Matematik
Inspiration, ren, tillämpad matematik och estetikRedigera
Det är fullt möjligt att kalkylens konst utvecklades ännu tidigare än skrivandet, främst inom bokföring och fastighetsförvaltning, handel, lantmäteri och senare inom astronomi.
I dag bidrar alla vetenskaper med problem som studeras av matematiker, samtidigt som nya problem dyker upp inom matematiken själv. Fysikern Richard Feynman föreslog t.ex. vägintegralen som grund för kvantmekaniken, som kombinerar det matematiska resonemanget och det fysikaliska tillvägagångssättet, men en helt tillfredsställande definition i matematiska termer har ännu inte uppnåtts. På samma sätt fortsätter strängteorin, en vetenskaplig teori under utveckling som försöker förena fysikens fyra grundläggande krafter, att inspirera den mesta moderna matematiken.
En del matematik är bara relevant för det område där den inspirerades och tillämpas på andra problem inom det området. Ofta är dock matematik som är inspirerad av ett visst område användbar inom många områden och ingår i de accepterade allmänna matematiska begreppen. Det anmärkningsvärda faktum att även den renaste matematiken vanligtvis har praktiska tillämpningar är vad Eugene Wigner har definierat som ”matematikens orimliga effektivitet inom naturvetenskaperna”.
Som inom de flesta studieområden har kunskapsexplosionen i den vetenskapliga tidsåldern lett till en specialisering av matematiken. Det finns en viktig skillnad mellan ren matematik och tillämpad matematik. De flesta forskarmatematiker fokuserar på endast ett av dessa områden, och ibland görs valet redan i början av utbildningen. Flera områden inom tillämpad matematik har slagits samman med andra områden som traditionellt sett ligger utanför matematiken och har blivit självständiga discipliner, t.ex. statistik, operationsforskning eller datavetenskap.
De som har en förkärlek för matematik finner att det finns en estetisk aspekt som definierar det mesta inom matematiken. Många matematiker talar om matematikens elegans, dess inneboende estetik och inre skönhet. I allmänhet är en av de mest uppskattade aspekterna dess enkelhet. Det finns skönhet i ett enkelt och kraftfullt bevis, som Euklids bevis för att det finns oändligt många primtal, och i en elegant numerisk analys som snabbar upp beräkningen, liksom i den snabba Fouriertransformen. G. H. Hardy uttryckte i A Mathematician’s Apology sin övertygelse om att dessa estetiska överväganden i sig är tillräckliga för att rättfärdiga studiet av ren matematik. Matematiker strävar ofta efter att hitta särskilt eleganta bevis för satser, och den excentriske matematikern Paul Erdős kallade detta för sökandet efter bevis för ”boken” där Gud har skrivit sina favoritbevis. Populariteten av fritidsmatematik är ett annat tecken på att det är roligt att lösa matematiska frågor.
Notation, språk och stringensRedigera
De flesta av de matematiska beteckningar som används idag uppfanns inte förrän på 1700-talet. Tidigare skrevs matematiken i ord, en mödosam process som begränsade den matematiska utvecklingen. På 1700-talet var Euler ansvarig för många av de notationer som används idag. Modern notation gör matematiken mycket enklare för proffs, men komplicerad för nybörjare. Notationen reducerar matematiken till ett minimum, vilket gör att vissa symboler innehåller en stor mängd information. Liksom musikalisk notation har modern matematisk notation en strikt syntax och kodar information som skulle vara svår att skriva på annat sätt.
Matematiskt språk kan också vara svårt för nybörjare. Ord som ”eller” och ”endast” har mer exakta betydelser än i vardagsspråket. Dessutom har ord som open och body mycket specifika matematiska betydelser. Matematisk jargong, eller matematiskt språk, omfattar tekniska termer som homeomorfism eller integrerbarhet. Att man behöver använda notation och jargong beror på att det matematiska språket kräver mer precision än vardagsspråket. Matematiker kallar denna precision i språk och logik för ”stringens”.
Riktighet är ett oundgängligt villkor som ett matematiskt bevis måste ha. Matematiker vill att deras teorem från axiom ska följa ett systematiskt resonemang. På så sätt undviker man felaktiga satser som bygger på felande intuitioner, vilket har inträffat flera gånger i vetenskapens historia. Den noggrannhet som förväntas i matematiken har varierat över tid: grekerna ville ha detaljerade argument, men på Isaac Newtons tid var de använda metoderna mindre rigorösa. De inneboende problemen med Newtons definitioner ledde till att noggranna analyser och officiella demonstrationer återuppstod på 1800-talet. Nu fortsätter matematikerna att stödja varandra genom datorstödda demonstrationer.
Ett axiom tolkas traditionellt som en ”självklar sanning”, men denna uppfattning är problematisk. På det formella området är ett axiom inget annat än en kedja av symboler, som har en inneboende betydelse endast i samband med alla formler som härleds från ett axiomatiskt system.
Matematik som vetenskapRedigera
Carl Friedrich Gauss kallade matematiken för ”vetenskapernas drottning”. Både i det latinska originalet Scientiārum Regīna och i det tyska Königin der Wissenschaften ska ordet vetenskap tolkas som (kunskapsområde). Om vetenskap anses vara studiet av den fysiska världen är matematik, eller åtminstone ren matematik, inte en vetenskap.
Många filosofer anser att matematik inte är experimentellt falsifierbar och därmed inte en vetenskap enligt Karl Poppers definition. På 1930-talet visade dock viktiga arbeten inom matematisk logik att matematik inte kan reduceras till logik, och Karl Popper drog slutsatsen att ”de flesta matematiska teorier är, i likhet med teorier inom fysik och biologi, hypotetisk-deduktiva”. På så sätt har den rena matematiken närmat sig naturvetenskaperna, vars hypoteser är gissningar, vilket den har varit fram till nu”. Andra tänkare, särskilt Imre Lakatos, har efterlyst en version av falsifikationism för matematiken själv.
En alternativ åsikt är att vissa vetenskapliga områden (t.ex. teoretisk fysik) är matematik med axiom som påstås motsvara verkligheten. Den teoretiska fysikern J. M. Ziman föreslår faktiskt att vetenskap är ”allmän kunskap” och därför omfattar matematik. I vilket fall som helst har matematiken mycket gemensamt med många områden inom naturvetenskapen, särskilt när det gäller att utforska de logiska konsekvenserna av hypoteser. Intuition och experiment spelar också en viktig roll när man formulerar gissningar i matematik och andra vetenskaper. Experimentell matematik fortsätter att bli alltmer representerad inom matematiken. Kalkyl och simulering spelar en allt större roll inom både vetenskap och matematik, vilket mildrar invändningen att matematiken inte använder sig av den vetenskapliga metoden. År 2002 hävdade Stephen Wolfram i sin bok A New Kind of Science att beräkningsmatematik förtjänar att undersökas empiriskt som ett vetenskapligt område.
Matematikerna har mycket varierande åsikter om denna fråga. Många matematiker anser att om man kallar sitt område för en vetenskap är det detsamma som att förringa betydelsen av dess estetiska profil och att förneka dess historia inom de sju fria konsterna. Andra anser att om man bortser från matematikens koppling till vetenskaperna, så bortser man från den uppenbara kopplingen mellan matematiken och dess tillämpningar inom vetenskap och teknik, vilket i hög grad har bidragit till matematikens utveckling. En annan fråga som diskuteras, och som i viss mån hänger samman med den föregående, är huruvida matematiken skapades (som konst) eller upptäcktes (som vetenskap). Detta är en av de många frågor som berör matematikens filosofi.
Matematiska priser hålls i allmänhet åtskilda från deras motsvarigheter inom vetenskapen. Det mest prestigefyllda priset i matematik, Fields Medal, instiftades 1936 och delas ut vart fjärde år. Det anses ofta vara motsvarigheten till Nobelpriset i vetenskap. Andra priser är Wolfpriset i matematik, som instiftades 1978 och som erkänner matematikers livsverk, och Abelpriset, ett annat stort internationellt pris som infördes 2003. De två sistnämnda delas ut för utmärkt arbete, som kan vara banbrytande forskning eller lösningen på ett enastående problem inom ett visst område. En berömd lista över dessa 23 olösta problem, kallad ”Hilbert-problemen”, sammanställdes år 1900 av den tyske matematikern David Hilbert. Listan har blivit mycket populär bland matematiker och minst nio av problemen har redan lösts. En ny lista med sju grundläggande problem, ”Millennium Problems”, publicerades år 2000. Lösningen på vart och ett av problemen kommer att belönas med 1 miljon dollar. Intressant nog finns bara en (Riemannhypotesen) med på båda listorna.