech, například v teorii množin, ale použití není omezeno pouze na tyto případy.

Pojmem mapování v teorii množin

V teorii množin jsou mapování speciální binární relace.

Mapování $f$ z množiny $A$ na množinu $B$ je (uspořádaná) trojice $ f = (A,B,G_f) $ kde $ G_f \podmnožina A \krát B $tak, že

• (a) jestliže $ (x,y) $ a $ (x,y‘) \v G_f $ pak $ y=y‘ $ a
• (b) projekce $ \pi_1 (G_f) = \{ x \mid (x,y) \v G_f \} = A $.

Podmínka (a) vyjadřuje, že $f$ je jednohodnotové. apodmínka (b), že je definováno na $A$.

$A$ je doména, $B$ je kodoména a $G_f$ je graf mapování. V tomto nastavení je tedy mapování rovné tehdy a jen tehdy, když jsou všechny tři odpovídající složky (doména, kodoména a graf) rovné.
Mapování se obvykle označuje jako $f : A \do B$ a $a \mapuje na f(a) $kde $f(a) := b \iff (a,b) \v G_f$ je hodnota $f$ na $a$.

Pokud dvě mapování $ f_1 = (A_1,B_1,G_1) $ a $ f_2 = (A_2,B_2,G_2) $ splňují

$ A_1 \podmnožinu A_2 $, $ B_1 \podmnožina B_2 $ a $ G_1 \podmnožina G_2 $

tedy $f_2$ se nazývá rozšíření $ f_1 $ a $ f_1 $ restrikce $f_2$.V tomto případě se $ f_1$ často označuje jako $ f_2 \vert A_1$ a je zřejmé, že $ f_1 (a) = f_2 (a) $ platí pro všechna $ a \v A_1$.

Poznámka:
Někdy se k zobrazení funkce používá pouze graf $G_f$.V tomto případě jsou si dvě mapování rovna, pokud mají stejný graf,a lze připustit i grafy, které nejsou množinami, ale třídami.
Zatímco obor funkce lze získat jako projekci $ \pi_1 (G_f) $ prvního členu, projekcí $ \pi_2 (G_f) $ druhého členu nevznikne spoluobor, ale pouze obraz oboru.Pojem surjektivity tedy není použitelný.

Kompozice

Dvě mapování lze složit, jestliže kodoména jednoho mapování je podmnožinou domény druhého mapování:

Pro $ f=(A,B,G_f) $ a $ g=(C,D,G_g) $ s $ B \podmnožinou C $kompozice $ g \circ f $ je mapování $ (A,D,G) $ s

$ G := \{ (a,g(f(a))). \mid a \in A \} = \{ (a,c) \mid (\exists b \in B) ( (a,b) \in G_f \land (b,c) \in G_g ) \} $.

Poznámky:
(a) Podmínku $ B \podmnožina C $ lze zmírnit na $ f(A) \podmnožina C $.
(b) Pokud se používají pouze grafy, pak graf kompozice je definován (jak je uvedeno výše) vztahem

$ G_{g \circ f} := \{ (a,c) \mid (\exists b ) ( (a,b) \in G_f \land (b,c) \in G_g ) \} $

ale může se ukázat, že je prázdný.

Indukované mapování

Každé mapování $ f : A \do B $ indukuje dvě mapování mezi mocninnými množinami $\P(A)$ a $\P(B)$.

$ f_\ast : \P(A) \do \P(B) $ definováno pomocí $ f_\ast (S) := \{ f(a) \mid a \v S \}$ pro $ S \podmnožinu A $

a

$ f^\ast : \P(B) \do \P(A) $ definováno pomocí $ f^\ast (T) := \{ a \mid f(a) \v T \}$ pro $ T \podmnožinu B $

$ f_\ast (S) $ se nazývá obraz $S$ pod $f$, obvykle se označuje jako $f(S)$, a$ f^\ast (T) $ se nazývá inverzní obraz $T$ pod $f$, obvykle se označuje jako $f^{-1}(T)$,ale je třeba si uvědomit, že tyto běžné zápisy mohou být v určitých situacích nejednoznačné.