Operator (matematik)

sep 22, 2021

admin

GeometriRedigera

Huvudartiklar: allmän linjär grupp och isometri

I geometri studeras ibland ytterligare strukturer på vektorrum. Operatorer som avbildar sådana vektorrum till sig själva bijektivt är mycket användbara i dessa studier, de bildar naturligt grupper genom komposition.

Till exempel är bijektiva operatörer som bevarar strukturen hos ett vektorrum just de inverterbara linjära operatörerna. De bildar den allmänna linjära gruppen genom komposition. De bildar inte ett vektorrum genom addition av operatörer, t.ex. är både id och -id inverterbara (bijektiva), men deras summa, 0, är det inte.

Operatorer som bevarar den euklidiska metrikan på ett sådant rum bildar isometri-gruppen, och de som fixerar ursprunget bildar en undergrupp som kallas den ortogonala gruppen. Operatorer i den ortogonala gruppen som också bevarar vektortuplernas orientering bildar den speciella ortogonala gruppen, eller rotationsgruppen.

SannolikhetsteoriRedigera

Huvaartikel: Sannolikhetsteori

Operatorer är också involverade i sannolikhetsteori, till exempel förväntan, varians och kovarians. Faktum är att varje kovarians i princip är en punktprodukt; varje varians är en punktprodukt av en vektor med sig själv och är således en kvadratisk norm; varje standardavvikelse är en norm (kvadratroten av den kvadratiska normen); motsvarande cosinus till denna punktprodukt är Pearsons korrelationskoefficient; förväntat värde är i princip en integraloperator (används för att mäta viktade former i rummet).

CalculusEdit

Huvudartiklar: differentialoperator och integraloperator

Från funktionsanalysens synvinkel är kalkyl studiet av två linjära operatörer: differentialoperatorn d d d t {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}}}}

$\frac{\mathrm{d}}}{\mathrm{d}t}$

, och Volterraoperatorn ∫ 0 t {\displaystyle \int _{0}^{t}}

$\int_0^t$

Fourierserier och FouriertransformerRedigera

Huvudartiklar: Fourierserier och Fouriertransform

Fouriertransformen är användbar inom tillämpad matematik, särskilt fysik och signalbehandling. Det är en annan integraloperator; den är användbar främst därför att den omvandlar en funktion på en (temporal) domän till en funktion på en annan (frekvens) domän, på ett sätt som är effektivt inverterbart. Ingen information går förlorad, eftersom det finns en omvänd transformationsoperator. I det enkla fallet med periodiska funktioner bygger detta resultat på satsen att varje kontinuerlig periodisk funktion kan representeras som summan av en serie sinusvågor och cosinusvågor:

f ( t ) = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ a n cos ( ω n t ) + b n sin ( ω n t ) {\displaystyle f(t)={a_{0}}. \over 2}+\sum _{n=1}^{\infty }{a_{n}\cos(\omega nt)+b_{n}\sin(\omega nt)}}

$f(t) = {a_0 \over 2} + \sum_{n=1}^{\infty}{ a_n \cos ( \omega n t ) + b_n \sin ( \omega n t ) }$

Tupeln (a0, a1, b1, a2, b2, …) är i själva verket ett element i ett oändligt-dimensionellt vektorrum ℓ2, och Fourier-serien är således en linjär operatör.

När det gäller en allmän funktion R → C antar transformationen en integralform:

f ( t ) = 1 2 π ∫ – ∞ + ∞ g ( ω ) e i ω t d ω . {\displaystyle f(t)={1 \over {\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{+\infty }{g(\omega )e^{i\omega t}\,d\omega }.}

$f(t) = {1 \over \sqrt{2 \pi}} \int_{- \infty}^{+ \infty}{g( \omega )e^{ i \omega t } \,d\omega }.$

LaplacetransformationRedigera

Huvudartikel: Laplace-transform

Laplace-transformen är en annan integraloperator och är involverad i att förenkla processen att lösa differentialekvationer.

Givet f = f(s), definieras den genom:

F ( s ) = L { f } ( s ) = ∫ 0 ∞ e – s t f ( t ) d t . {\displaystyle F(s)={\mathcal {L}}\{f\}(s)=\int _{0}^{\infty }e^{-st}f(t)\,dt.}

$F(s)={\mathcal {L}}\{f\}(s)=\int _{0}^{\infty }e^{{{{-st}}f(t)\,dt.$

Fundamentala operatörer på skalar- och vektorfältRedigera

Huvudartiklar: vektorkalkyl, vektorfält, skalarfält, gradient, divergens och curl

Tre operatörer är centrala för vektorkalkyl:

Grad (gradient), (med operatörssymbol ∇ {\displaystyle \nabla }
$\nabla$

) tilldelar en vektor i varje punkt i ett skalärt fält som pekar i riktningen för den största förändringshastigheten i fältet och vars norm mäter det absoluta värdet av den största förändringshastigheten.
Div (divergens), (med operatörssymbol ∇ ⋅ {\displaystyle \nabla \cdot }
$\nabla \cdot$

) är en vektoroperator som mäter ett vektorfälts divergens från eller konvergens mot en given punkt.
Curl, (med operatörssymbol ∇ × {\displaystyle \nabla \times }
$\nabla \times$

) är en vektoroperator som mäter ett vektorfälts krökande (slingrande runt, roterande runt) tendens kring en given punkt.

Som en utvidgning av vektorkalkylens operatörer till fysik, ingenjörskonst och tensorrum förknippas Grad-, Div- och Curl-operatorerna också ofta med tensor-kalkyl såväl som med vektorkalkyl.