I fallet med Gaussisk eliminering kräver algoritmen att pivotelementen inte är noll.Det är nödvändigt att byta ut rader eller kolumner om pivotelementet är noll. Systemet nedan kräver att raderna 2 och 3 byts ut för att utföra elimineringen.

{\displaystyle \left}

Systemet som uppstår genom pivoteringen är som följer och gör det möjligt för elimineringsalgoritmen och bakåtriktad substitution att ge ut lösningen till systemet.

{\displaystyle \left}

För övrigt är det vid gaussisk eliminering i allmänhet önskvärt att välja ett pivotelement med stort absolut värde. Detta förbättrar den numeriska stabiliteten. Följande system påverkas dramatiskt av avrundningsfel när Gaussisk eliminering och bakåtriktad substitution utförs.

{\displaystyle \left}

Detta system har den exakta lösningen x1 = 10,00 och x2 = 1,000, men när eliminationsalgoritmen och bakåtriktad substitution utförs med fyrsiffrig aritmetik orsakar det lilla värdet på a11 att små avrundningsfel sprids. Algoritmen utan pivoteringar ger approximationen x1 ≈ 9873,3 och x2 ≈ 4. I detta fall är det önskvärt att vi byter ut de två raderna så att a21 befinner sig i pivotpositionen

. {\displaystyle \left.}