Introduktion

Universums storskaliga dynamik styrs av den allmänna kosmiska expansionen och de massiva objektens gravitationsfält. Magnetfält tros inte spela någon större roll i den förstnämnda . Man tror att magnetfält inte, eller åtminstone inte med märkbar styrka, har funnits vid Big Bang och under den efterföljande inflationsperioden. Om de överhuvudtaget har funnits så har de funnits i form av falska magnetiska monopoler. De blir viktiga på mindre skalor. På skalor av kompakta magnetiserade objekt börjar de bli icke försumbara och för ett antal processer blir de till och med den dominerande kraften.

Magnetiska fält är bundna till elektriskt strömflöde och kan därför, i motsats till elektriska fält vars källor är elementarladdningar och laddningsdifferenser, genereras av processer som orsakar elektriska strömmar. Strömmar innebär icke-ambipolär transport av laddningar. Frågan om hur starka magnetfält kan bli reduceras därmed till frågan om hur starka eventuella strömmar kan bli. I den klassiska elektrodynamiken innebär detta utifrån Ampères lag för stationära magnetfält att

om man begränsar sig till enbart laddningstransport och utgår från ickemagnetiska medier med (för enkelhetens skull enkelspårigt laddade) jon- och elektrontätheter och bulkvolymerhastigheter Ni,e, Vi,e respektive. Annars skulle man lägga till en magnetiseringsterm M som beror på materiens egenskaper. Bestämning av M kräver en kvantmekanisk behandling inom ramen för fasta tillståndets fysik.

Antagen, utan begränsning, kvasineutralitet Ne ≈ Ni = N, bidrar endast hastighetsskillnader. Eftersom elektroner är betydligt mer rörliga än joner kan strömmen rimligen approximeras med elektronströmmen J ≈ – eNVe, ett villkor som strikt gäller i jonernas referensram. Eftersom hastigheterna begränsas av ljusets hastighet c begränsas magnetfältet klassiskt av

suggerar att magnetfältet växer med L och densiteten N. Här anges Ncc i enheter av elektroner per cm-3 och Lkm är längdskalan över en strömfilament i enheter av km. I skorpan av en neutronstjärna har vi till exempel Lkm ~ 1. Om ungefär alla elektroner i skorpan skulle delta i strömflödet hade vi Ncc × ~ 1030. Följaktligen skulle magnetfältsstyrkan kunna gå upp till B ~ 1028 Gauss, en enorm siffra jämfört med den maximala B ~ 1015 – 1016 Gauss som observerats i magnetarer.

Denna grova uppskattning måste kommenteras för att undvika missförstånd. Man tror att magnetfält företrädesvis genereras av dynamohandlingar. Sådana åtgärder är förmodligen inte verksamma i vita dvärgar, neutronstjärnor, magnetarer eller andra kompakta objekt. Fälten produceras i deras differentiellt roterande upphovsmän. Ta solen som exempel med dynamoaktioner i konvektionszonen med tjocklek L☉ ~ 2 × 105 km och medeltäthet N☉cc ~ 8 × 1023. Om man använder konvektionszonens totala bredd överskattar man grovt den nuvarande filamentbredden. En absolut övre gräns skulle vara L☉km ≲ 2 × 104. Det är uppenbart att hastigheterna också är mycket mindre än c. Att använda c ger alltså en extrem absolut övre gräns för magnetfältet B < 1021 T. De jämförelsevis starka fälten i neutronstjärnor uppstår senare vid den snabba kollapsen av den magnetiserade tunga stamstjärnan, som inte har hunnit avleda den magnetiska energin, som komprimeras i den lilla volymen av neutronstjärnan, under den tid då den kollapsar. Kompressionsfaktorn är av storleksordningen ~ 1012 och ger gränsfält på B ≲ 1035 Gauss. Den klassiska elektrodynamiska uppskattningen misslyckas helt klart med att ge en övre gräns för magnetfältsstyrkan som skulle stämma överens med observationerna.

Andra inte mindre allvarliga diskrepanser erhålls genom att sätta neutronstjärnans magnetfältsenergi lika med den totala tillgängliga rotationsenergin både i progenitorn eller i neutronstjärnan, med antagandet att rotations- och magnetenergin är jämn fördelad – ett uppenbart knappt motiverat antagande i båda fallen. Den magnetiska energin kan inte bli större än den ursprungligen tillgängliga dynamiska energin hos dess orsak, av vilken den bara är en bråkdel. Det är förmodligen främst tveksamt om magnetfält någonsin skulle ha kunnat produceras av någon klassisk mekanism som är betydligt starkare än vad som observeras i neutronstjärnor (med undantag för en kort ~10 s lång fas av dynamoförstärkning efter kollapsen som i bästa fall ger ytterligare en faktor på ~10-100 ) och, genom ytterligare koncentration av magnetisk energi i mindre volymer, bunkring av magnetiska flödesrör, som man tror att det sker i magnetarer. Om mycket starkare fält överhuvudtaget genererades måste det ha skett under tider och i objekt där magnetfält kan ha producerats av andra processer än klassiska dynamos. Man måste alltså gå in i kvantelektrodynamiken respektive kvantfältteorin för att kunna dra slutsatser om de viktigaste fysiska begränsningarna för generering av eventuella magnetfält. Följande undersökning motiveras mindre av observationer än av denna grundläggande teoretiska fråga.

Flödeselement

Kvantmekaniken ger ett sätt att erhålla en första gräns för magnetfältet från lösningen av Schrödingers ekvation, som ursprungligen hittades av Landau 1930, för en elektron som kretsar i ett homogent magnetfält. Den fysiska tolkningen av denna lösning gavs mycket senare i Aharonov-Bohm-teorin . Från kravet att det magnetiska flödet Φ i ett fält B som är inneslutet i en elektronens gyrobanan måste vara enkelvärdigt, drog Aharonov och Bohm slutsatsen att Φ = ν Φ0 är kvantiserat med flödeselementet Φ0 = 2πħ/e, e elementarladdningen, och ν = 1, 2, ….. Eftersom ν = Φ/Φ0 är antalet elementära flöden som bärs upp av fältet, och B = Φ/πl2, definierar man genom att sätta ν = 1 en minsta magnetisk längd

Denna längd, som är gyroradius för en elektron i den lägst liggande Landau-energinivån, kan tolkas som radien för en magnetfältslinje i magnetfältet B. Fältlinjerna blir smalare ju starkare magnetfältet är. Å andra sidan ger omskrivning av ekvation (3) ett uttryck för magnetfältet

varifrån man för en given kortaste ”kritiska” längd lB ≡ lc i princip kan uppskatta det maximala magnetfältet Bc motsvarande lc. Om man till exempel sätter lc = 2πħ/mc lika med elektronernas Comptonlängd λ0 = 2πħ/mc får man den kritiska magnetfältsstyrkan Bq ≡ Bns ≈ 3 × 109 T = 3 × 1013 Gauss hos en pulsar (neutronstjärna). Det är av stort intresse att ungefär denna fältstyrka faktiskt härleddes från observation av den fundamentala (ν = 1) elektroncyklotronharmoniska röntgenlinjen som upptäcktes från HerX1-pulsaren , ungefär två decennier efter Aharonovs och Bohms och ett halvt sekel efter Lau-teorin.

Generalisering

Användning av Compton-våglängden relaterar den begränsande fältstyrkan i neutronstjärnor till kvantelektrodynamik. Det väcker frågan om en mer exakt teoretisk bestämning av den kvantelektrodynamiska begränsande fältstyrkan som tar hänsyn till relativistiska effekter. Det väcker också frågan om hänvisning till andra fundamentala längdskalor kan ge andra principiella gränser för magnetfält om endast sådana fält kan genereras på något sätt, dvs. om elektriska strömmar av tillräcklig styrka skulle kunna flöda under olika förhållanden som t.ex. inom kvantkromodynamiken.

Väldigt formellt, med undantag för inkludering av relativistiska effekter, ger ekvation (4) en modellekvation för ett begränsande fält i beroende av någon given fundamental längdskala lc. Under detta förenklande antagande skalar det kritiska magnetfältet Bc helt enkelt med den inversa kvadraten på motsvarande fundamentala längd. Formellt sett visas detta grafiskt i figur 1 under antagandet att Aharonov-Bohmskalan är giltig vid högre energier.

Compton-gränsen för magnetfält var känd från överväganden om rak energi, som förutspår vakuumets sönderfall till parbildning vid magnetfält starkare än Bns. Av denna anledning var upptäckten av magnetfält som överskrider kvantgränsen med upp till tre order i magnetarer en inledande överraskning. Mer exakta relativistiska elektrodynamiska beräkningar, inklusive Feynman-grafer av högre ordning, visade dock att Compton-gränsen mycket väl kan överskridas. Till första approximation i elektronernas anomala magnetiska moment förskjuts den lägsta Landau-nivån enligt

med α = α/2π den reducerade finstrukturkonstanten. Denna formel är giltig för B < Bq. Den tyder på en minskning av den lägsta Landau-energinivån för ökande fält, uppenbarligen med våldsamma icke-fysiska konsekvenser för astrofysiska objekt . Feynman-diagram som inkluderar högre ordningers självdragning av elektroner måste därför beaktas, särskilt vid stora fält. I fält B ≫ Bq som väsentligt överstiger Bq blir elektronerna relativistiskt massiva, och den lägsta Landau-nivån, efter att ha passerat ett minimum, ökar som

Därav följer att den lägsta energinivån på Landau-nivån fördubblas endast vid magnetfält i storleksordningen B ~ 1028 T (~ 1032 Gauss), långt över alla magnetfält på neutronstjärnors eller magnetars yta. Relativistiska korrigeringar av självenergin som orsakar magnetfältets sönderfall kommer således att spela in först vid dessa energier som kan vara den yttersta gränsen för magnetfältsstyrkor.

Det är anmärkningsvärt att denna gräns ungefär sammanfaller med de bästa nyligen gjorda experimentella bestämningarna av en övre gräns för elektronradien. Under denna skala bör ytterligare effekter komma in, som huvudsakligen förhindrar varje ytterligare ökning av magnetfältsstyrkorna eller till och med förekomsten av magnetfält. Det verkar alltså som om den Aharonov-Bohm-skalering som figur 1 bygger på inte är helt omotiverad upp till denna skala. Detta är mycket intressant även ur den synvinkeln att både den elektrosvaga och den starka växelverkningsskalan ligger inom det tillåtna området, helt enkelt eftersom elektroner bibehåller sin natur genomgående i dessa skalor. Det är bara det öde området av energier respektive skalor som är uteslutet. Det omfattar särskilt GUT-området för grand unification samt kvantgravitation, områden som har spelat en roll endast i det mycket tidiga universum. Eventuella rudimentära magnetfält från den tiden har spätts ut av inflationen och den kosmologiska expansionen till låga värden som endast finns i botten av figur 1.

Diskussion och slutsatser

Om inte magnetiska monopoler någonsin har funnits och överlevt i universum, måste magnetfält ha producerats vid någon tidpunkt via generering av elektriska strömmar. Fält som genererades i det tidiga universum har därefter spätts ut till dagens låga storskaliga värden som diskuterats på annat håll . De kan ha varit starka från början, och i så fall är deras styrka också föremål för begränsning. Alla rimliga styrkor som uppskattas från dynamo- och andra modeller i klassiska och kromodynamiska teorier når dock med största sannolikhet inte upp till någon av ovanstående kvantelektrodynamiska gränser. Förmodligen behöver man inte kräva ytterligare kromodynamiska begränsningar. Detta påstående kan grundas på den roll som elektroner spelar i strömbildningen, som är grunden för all storskalig produktion av magnetfält. Elektroner och deras spins är också ansvariga för magnetismen i fasta ämnen. Elektroner tros fortfarande inte ha någon struktur. I vilket fall som helst, vid skalor ”inuti” en elektron, dvs. under den fiktiva elektronradien re, bör strömmar antingen förlora all betydelse eller inte existera alls och därmed kommer begreppet magnetfält troligen inte att vara särskilt meningsfullt längre. Man kan alltså tro att den övre kvantelektrodynamiska gränsen sätter en absolut gräns för alla realistiska magnetfältsstyrkor.

Användningen av Aharonov-Bohmskalan i figur 1 på magnetfält i universum tycks ge en rimlig uppfattning om de förväntade absoluta begränsningarna för magnetfältsstyrkor på kvantelektrodynamiska skalor. Det är uppenbart att vakuumet ändrar karaktär vid korta skalor och höga energier, eftersom fotoner blir tunga växlar till elektrosvaga bosoner och kvarkar kommer in i materien. Elektroner förblir oförändrade ner till åtminstone re ~ 10-22 m, den nuvarande övre gränsen för elektronradien . Detta föreslår att man skriver det kritiska magnetfältet Ekvation (4) som

där lc ≥ l0, och l0 ≳ re är den relevanta minimilängden ovanför vilken magnetfält är meningsfulla. I figur 1 anges detta beteende som den streckade svarta kurvan som avviker från diagonalen. Fortfarande är vakuumets stabilitet inte lika tydlig som i det kvantelektrodynamiska området i närvaro av superstarka magnetfält i de elektrosvaga och kromodynamiska områdena. Problemet kvarstår att magnetfält måste genereras antingen på dessa små skalor eller på mycket större elektrodynamiska skalor, varifrån de kollapsar ner till dessa små skalor.

Vad gäller generering av magnetfält före kollaps genom de allmänt accepterade dynamo- eller batterieffekterna är magnetfältens styrka strikt begränsad av de tillgängliga dynamiska energierna, som ligger långt under alla kvant-elektrodynamiska gränser. Man kan hävda att så länge skalan för elektronradien inte nås under kollapsen ger den kvantelektrodynamiska skalningen en rimlig absolut begränsning av alla möjliga magnetfältsstyrkor. Neutronstjärnor och magnetarer har skalor som är överdrivet mycket större än elektronskalan. Tyngre objekt skulle genom att minska sin skala kunna ha betydligt starkare fält, men det tillåtna området begränsas av villkoret att sådana objekt lätt blir svarta hål när de kollapsar, vilka enligt den berömda ”no-hair”-satsen inte har några magnetfält. Man vet inte vad som skulle hända med fältet när man passerar horisonten, eftersom ingen information om fältet skulle lämnas till den externa observatören. Enligt teoremet utan hår kan man anta att fältet helt enkelt sugs in i hålet och försvinner tillsammans med den kollapsande massan. Vanliga resonemang som utgår från upprätthållandet av det infrusna tillståndet tyder då på att fältet innanför horisonten bör öka ytterligare i den förmodat fortsatta gravitationskollapsen.

De tillgängliga starka fälten som närmar sig de kvantelektrodynamiska gränserna återfinns i neutronstjärnor och magnetarer. Hittills har inga magnetfält från främmande stjärnor upptäckts positivt. Det har till och med visats att sådana fält, som eventuellt finns i supraledande främmande stjärnor, skulle avklinga rotationsmässigt inom tider som är kortare än ~ 20 Myrs. I magnetarer förstår man nu att fält som är starkare än Bns = Bq är en följd av krustaleffekter som orsakar lokal koncentration av magnetfält och utdragna magnetiska slingor som har vissa likheter med de välkända solfläckarna. Effekter på materia i superstarka fält undersöktes först i Ruderman och har granskats i och andra.

Intressekonfliktförklaring

Författarna förklarar att forskningen utfördes i avsaknad av kommersiella eller finansiella relationer som skulle kunna tolkas som en potentiell intressekonflikt.