Vad är teknisk balkteori?

Ett strukturellt element eller en medlem som utsätts för krafter och kopplingar längs medlemmens längdaxel. Elementet sträcker sig vanligtvis mellan ett eller flera stöd och dess utformning styrs i allmänhet av böjmoment.

Euler-Bernoulli-balkteori

Euler-Bernoulli-ekvationen beskriver förhållandet mellan den applicerade belastningen och den resulterande avböjningen av balken och visas matematiskt som:

Varvid w är den fördelade belastningen eller kraften per längdenhet som verkar i samma riktning som y och balkens nedböjning Δ(x) vid en viss position x. E är elasticitetsmodulen för det aktuella materialet och I är det andra ytmomentet beräknat med avseende på den axel som går genom tvärsnittets mittpunkt och är vinkelrät mot den applicerade belastningen. Om EI eller böjstyvheten inte varierar längs balken förenklas ekvationen till:

När nedböjningen till följd av en given belastning har bestämts kan spänningarna i balken beräknas med hjälp av följande uttryck:

Böjmomentet i balken:

Skjuvkraften i balken:

Stödanslutningar och reaktioner

Det finns fyra olika typer av anslutningar som vanligtvis förekommer när man har att göra med balkar och var och en av dem bestämmer vilken typ av belastning som stödet kan motstå samt den totala bärförmågan, inte bara för den aktuella balken utan även för det system som balken ingår i.

Rullstöd: kan fritt rotera och förskjutas längs den yta som rullen vilar på och kan därför inte motstå sidokrafter. Sådana stöd utsätts för en singulär reaktionskraft som verkar vinkelrätt mot och bort från ytan.

Pintade stöd: tillåter elementet eller balken att rotera (ibland i endast en riktning), men inte att förflytta sig i någon riktning, det vill säga de kan motstå både vertikala och horisontella krafter men inte böjmoment.

Fasta stöd: hindrar både rotation och förflyttning och motstår både vertikala och horisontella krafter samt böjmoment.

Simpla stöd: kan fritt rotera och förflytta sig längs den yta som de vilar på i alla riktningar utom vinkelrätt mot och bort från ytan. Enkla stöd skiljer sig från rullstöd genom att de inte kan motstå sidolaster av någon storlek.

Typer av balkar

Enkla stödbalkar: fritt stödda i varje ände elementet är fritt roterande i ändarnas bärpunkter och har inget motstånd mot böjmoment. Balkens ändstöd kan utöva krafter på balken men kommer att rotera när balken böjs vid eventuella belastningar.

Fixerad balk: fasthållen i varje ände av balken är ändpunkterna begränsade från rotation och rörelse i både vertikala och horisontella riktningar.

Kantbalk: en balk som är fasthållen endast i den ena änden och där den andra änden är fri att rotera och röra sig fritt i både vertikala och horisontella riktningar.

Överhäng: en enkel balk som sträcker sig utanför sina stöd i den ena eller båda ändarna.

Kontinuerlig: en balk som sträcker sig över mer än två stöd.

Noggrannhet för ingenjörens balkteori

På grund av antagandena är en allmän tumregel att för de flesta konfigurationer är ekvationerna för böjspänningar och tvärgående skjuvspänningar exakta med en noggrannhet på cirka 3 % för balkar med ett förhållande mellan längd och höjd som är större än 4. Det är också viktigt att förstå och ta hänsyn till den typ av material som balken består av, hur balken deformeras, balkens geometri inklusive tvärsnittsarean och den interna jämvikten.

Antaganden och begränsningar

• Balkens tvärsnitt anses vara litet jämfört med dess längd, vilket innebär att balken är lång och tunn.
• Belastningar verkar tvärs över längdaxeln och passerar genom skjuvningscentrumet, vilket eliminerar all vridning eller torsion.
• Balkens egenvikt har ignorerats och bör beaktas i praktiken.
• Balkens material är homogent och isotropt och har en konstant Young-modul i alla riktningar i både kompression och dragning.
• Centroplanet eller den neutrala ytan utsätts för noll axiell påfrestning och genomgår ingen förändring i längd.
• Svaret på töjning är endimensionell spänning i böjningsriktningen.
• Deformationer antas vara mycket små jämfört med balkens totala längd.
• Tvärsnittet förblir plant och vinkelrätt mot längdaxeln under böjning.
• Balken är till en början rak och varje avböjning av balken följer en cirkelbåge där krökningsradien anses förbli stor jämfört med tvärsnittets dimension.

Kurvade balkar och bågar

Medans konstruktionen av kurvade balkar är identisk med den av raka balkar när tvärsnittets dimensioner är små jämfört med krökningsradien är den primära skillnaden mellan kurvade balkar och bågar att krökningen har ökat till en punkt där axialkrafter blir betydande i bågar.

En anmärkning om böjningsmoment

I konstruktionsteknik dras det positiva momentet på spänningssidan av elementet vilket gör att balkar och ramar kan hanteras lättare. Eftersom momenten ritas i samma riktning som elementet teoretiskt sett skulle böja sig när det belastas är det lättare att visualisera vad som händer. StructX har antagit detta sätt att rita böjmoment genomgående.

Ett urval av balkekvationer tillsammans med relevanta tekniska kalkylatorer kan hittas här.