AristotelesRedigera

Den tidigast kända formuleringen finns i Aristoteles diskussion om principen om icke-kontradiktion, som först föreslogs i Om tolkning, där han säger att av två motsägelsefulla påståenden (dvs. där det ena påståendet är negationen av det andra) måste det ena vara sant och det andra falskt. Han anger den också som en princip i Metafysik bok 3, där han säger att det i varje fall är nödvändigt att bejaka eller förneka, och att det är omöjligt att det finns något mellan de två delarna av en motsägelse.

Aristoteles skriver att tvetydighet kan uppstå genom användandet av tvetydiga namn, men att den inte kan existera i själva sakförhållandena:

Det är alltså omöjligt att ”att vara människa” skulle betyda just ”att inte vara människa”, om ”människa” inte bara betyder något om ett subjekt utan också har en betydelse. … Och det kommer inte att vara möjligt att vara och inte vara samma sak, utom i kraft av en tvetydighet, precis som om en person som vi kallar ”människa” och andra skulle kalla ”inte-människa”; men frågan är inte om samma sak samtidigt kan vara och inte vara en människa till namnet, utan om den kan vara det i själva verket. (Metafysik 4.4, W.D. Ross (övers.), GBWW 8, 525-526).

Aristoteles påstående att ”det kommer inte att vara möjligt att vara och inte vara samma sak”, vilket i påståendelogiken skulle skrivas som ¬(P ∧ ¬P), är ett påstående som moderna logiker skulle kunna kalla lagen om den uteslutna mitten (P ∨ ¬P), som distribution av negationen av Aristoteles påstående gör dem likvärdiga, oavsett att den förstnämnda hävdar att inget påstående är både sant och falskt, medan den sistnämnda kräver att varje påstående är antingen sant eller falskt.

Men Aristoteles skriver också: ”Eftersom det är omöjligt att motsägelser samtidigt är sanna för samma sak, kan uppenbarligen motsägelser inte heller samtidigt tillhöra samma sak” (Bok IV, CH 6, s. 531). Han föreslår sedan att ”det inte kan finnas ett mellanting mellan motsägelser, utan av ett subjekt måste vi antingen bejaka eller förneka varje enskilt predikat” (Bok IV, CH 7, s. 531). Inom ramen för Aristoteles traditionella logik är detta ett anmärkningsvärt exakt uttalande om lagen om den uteslutna mitten, P ∨ ¬P.

Också i Om tolkning tycks Aristoteles förneka lagen om den uteslutna mitten när det gäller framtida eventualiteter, i sin diskussion om sjöslaget.

LeibnizEdit

Den vanliga formen, ”Varje dom är antingen sann eller falsk” ….” (från Kolmogorov i van Heijenoort, s. 421) fotnot 9: ”Detta är Leibniz’ mycket enkla formulering (se Nouveaux Essais, IV,2)” (ibid s 421)

Bertrand Russell och Principia MathematicaEdit

Principen angavs som ett teorem i propositionell logik av Russell och Whitehead i Principia Mathematica som:

∗ 2 ⋅ 11 . ⊢ . p ∨ ∼ p {\displaystyle \mathbf {*2\cdot 11} .\ \ \vdash .\ p\ \vee \thicksim p}

.

Så vad är egentligen ”sanning” och ”lögn”? I inledningen meddelar PM snabbt några definitioner:

Sanningen-värden. Sanningsvärdet för en sats är sanning om den är sann och falskhet om den är falsk* …sanningsvärdet för ”p ∨ q” är sanning om sanningsvärdet för antingen p eller q är sanning, och är falskhet i annat fall …sanningsvärdet för ”~ p” är motsatsen till det för p…” (s. 7-8)

Detta är inte till någon större hjälp. Men senare, i en mycket djupare diskussion (”Definition and systematic ambiguity of Truth and Falsehood” kapitel II del III, s. 41 ff), definierar PM sanning och falskhet i termer av ett förhållande mellan ”a” och ”b” och ”percipienten”. Till exempel ”Detta ’a’ är ’b'” (t.ex. ”Detta ’objekt a’ är ’rött'”) betyder egentligen ”’objekt a’ är ett förnimmelse-datum” och ”’rött’ är ett förnimmelse-datum”, och de ”står i relation” till varandra och i relation till ”jag”. Vad vi alltså egentligen menar är: ”Jag uppfattar att ’Detta objekt a är rött'”, och detta är en obestridlig-av-tredje-partiet-”sanning”.

PM definierar vidare en distinktion mellan ett ”förnimmelse-datum” och en ”förnimmelse”:

Det vill säga att när vi bedömer (säger) ”detta är rött”, så är det som sker en relation mellan tre termer, sinnet, och ”detta”, och ”rött”. När vi däremot uppfattar ”detta är rött” uppstår en relation mellan två termer, nämligen sinnet och det komplexa objektet ”detta är rött” (s. 43-44).

Russell upprepade sin distinktion mellan ”sense-datum” och ”sensation” i sin bok The Problems of Philosophy (1912), som publicerades samtidigt med PM (1910-1913):

Låt oss ge namnet ”sense-data” till de saker som är omedelbart kända i förnimmelsen: sådana saker som färger, ljud, dofter, hårdheter, ojämnheter och så vidare. Vi ska ge namnet ”förnimmelse” åt upplevelsen av att vara omedelbart medveten om dessa saker…. Själva färgen är ett förnimmelse-datum, inte en förnimmelse. (s. 12)

Russell beskrev vidare sitt resonemang bakom sina definitioner av ”sanning” och ”falskhet” i samma bok (kapitel XII, Sanning och falskhet).

Konsekvenser av lagen om den uteslutna mitten i Principia MathematicaEdit

Från lagen om den uteslutna mitten, formel ✸2.1 i Principia Mathematica, härleder Whitehead och Russell några av de mest kraftfulla verktygen i logikerns argumentationsverktygslåda. (I Principia Mathematica identifieras formler och satser med en inledande asterisk och två siffror, till exempel ”✸2.1”.)

✸2.1 ~p ∨ p ”Detta är lagen om den uteslutna mitten” (PM, s. 101).

Besviset för ✸2.1 ser ungefär ut som följer: ”Primitiv idé” 1.08 definierar p → q = ~p ∨ q. Om man ersätter p med q i denna regel får man p → p = ~p ∨ p. Eftersom p → p är sant (detta är sats 2.08, som bevisas separat), måste ~p ∨ p vara sant.

✸2.11 p ∨ ~p (Permutering av påståendena är tillåten enligt axiom 1.4)
✸2.12 p → ~(~p) (Principen om dubbel negation, del 1: om ”den här rosen är röd” är sann så är det inte sant att ”’den här rosen är inte röd’ är sann”.)
✸2.13 p ∨ ~{~(~p)} (Lemma tillsammans med 2.12 används för att härleda 2.14)
✸2.14 ~(~p) → p (Principen om dubbel negation, del 2)
✸2.15 (~p → q) → (~q → p) (En av de fyra ”Principerna om transposition”. Liknar 1.03, 1.16 och 1.17. Här krävdes en mycket lång demonstration.)
✸2.16 (p → q) → (~q → ~p) (Om det är sant att ”Om den här rosen är röd så flyger den här grisen” så är det sant att ”Om den här grisen inte flyger så är den här rosen inte röd”.”)
✸2.17 ( ~p → ~q ) → (q → p) (Ännu en av ”Principerna för transposition”.)
✸2.18 (~p → p) → p (Kallas ”Komplementet till reductio ad absurdum. Den säger att en sats som följer av hypotesen om sin egen falskhet är sann.” (PM, s. 103-104).)

De flesta av dessa satser – i synnerhet ✸2.1, ✸2.11 och ✸2.14 – förkastas av intuitionismen. Dessa verktyg omformas i en annan form som Kolmogorov citerar som ”Hilberts fyra implikationsaxiom” och ”Hilberts två negationsaxiom” (Kolmogorov i van Heijenoort, s. 335).

Propositioner ✸2.12 och ✸2.14, ”dubbel negation”: De intuitionistiska skrifterna av L. E. J. Brouwer hänvisar till vad han kallar ”principen om de multipla arternas ömsesidighet, det vill säga principen att för varje system följer riktigheten av en egenskap av omöjligheten av omöjligheten av denna egenskap” (Brouwer, ibid, s. 335).

Denna princip brukar kallas ”principen om dubbel negation” (PM, s. 101-102). Från lagen om den uteslutna mitten (✸2.1 och ✸2.11) härleder PM omedelbart princip ✸2.12. Vi ersätter ~p med p i 2.11 för att få ~p ∨ ~(~p), och enligt definitionen av implikation (dvs. 1.01 p → q = ~p ∨ q) blir då ~p ∨ ~(~p)= p → ~(~p). QED (Härledningen av 2.14 är lite mer komplicerad.)

ReichenbachEdit

Det är korrekt, åtminstone för bivalent logik – det vill säga det kan ses med en Karnaugh-karta – att denna lag tar bort ”mitten” av den inkluderande-or som används i hans lag (3). Och detta är poängen med Reichenbachs demonstration av att vissa anser att det exklusiva-or bör ersätta det inkluderande-or.

Om denna fråga (i visserligen mycket tekniska termer) konstaterar Reichenbach:

Tertium non datur 29. (x) är inte uttömmande i sina viktigaste termer och är därför en uppblåst formel. Detta faktum kan kanske förklara varför vissa anser det orimligt att skriva (29) med det inkluderande-’eller’, och vill ha den skriven med tecknet för det exkluderande-’eller’ 30. (x), där symbolen ”⊕” betecknar exklusiv-or, i vilken form den skulle vara helt uttömmande och därför nomologisk i snävare bemärkelse. (Reichenbach, s. 376)

I rad (30) betyder ”(x)” ”för alla” eller ”för varje”, en form som användes av Russell och Reichenbach; idag är symboliken vanligen ∀ {\displaystyle \forall }.

x. Ett exempel på uttrycket skulle alltså se ut så här:

• (gris): (Flies(gris) ⊕ ~Flies(gris))
• (För alla förekomster av ”gris” sett och osedd): (”Grisen flyger” eller ”Grisen flyger inte” men inte båda samtidigt)

Logiker kontra intuitionisterRedigera

Från slutet av 1800-talet och fram till 1930-talet rasade en bitter, ihållande debatt mellan Hilbert och hans anhängare kontra Hermann Weyl och L. E. J. Brouwer. Brouwers filosofi, som kallas intuitionism, började på allvar med Leopold Kronecker i slutet av 1800-talet.

Hilbert ogillade intensivt Kroneckers idéer:

Kronecker insisterade på att det inte kunde finnas någon existens utan konstruktion. För honom, liksom för Paul Gordan , var Hilberts bevis för ändligheten av det invarianta systemets bas helt enkelt inte matematik. Hilbert å andra sidan insisterade under hela sitt liv på att om man kan bevisa att de attribut som tilldelas ett begrepp aldrig kommer att leda till en motsägelse, är begreppets matematiska existens därmed fastställd (Reid s. 34)

Det var hans påstående att ingenting kunde sägas ha matematisk existens om det inte faktiskt kunde konstrueras med ett ändligt antal positiva heltal (Reid s. 26)

Debatten hade en djupgående effekt på Hilbert. Reid anger att Hilberts andra problem (ett av Hilberts problem från den andra internationella konferensen i Paris 1900) utvecklades ur denna debatt (kursivering i originalet):

I sitt andra problem hade Hilbert bett om ett matematiskt bevis för konsistensen av axiomen i aritmetiken för reella tal. För att visa betydelsen av detta problem lade han till följande observation: ”Om ett begrepp tilldelas motsägelsefulla attribut, säger jag att begreppet matematiskt sett inte existerar” (Reid s. 71)

Så säger Hilbert: ”Om ett begrepp har motsägelsefulla attribut, säger jag att begreppet matematiskt sett inte existerar: ”Han åberopade därmed lagen om den uteslutna mitten, som är utformad som lagen om motsägelse.

Och slutligen begränsade konstruktivisterna … matematiken till studiet av konkreta operationer på ändliga eller potentiellt (men inte faktiskt) oändliga strukturer; fullbordade oändliga totaliteter … förkastades, liksom indirekta bevis baserade på lagen om den uteslutna mitten. Mest radikala bland konstruktivisterna var intuitionisterna, ledda av den tidigare topologen L. E. J. Brouwer (Dawson s. 49)

Den hätska debatten fortsatte under det tidiga 1900-talet och in på 1920-talet; 1927 beklagade sig Brouwer över att han ”polemiserade mot den i hånfulla toner” (Brouwer i van Heijenoort, s. 492). Men debatten var fruktbar: den resulterade i Principia Mathematica (1910-1913), och det arbetet gav en exakt definition av lagen om den uteslutna mitten, och allt detta tillhandahöll en intellektuell miljö och de verktyg som var nödvändiga för det tidiga 1900-talets matematiker:

Ut ur hetsen, och delvis framkallad av den, uppstod flera viktiga logiska utvecklingar…Zermelos axiomatisering av mängdteorin (1908a) … som följdes två år senare av den första volymen av Principia Mathematica …. där Russell och Whitehead visade hur mycket av aritmetiken, via typteorin, kunde utvecklas med logistiska medel (Dawson s. 49)

Brouwer reducerade debatten till användningen av bevis utformade av ”negativa” eller ”icke-existens” kontra ”konstruktiva” bevis:

Enligt Brouwer innebär ett påstående om att ett objekt existerar som har en given egenskap att, och bevisas endast, när man känner till en metod som i princip åtminstone gör det möjligt att hitta eller konstruera ett sådant objekt … Hilbert var naturligtvis oenig. ”Rena existensbevis har varit de viktigaste milstolparna i vår vetenskaps historiska utveckling”, hävdade han. (Reid s. 155) Brouwer … vägrade att acceptera den logiska principen om den uteslutna mitten … Hans argument var följande: ”Anta att A är påståendet ”Det finns en medlem av mängden S som har egenskapen P”. Om mängden är ändlig är det i princip möjligt att undersöka varje medlem av S och avgöra om det finns en medlem av S med egenskapen P eller om varje medlem av S saknar egenskapen P. För ändliga mängder accepterade Brouwer därför principen om den uteslutna mitten som giltig. Han vägrade att acceptera den för oändliga mängder, för om mängden S är oändlig kan vi inte – inte ens i princip – undersöka varje medlem av mängden. Om vi under vår undersökning finner en medlem av mängden med egenskapen P är det första alternativet styrkt, men om vi aldrig finner en sådan medlem är det andra alternativet fortfarande inte styrkt. Eftersom matematiska satser ofta bevisas genom att fastställa att negationen skulle leda till en motsägelse, skulle denna tredje möjlighet som Brouwer föreslog ifrågasätta många av de matematiska påståenden som för närvarande är accepterade. ”Att ta principen om den uteslutna mitten från matematikern”, sade Hilbert, ”är detsamma som … att förbjuda boxaren att använda sina knytnävar”. ”Den eventuella förlusten verkade inte störa Weyl … Brouwers program var den kommande saken, insisterade han inför sina vänner i Zürich.” (Reid, s. 149)}}}

I sin föreläsning 1941 på Yale och den efterföljande uppsatsen föreslog Gödel en lösning: ”att negationen av en universell sats skulle förstås som ett påstående om existensen … av ett motexempel” (Dawson, s. 157))

Gödels strategi för lagen om den uteslutna mitten var att hävda att invändningar mot ”användningen av ’imprediktiva definitioner'” ”vägde tyngre” än ”lagen om den uteslutna mitten och relaterade satser i propositionskalkylen” (Dawson s. 156). Han föreslog sitt ”system Σ … och han avslutade med att nämna flera tillämpningar av sin tolkning. Bland dem fanns ett bevis för att principen ~ (∀A: (A ∨ ~A)) (trots att antagandet ∃ A: ~ (A ∨ ~A) är inkonsekvent) är förenlig med intuitionistisk logik” (Dawson, s. 157)

Debatten verkade försvagas: Matematiker, logiker och ingenjörer fortsätter att använda lagen om den uteslutna mitten (och dubbel negation) i sitt dagliga arbete.

Intuitionistiska definitioner av lagen (principen) om den uteslutna mittenRedigera

Nedan beskrivs det djupa matematiska och filosofiska problemet bakom vad det innebär att ”veta”, och det hjälper också till att klargöra vad ”lagen” innebär (dvs. vad lagen verkligen betyder). Deras svårigheter med lagen framträder: att de inte vill acceptera som sanna implikationer som dras från det som är okontrollerbart (otestbart, ovetbart) eller från det omöjliga eller falska. (Alla citat är från van Heijenoort, kursiveringar har lagts till).

Brouwer erbjuder sin definition av ”principen om den uteslutna mitten”; vi ser här också frågan om ”testbarhet”:

På grundval av den just nämnda testbarheten gäller, för egenskaper som uppfattas inom ett specifikt ändligt huvudsystem, ”principen om den uteslutna mitten”, det vill säga principen att för varje system är varje egenskap antingen riktig eller omöjlig, och i synnerhet principen om de komplementära arternas ömsesidighet, det vill säga principen att för varje system följer riktigheten av en egenskap från omöjligheten av omöjligheten av denna egenskap. (335)

Kolmogorovs definition citerar Hilberts två negationsaxiom

1. A → (~A → B)
2. (A → B) → { (~A → B) → B}

Hilberts första negationsaxiom, ”allting följer av det falska”, gjorde sitt intåg först i och med framväxten av symbolisk logik, liksom det första implikationsaxiomet…. medan … det aktuella axiomet hävdar något om konsekvenserna av något omöjligt: vi måste acceptera B om det sanna omdömet A betraktas som falskt … Hilberts andra negationsaxiom uttrycker principen om den uteslutna mitten. Principen uttrycks här i den form i vilken den används för härledningar: om B följer av A såväl som av ~A, så är B sant. Dess vanliga form, ”varje dom är antingen sann eller falsk”, är likvärdig med den som ges ovan”. Med utgångspunkt i den första tolkningen av negationen, dvs. förbudet mot att betrakta domen som sann, är det omöjligt att få visshet om att principen om den uteslutna mitten är sann … Brouwer visade att i fallet med sådana transfinita domar kan principen om utesluten medelpunkt inte betraktas som självklar fotnot 9: ”Detta är Leibniz’ mycket enkla formulering (se Nouveaux Essais, IV,2). Formuleringen ”A är antingen B eller inte-B” har ingenting att göra med domslogiken. fotnot 10: ”Symboliskt uttrycks den andra formen sålunda A ∨ ~A

där ∨ betyder ”eller”. De två formernas ekvivalens är lätt att bevisa (s. 421)

.