ProblemetRedigera

Poincarés gissning, som föreslogs av den franske matematikern Henri Poincaré 1904, var ett av de viktigaste problemen inom topologin. Varje slinga på en 3-sfär – som exemplifieras av mängden punkter på ett avstånd av 1 från ursprunget i det fyrdimensionella euklidiska rummet – kan dras ihop till en punkt. Poincarés förmodan hävdar att varje sluten tredimensionell mångfald, där varje slinga kan dras ihop till en punkt, topologiskt sett är en 3-sfär. Sedan 1960 har man vetat att det analoga resultatet är sant i dimensioner som är större än eller lika med fem, vilket framgår av Stephen Smales arbete. Det fyrdimensionella fallet har stått emot längre och löstes slutligen 1982 av Michael Freedman. Men fallet med tremanifolds visade sig vara det svåraste av dem alla. Grovt sett beror detta på att när man topologiskt manipulerar en tremanifold finns det för få dimensioner för att flytta ”problematiska områden” ur vägen utan att störa något annat. Det mest grundläggande bidraget till det tredimensionella fallet hade producerats av Richard S. Hamilton. Perelmans roll var att slutföra Hamiltons program.

Perelmans bevisRedigera

I november 2002 postade Perelman det första av tre preprints till arXiv, där han hävdade att han hade skisserat ett bevis för geometrization conjecture, där Poincaré conjecture är ett särskilt fall. Detta följdes av de två andra preprints 2003.

Perelman modifierade Richard S. Hamiltons program för ett bevis för gissningen. Den centrala idén är begreppet Ricci-flöde. Hamiltons grundläggande idé är att formulera en ”dynamisk process” där en given tremanifold förvrängs geometriskt, där förvrängningsprocessen styrs av en differentialekvation som är analog med värmeekvationen. Värmeekvationen (som mycket tidigare motiverade Riemann att formulera sin Riemannhypotes om zeta-funktionens nollor) beskriver beteendet hos skalära storheter som t.ex. temperatur. Den garanterar att koncentrationer av förhöjd temperatur kommer att spridas ut tills en enhetlig temperatur uppnås i hela objektet. På samma sätt beskriver Ricci-flödet beteendet hos en tensorisk kvantitet, Ricci-kurvansensorn. Hamiltons förhoppning var att under Ricciflödet kommer koncentrationer av stor krökning att spridas ut tills en enhetlig krökning uppnås över hela den tredelade mångfalden. Om man i så fall börjar med vilken tremanifold som helst och låter Ricciflödet uppstå, bör man i princip så småningom få ett slags ”normalform”. Enligt William Thurston måste denna normalform anta en av ett litet antal möjligheter, som var och en har en annan typ av geometri, så kallade Thurstonmodellgeometrier.

Det var dock allmänt förväntat att processen skulle hindras av att utveckla ”singulariteter”. På 1990-talet gjorde Hamilton framsteg när det gäller att förstå de möjliga typerna av singulariteter som kan uppstå, men kunde inte ge en heltäckande beskrivning. I Perelmans artiklar skisserades en lösning. Enligt Perelman ser varje singularitet antingen ut som en cylinder som kollapsar till sin axel eller en sfär som kollapsar till sitt centrum. Med denna förståelse kunde han konstruera en modifiering av det vanliga Ricci-flödet, kallat Ricci-flöde med kirurgi, som systematiskt och på ett kontrollerat sätt kan skära bort singulära områden allteftersom de utvecklas. Idén om Ricci-flöde med kirurgi hade funnits sedan en artikel av Hamilton från 1993, som 1997 framgångsrikt hade genomfört den i högre dimensionella rum med vissa begränsade geometriska villkor. Perelmans kirurgiska förfarande liknade i stort sett Hamiltons men var påfallande annorlunda i sina tekniska aspekter.

Perelman visade att varje singularitet som utvecklas inom en ändlig tid i huvudsak är en ”klämning” längs vissa sfärer som motsvarar primdekompositionen av 3-manifold. Vidare är alla singulariteter i ”oändlig tid” resultatet av vissa kollapsande delar av JSJ-dekompositionen. Perelmans arbete bevisar detta påstående och bevisar därmed geometrization conjecture.

Innehållet i de tre artiklarna sammanfattas nedan:

• Det första förtrycket, The entropy formula for the Ricci flow and its geometric applications, ger många nya tekniker i studiet av Ricci-flödet, vars viktigaste resultat är en sats som ger en kvantitativ karakterisering av regioner med hög krökning i flödet.
• Det andra förtrycket, Ricci flow with surgery on three-manifolds, korrigerar några felaktiga påståenden i den första artikeln och fyller i vissa detaljer, och använder huvudresultatet i den första artikeln för att föreskriva operationsförfarandet. Den andra halvan av artikeln ägnas åt en analys av Ricciflöden som existerar i oändlig tid.
• Det tredje förtrycket, Finite extinction time for the solutions to the Ricci flow on certain three-manifolds, ger en genväg till beviset för Poincarés gissning som undviker argumenten i den andra halvan av det andra förtrycket. Den visar att på varje rymd som uppfyller antagandena i Poincarés gissning existerar Ricciflödet med kirurgi endast under ändlig tid, så att analysen av Ricciflödet i oändlig tid är irrelevant.

Tobias Colding och William Minicozzi II har tillhandahållit ett helt alternativt argument till Perelmans tredje preprint. Deras argument, med tanke på förutsättningen av några sofistikerade geometriska måttteoretiska argument som utvecklades på 1980-talet, är särskilt enkelt.

VerificationEdit

Perelmans preprints fick snabbt uppmärksamhet i det matematiska samfundet, även om de allmänt ansågs vara svåra att förstå eftersom de hade skrivits något knapphändigt. Mot den vanliga stilen i akademiska matematiska publikationer hade många tekniska detaljer utelämnats. Det stod snart klart att Perelman hade gjort viktiga bidrag till Ricci-flödets grunder, även om det inte omedelbart stod klart för det matematiska samfundet att dessa bidrag var tillräckliga för att bevisa geometriseringskonjekturen eller Poincaré-konjekturen.

I april 2003 besökte Perelman Massachusetts Institute of Technology, Princeton University, Stony Brook University, Columbia University och New York University för att hålla korta föreläsningsserier om sitt arbete och för att klargöra vissa detaljer för experter inom de relevanta områdena.

I juni 2003 publicerade Bruce Kleiner och John Lott, båda då vid University of Michigan, anteckningar på Lott’s webbplats som, avsnitt för avsnitt, fyllde ut många av detaljerna i Perelmans första preprint. I september 2004 uppdaterades deras anteckningar för att inkludera Perelmans andra preprint. Efter ytterligare revideringar och korrigeringar lade de ut en version på arXiv den 25 maj 2006, varav en modifierad version publicerades i den akademiska tidskriften Geometry & Topology 2008. Vid 2006 års internationella matematikkongress sade Lott: ”Det har tagit oss en del tid att granska Perelmans arbete. Detta beror delvis på originaliteten i Perelmans arbete och delvis på den tekniska sofistikeringen av hans argument. Allt tyder på att hans argument är korrekta.” I inledningen till sin artikel förklarade Kleiner och Lott

Perelmans bevis är kortfattade och ibland skissartade. Syftet med dessa anteckningar är att ge de detaljer som saknas i …. Beträffande bevisen, innehåller några felaktiga påståenden och ofullständiga argument, som vi har försökt att påpeka för läsaren. (En del av felen i korrigerades i .) Vi fann inga allvarliga problem, dvs. problem som inte kan rättas till med hjälp av de metoder som Perelman introducerade.

I juni 2006 publicerade Asian Journal of Mathematics en artikel av Zhu Xiping från Sun Yat-sen-universitetet i Kina och Huai-Dong Cao från Lehigh-universitetet i Pennsylvania, som ger en fullständig beskrivning av Perelmans bevis för Poincaré- och geometriseringskonjekturerna. Till skillnad från Kleiner och Lott’s artikel, som var strukturerad som en samling anteckningar till Perelmans artiklar, var Cao och Zhu’s artikel direkt inriktad på att förklara bevisen för Poincaré- och geometriseringskonjekturen. I sin inledning förklarar de

I den här artikeln ska vi presentera Hamilton-Perelman-teorin om Ricci-flödet. Baserat på den kommer vi att ge den första skriftliga redogörelsen för ett fullständigt bevis för Poincarés gissning och Thurstons geometriseringsgissning. Även om det kompletta arbetet är ett samlat arbete av många geometriska analytiker, är de största bidragsgivarna utan tvekan Hamilton och Perelman. I denna uppsats skall vi ge fullständiga och detaljerade bevis, särskilt för Perelmans arbete i hans andra uppsats där många nyckelidéer i bevisen skisseras eller skisseras, men fullständiga detaljer i bevisen saknas ofta. Som vi tidigare påpekat måste vi ersätta flera av Perelmans nyckelargument med nya tillvägagångssätt baserade på vår studie, eftersom vi inte kunde förstå dessa ursprungliga argument från Perelman som är väsentliga för att fullborda geometriseringsprogrammet.

I juli 2006 publicerade John Morgan från Columbia University och Gang Tian från Massachusetts Institute of Technology en artikel på arXiv i vilken de gav en detaljerad presentation av Perelmans bevis för Poincaré-konjekturen. Till skillnad från Kleiner-Lott och Cao-Zhus utläggningar behandlar Morgan och Tian också Perelmans tredje artikel. Den 24 augusti 2006 höll Morgan en föreläsning vid ICM i Madrid om Poincarés gissning, där han förklarade att Perelmans arbete hade ”kontrollerats grundligt”. År 2008 publicerade Morgan och Tian en uppsats som behandlade detaljerna i beviset för geometrization conjecture. Morgans och Tians två artiklar har publicerats i bokform av Clay Mathematics Institute.

Revideringar av verifikationernaRedigera

Alla tre av utläggningarna ovan har reviderats efter publiceringen. Kleiner-Lott och Morgan-Tians utläggningar visade sig ha fel (som inte påverkade den stora räckvidden), medan Cao-Zhus utläggning fick kritik för sin formulering och för ett tillskrivningsfel.

Sedan publiceringen har Kleiner och Lott artikel därefter reviderats två gånger för korrigeringar, t.ex. för ett felaktigt uttalande om Hamiltons viktiga ”compactness theorem” för Ricci-flöde. Den senaste revideringen av deras artikel gjordes 2013. År 2015 påpekade Abbas Bahri ett fel i Morgan och Tians framställning, vilket senare rättades av Morgan och Tian och härleddes till ett grundläggande beräkningsfel.

Cao och Zhus artikel genomgick kritik från vissa delar av det matematiska samfundet för deras ordval, vilket vissa observatörer tolkade som att de tog för mycket åt sig själva. Användningen av ordet ”application” i deras titel ”A Complete Proof of the Poincaré and Geometrization Conjectures – Application of the Hamilton-Perelman Theory of Ricci Flow” och frasen ”This proof should be considered as the crowning achievement of the Hamilton-Perelman theory of Ricci flow” i sammanfattningen var särskilt utpekade för kritik. När Perelman tillfrågades om detta sade han att Cao och Zhu inte hade bidragit med något originellt och att de helt enkelt hade omarbetat hans bevis eftersom de ”inte riktigt förstod argumentet”. Dessutom var en av sidorna i Cao och Zhus artikel i stort sett identisk med en av sidorna i Kleiner och Lotts inlägg från 2003. I ett publicerat erratum tillskrev Cao och Zhu detta till ett förbiseende och sade att de 2003 hade tagit ned anteckningar från den ursprungliga versionen av Kleiner och Lott’s anteckningar, och att de i sin artikel från 2006 inte hade insett den korrekta källan till anteckningarna. De lade upp en reviderad version på arXiv med revideringar i deras formulering och på den relevanta sidan i beviset.

Nuvarande synpunkterRedigera

Sedan 2020 finns det fortfarande en del matematiker som, även om det är allmänt erkänt att Perelman gjorde enorma framsteg i teorin om Ricci-flödet, inte accepterar att Poincaré- och geometriseringskonjekturerna har bevisats. För dessa observatörer finns de besvärliga delarna av beviset i den andra halvan av Perelmans andra preprint. Till exempel sade Fields-medaljören Shing-Tung Yau 2019 att

Och även om det kan vara kätteri för mig att säga detta, är jag inte säker på att beviset är helt spikat. Jag är övertygad om, vilket jag har sagt många gånger tidigare, att Perelman utförde ett briljant arbete när det gäller bildandet och strukturen av singulariteter i tredimensionella rum – ett arbete som verkligen var värdigt den Fieldsmedalj som han tilldelades. Om detta har jag inga tvivel Saken är den att det finns mycket få experter på Ricciflödet, och jag har ännu inte träffat någon som påstår sig ha en fullständig förståelse för den sista, svåraste delen av Perelmans bevis Såvitt jag vet har ingen tagit några av de tekniker som Perelman introducerade mot slutet av sin uppsats och framgångsrikt använt dem för att lösa något annat betydande problem. Detta tyder för mig på att andra matematiker ännu inte heller behärskar detta arbete och dess metoder fullt ut.

Däremot, när millenniepriset tilldelades Perelman för ”lösningen av Poincarés gissning” 2010, sade Fieldsmedaljören Simon Donaldson, i ett av lovorden för priset, följande

Från den tid då preprints rörande Poincaré- och Geometriseringsgissningarna dök upp, har matematiker runt om i världen enats om att uttrycka sin uppskattning, vördnad och förundran över hans extraordinära prestation, och jag tror att jag talar här som representant för hela vår intellektuella gemenskap. Det löser ett enastående, hundraårigt problem.