Dirac ekvation i den form som ursprungligen föreslogs av Dirac är:

( β m c 2 + c ∑ n = 1 3 α n p n ) ψ ( x , t ) = i ℏ ∂ ψ ( x , t ) ∂ t {\displaystyle \left(\beta mc^{2}+c\sum _{n\mathop {=} 1}^{3}\alpha _{n}p_{n}\right)\psi (x,t)=i\hbar {\frac {\partial \psi (x,t)}{\partial t}}}}

där ψ = ψ(x, t) är vågfunktionen för elektronen med vilomassan m med rumtidskoordinaterna x, t. P1, p2, p3 är komponenterna av rörelsemängden, som förstås som rörelseoperatorn i Schrödingerekvationen. Dessutom är c ljusets hastighet och ħ den reducerade Planckkonstanten. Dessa grundläggande fysikaliska konstanter återspeglar den speciella relativitetsteorin respektive kvantmekaniken.

Diracs syfte med denna ekvation var att förklara beteendet hos den relativistiskt rörliga elektronen och på så sätt göra det möjligt att behandla atomen på ett sätt som är förenligt med relativitetsteorin. Hans ganska blygsamma förhoppning var att de korrigeringar som infördes på detta sätt skulle kunna ha betydelse för problemet med atomspektrum.

Intill dess hade försöken att göra den gamla kvantteorin om atomen förenlig med relativitetsteorin, försök som byggde på en diskretisering av det vinkelmoment som lagrats i elektronens möjligen icke-cirkulära omloppsbana runt atomkärnan, misslyckats – och Heisenbergs, Paulis, Jordans, Schrödingers och Diracs egen nya kvantmekanik hade inte utvecklats tillräckligt för att behandla detta problem. Även om Diracs ursprungliga avsikter uppfylldes hade hans ekvation mycket djupare konsekvenser för materiens struktur och introducerade nya matematiska klasser av objekt som nu är väsentliga element i den grundläggande fysiken.

De nya elementen i denna ekvation är de fyra 4 × 4-matriserna α1, α2 , α3 och β, och den fyrkomponentsvågfunktionen ψ. Det finns fyra komponenter i ψ eftersom utvärderingen av den vid varje given punkt i konfigurationsutrymmet är en bispinor. Den tolkas som en superposition av en spin-up-elektron, en spin-down-elektron, en spin-up-positron och en spin-down-positron (se nedan för ytterligare diskussion).

De 4 × 4-matriserna αk och β är alla hermitiska och är ofrivilliga:

α i 2 = β 2 = I 4 {\displaystyle \alpha _{i}^{2}=\beta ^{2}=I_{4}}

och de är alla ömsesidigt motstridiga:

α i α j + α j α i = 0 ( i ≠ j ) {\displaystyle \alpha _{i}\alpha _{j}+\alpha _{j}\alpha _{i}\alpha _{i}=0\quad (i\neq j)}

α i β + β α i = 0 {\displaystyle \alpha _{i}\beta +\beta \alpha _{i}=0}

Dessa matriser och vågfunktionens form har en djup matematisk betydelse. Den algebraiska struktur som representeras av gamma-matriserna hade skapats ungefär 50 år tidigare av den engelske matematikern W. K. Clifford. Cliffords idéer hade i sin tur uppstått ur den tyske matematikern Hermann Grassmanns arbete från mitten av 1800-talet i hans Lineale Ausdehnungslehre (teori om linjära utvidgningar). Den senare hade betraktats som nästintill obegriplig av de flesta av hans samtida. Uppkomsten av något så till synes abstrakt, vid ett så sent datum och på ett så direkt fysiskt sätt, är ett av de mest anmärkningsvärda kapitlen i fysikens historia.

Den enda symboliska ekvationen upplöses således i fyra kopplade linjära första ordningens partiella differentialekvationer för de fyra storheter som utgör vågfunktionen. Ekvationen kan skrivas mer explicit i Planck-enheter som:

i ∂ t = i ∂ x + ∂ y + i ∂ z + m {\displaystyle i\partial _{t}{\begin{bmatrix}\psi _{1}\\\\psi _{2}\\\\psi _{3}\\\\\psi _{4}\end{bmatrix}}}=i\partial _{x}{\begin{bmatrix}-\psi _{4}\\\\-\psi _{3}\\\\-\psi _{2}\\\\-\psi _{1}\end{bmatrix}}}+\partial _{y}{\begin{bmatrix}-\psi _{4}\\\+\psi _{3}\\\\-\psi _{2}\\\+\psi _{1}\end{bmatrix}}}+i\partial _{z}{\begin{bmatrix}}-\psi _{3}\\\+\psi _{4}\\\\-\psi _{1}\\\+\psi _{2}\end{bmatrix}}+m{\begin{bmatrix}+\psi _{1}\\+\psi _{1}\+\psi _{2}\\\-\psi _{3}\\\-\psi _{4}\end{bmatrix}}}

vilket gör det tydligare att det är en uppsättning av fyra partiella differentialekvationer med fyra okända funktioner.

Att göra Schrödingerekvationen relativistiskRedigera

Diracekvationen liknar ytligt sett Schrödingerekvationen för en massiv fri partikel:

– ℏ 2 2 2 m ∇ 2 2 ϕ = i ℏ ∂ ∂ t ϕ . {\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\phi =i\hbar {\frac {\frac {\partial }{\partial t}}\phi ~.}

Vänster sida representerar kvadraten på impulsoperatorn dividerad med två gånger massan, vilket är den icke-relativistiska kinetiska energin. Eftersom relativiteten behandlar rum och tid som en helhet kräver en relativistisk generalisering av denna ekvation att rymd- och tidsderivat måste komma in symmetriskt på samma sätt som i Maxwell-ekvationerna som styr ljusets beteende – ekvationerna måste vara differentiellt av samma ordning i rum och tid. I relativitetsteorin är rörelsemängden och energierna rymd- och tidsdelarna av en rymdtidsvektor, fyrmomentet, och de är relaterade genom den relativistiskt invarianta relationen

E 2 = m 2 c 4 + p 2 c 2 {\displaystyle E^{2}=m^{2}c^{4}+p^{2}c^{2}}}

som säger att längden på denna fyravektor är proportionell mot vilomassan m. Genom att ersätta operatörsekvivalenterna för energi och rörelsemängd från Schrödingerteorin får vi Klein-Gordonekvationen som beskriver utbredningen av vågor, konstruerade av relativistiskt invarianta objekt,

( – 1 c 2 ∂ 2 ∂ t 2 + ∇ 2 ) ϕ = m 2 c 2 ℏ 2 ϕ {\displaystyle \left(-{\frac {1}{c^{2}}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}+\nabla ^{2}\right)\phi ={\frac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}\phi }

med vågfunktionen ϕ som är en relativistisk skalär: Ett komplext tal som har samma numeriska värde i alla referensramar. Rymd- och tidsderivat går båda in till andra ordningen. Detta har en talande konsekvens för ekvationens tolkning. Eftersom ekvationen är av andra ordningen i tidsderivatan måste man ange initialvärden både för vågfunktionen själv och för dess första tidsderivatan för att kunna lösa bestämda problem. Eftersom båda kan specificeras mer eller mindre godtyckligt kan vågfunktionen inte behålla sin tidigare roll att bestämma sannolikhetstätheten för att finna elektronen i ett visst rörelsetillstånd. I Schrödingerteorin ges sannolikhetstätheten av det positivt bestämda uttrycket

ρ = ϕ ∗ ϕ {\displaystyle \rho =\phi ^{*}\phi }

och denna täthet konvekteras enligt sannolikhetsströmsvektorn

J = – i ℏ 2 m ( ϕ ∗ ∇ ϕ – ϕ ∇ ϕ ϕ ∗ ) {\displaystyle J=-{\frac {i\hbar }{2m}}(\phi ^{*}\nabla \phi -\phi \nabla \nabla \phi ^{*})}

med bevarande av sannolikhetsströmmen och tätheten som följer av kontinuitetsekvationen:

∇ ⋅ J + ∂ ρ ∂ t = 0 . {\displaystyle \nabla \cdot J+{\frac {\partial \rho }{\partial t}}=0~.}

Det faktum att densiteten är positivt bestämd och konvekteras enligt denna kontinuitetsekvation innebär att vi kan integrera densiteten över en viss domän och sätta summan till 1, och att detta villkor kommer att upprätthållas av bevarandelagen. En riktig relativistisk teori med en sannolikhetsdensitetsström måste också dela denna egenskap. Om vi nu vill behålla begreppet konvekterad täthet måste vi generalisera Schrödingeruttrycket för tätheten och strömmen så att rymd- och tidsderivaten återigen går in symmetriskt i förhållande till den skalära vågfunktionen. Vi får behålla Schrödingeruttrycket för strömmen, men måste ersätta sannolikhetstätheten med det symmetriskt bildade uttrycket

ρ = i ℏ 2 m c 2 ( ψ ∗ ∂ t ψ – ψ ∂ t ψ ∗ ∗ ) . {\displaystyle \rho ={\frac {i\hbar }{2mc^{2}}}(\psi ^{*}\partial _{t}\psi -\psi \partial _{t}\psi ^{*})~.}

som nu blir den 4:e komponenten av en rymdtidsvektor, och hela sannolikhets-4-strömtätheten har det relativistiskt kovarianta uttrycket

J μ = i ℏ 2 m ( ψ ∗ ∗ ∂ μ ψ – ψ ∂ μ ψ ∂ ψ ∗ ) . {\displaystyle J^{\mu }={\frac {i\hbar }{2m}}(\psi ^{*}\partial ^{\mu }\psi -\psi \partial ^{\mu }\psi ^{*})~.}

Kontinuitetsekvationen är som tidigare. Allt är nu förenligt med relativiteten, men vi ser genast att uttrycket för densiteten inte längre är positivt bestämt – de initiala värdena för både ψ och ∂tψ kan väljas fritt, och densiteten kan därmed bli negativ, något som är omöjligt för en legitim sannolikhetstäthet. Vi kan alltså inte få en enkel generalisering av Schrödingerekvationen under det naiva antagandet att vågfunktionen är en relativistisk skalär, och att ekvationen den uppfyller, är av andra ordningen i tiden.

Och även om det inte är en lyckad relativistisk generalisering av Schrödingerekvationen, återuppstår denna ekvation i samband med kvantfältsteorin, där den kallas Klein-Gordon-ekvationen och beskriver ett spindellöst partikelfält (t.ex. pi-meson eller Higgsboson). Historiskt sett kom Schrödinger själv fram till denna ekvation före den som bär hans namn men förkastade den snart. I samband med kvantfältsteori förstås att den obestämda densiteten motsvarar laddningstätheten, som kan vara positiv eller negativ, och inte sannolikhetstätheten.

Diracs kuppEdit

Dirac tänkte alltså pröva en ekvation som var av första ordningen i både rum och tid. Man skulle till exempel formellt (dvs. genom missbruk av notation) ta det relativistiska uttrycket för energin

E = c p 2 + m 2 c 2 , {\displaystyle E=c{\sqrt {p^{2}+m^{2}c^{2}}}~,}

ersätt p med dess operatörsekvivalent, expandera kvadratroten i en oändlig serie derivatoriska operatörer, ställ upp ett egenvärdesproblem och lös sedan ekvationen formellt genom iterationer. De flesta fysiker hade liten tilltro till en sådan process, även om den var tekniskt möjlig.

Enligt historien stirrade Dirac in i kaminen i Cambridge och funderade över detta problem, när han kom på idén att ta kvadratroten av vågoperatorn på följande sätt:

∇ 2 – 1 c 2 ∂ 2 ∂ t 2 = ( A ∂ x + B ∂ y + C ∂ z + i c D ∂ t ) ( A ∂ x + B ∂ y + C ∂ z + i c D ∂ t ) . {\displaystyle \nabla ^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}}{\frac {\partial ^{2}}}{\partial t^{2}}}}=\left(A\partial _{x}+B\partial _{y}+C\partial _{z}+{\frac {i}{c}}}D\partial _{t}\right)\left(A\partial _{x}+B\partial _{y}+C\partial _{z}+{\frac {i}{c}}D\partial _{t}\right)~.}

Om vi multiplicerar ut den högra sidan ser vi att för att få alla tvärtermer som ∂x∂y att försvinna måste vi anta

A B + B A = 0 , … {\displaystyle AB+BA=0,~\ldots ~}

med

A 2 = B 2 = … = 1 . {\displaystyle A^{2}=B^{2}=\ldots =1~.}

Dirac, som just då hade varit intensivt engagerad i att utarbeta grunderna för Heisenbergs matrismekanik, förstod genast att dessa villkor kunde uppfyllas om A, B, C och D är matriser, vilket innebär att vågfunktionen har flera komponenter. Detta förklarade omedelbart uppkomsten av vågfunktioner med två komponenter i Paulis fenomenologiska teori om spinn, något som fram till dess hade betraktats som mystiskt, till och med för Pauli själv. Man behöver dock minst 4 × 4 matriser för att skapa ett system med de egenskaper som krävs – så vågfunktionen hade fyra komponenter, inte två, som i Pauli-teorin, eller en, som i den nakna Schrödinger-teorin. Vågfunktionen med fyra komponenter representerar en ny klass av matematiska objekt i fysikaliska teorier som för första gången dyker upp här.

Med tanke på faktoriseringen i termer av dessa matriser, kan man nu omedelbart skriva ner en ekvation

( A ∂ x + B ∂ y + C ∂ z + i c D ∂ t ) ψ = κ ψ {\displaystyle \left(A\partial _{x}+B\partial _{y}+C\partial _{z}+{\frac {i}{c}}}D\partial _{t}\right)\psi =\kappa \psi }

med κ {\displaystyle \kappa }

som skall bestämmas. Om man återigen tillämpar matrisoperatorn på båda sidor får man ( ∇ 2 – 1 c 2 ∂ t 2 ) ψ = κ 2 ψ . {\displaystyle \left(\nabla ^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}\partial _{t}^{2}\right)\psi =\kappa ^{2}\psi ~.}

Om κ = m c ℏ {\displaystyle \kappa ={\tfrac {mc}{\hbar }}

finner vi att alla komponenter i vågfunktionen individuellt uppfyller den relativistiska energi-momentumrelationen. Den sökta ekvationen som är av första ordningen i både rum och tid är således ( A ∂ x + B ∂ y + C ∂ z + i c D ∂ t – m c ℏ ) ψ = 0 . {\displaystyle \left(A\partial _{x}+B\partial _{y}+C\partial _{z}+{\frac {i}{c}}}D\partial _{t}-{\frac {mc}{\hbar }}\right)\psi =0~.}

Inställning

A = i β α 1 , B = i β α 2 , C = i β α 3 , D = β , {\displaystyle A=i\beta \alpha _{1}\,,\,B=i\beta \alpha _{2}\,,\,C=i\beta \alpha _{3}\,,\,D=\beta ~,}

och eftersom D 2 = β 2 = I 4 , {\displaystyle D^{2}=\beta ^{2}=I_{4}~,}

får vi Dirac-ekvationen som den är skriven ovan.

Kovariantform och relativistisk invariansRedigera

För att demonstrera ekvationens relativistiska invarians är det fördelaktigt att kasta den i en form där rymd- och tidsderivaten uppträder på lika villkor. Nya matriser införs enligt följande:

D = γ 0 , {\displaystyle D=\gamma ^{0}~,}

A = i γ 1 , B = i γ 2 , C = i γ 3 , {\displaystyle A=i\gamma ^{1}~,\quad B=i\gamma ^{2}~,\quad C=i\gamma ^{3}~,}

och ekvationen har följande form (med tanke på definitionen av de kovarianta komponenterna i 4-gradienten och särskilt att ∂0 = 1/c∂t )

där det finns en underförstådd summering över värdena av det två gånger upprepade indexet μ = 0, 1, 2, 3, och ∂μ är 4-gradienten. I praktiken skriver man ofta gammamatriserna i termer av 2 × 2 delmatriser som tas från Pauli-matriserna och 2 × 2 identitetsmatrisen. Explicit är standardrepresentationen

γ 0 = ( I 2 0 0 0 – I 2 ) , γ 1 = ( 0 σ x – σ x 0 ) , γ 2 = ( 0 σ y – σ y 0 ) , γ 3 = ( 0 σ z – σ z 0 ) . {\displaystyle \gamma ^{0}={\begin{pmatrix}I_{2}&0\\0&-I_{2}\end{pmatrix}}~,\gamma ^{1}=\left({\begin{array}{cccc}0&\sigma _{x}\\-\sigma _{x}&0\end{array}}\right)~,\gamma ^{2}=\left({\begin{array}{cccc}0&\sigma _{y}\\-\sigma _{y}&0\end{array}}\right)~,\gamma ^{3}=\left({\begin{array}{cccc}0&\sigma _{z}\\-\sigma _{z}&0\end{array}}\right)~.}

Det kompletta systemet sammanfattas med hjälp av Minkowskis metrik på rymdtid i formen

{ γ μ , γ ν } = 2 η μ μ ν I 4 {\displaystyle \{\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }\}=2\eta ^{\mu \nu }I_{4}}}

där parentesuttrycket

{ a , b } = a b + b a {\displaystyle \{a,b\}=ab+ba}

betecknar antikommutatorn. Detta är de definierande relationerna för en Cliffordalgebra över ett pseudo-ortogonalt 4-dimensionellt rum med metrisk signatur (+ – – – -). Den specifika Cliffordalgebra som används i Diracekvationen är idag känd som Diracalgebra. Även om Dirac inte kände till detta när ekvationen formulerades, utgör införandet av denna geometriska algebra i efterhand ett enormt framsteg i utvecklingen av kvantteorin.

Dirac-ekvationen kan nu tolkas som en egenvärdesekvation, där vilomassan är proportionell mot ett egenvärde av 4-momentumoperatorn, där proportionalitetskonstanten är ljusets hastighet:

P o p ψ = m c ψ . {\displaystyle P_{\mathrm {op} }\psi = mc\psi ~.}

Användning ∂ / = d e f γ μ ∂ μ μ {\displaystyle {\partial \!\!\!\!/}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}}\ \gamma ^{\mu }\partial _{\mu }}

( ∂ / {\displaystyle {\partial \!\!\!\!\!{\big /}}}

uttalas ”d-slash”), enligt Feynmans slash-notation, blir Dirac-ekvationen: i ℏ ∂ / ψ – m c ψ = 0. {\displaystyle i\hbar {\partial \!\!\!\!{\big /}}\psi – mc\psi =0.}

I praktiken använder fysiker ofta måttenheter som innebär att ħ = c = 1, så kallade naturliga enheter. Ekvationen antar då den enkla formen

En grundläggande sats säger att om två olika uppsättningar matriser är givna som båda uppfyller Cliffordrelationerna, så är de förbundna med varandra genom en likhetstransformation:

γ μ ′ = S – 1 γ μ S . {\displaystyle \gamma ^{\mu \prime }=S^{-1}\gamma ^{\mu }S~.}

Om matriserna dessutom alla är enhetliga, liksom Dirac-mängden, så är S självt enhetligt;

γ μ ′ = U † γ μ U . {\displaystyle \gamma ^{\mu \prime }=U^{\dagger }\gamma ^{\mu }U~.}

Transformationen U är unik upp till en multiplikativ faktor med absolut värde 1. Låt oss nu föreställa oss att en Lorentztransformation har utförts på rums- och tidskoordinaterna och på de derivativa operatörerna, som bildar en kovariant vektor. För att operatören γμ∂μμ ska förbli invariant måste gammorna transformeras sinsemellan som en kontravariant vektor med avseende på deras rymdtidsindex. Dessa nya gammor kommer själva att uppfylla Cliffordrelationerna, på grund av Lorentztransformationens ortogonalitet. Enligt den grundläggande satsen kan vi ersätta den nya mängden med den gamla mängden som är föremål för en enhetlig transformation. I den nya ramen, med tanke på att vilomassan är en relativistisk skalär, kommer Dirac-ekvationen då att anta formen

( i U † γ μ U ∂ μ ′ – m ) ψ ( x ′ , t ′ ) = 0 {\displaystyle (iU^{\dagger }\gamma ^{\mu }U\partial _{\mu }^{\prime }-m)\psi (x^{\prime },t^{\prime })=0}

U † ( i γ μ μ ∂ μ ′ – m ) U ψ ( x ′ , t ′ ) = 0 . {\displaystyle U^{\dagger }(i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }^{\prime }-m)U\psi (x^{\prime },t^{\prime })=0~.}

Om vi nu definierar den transformerade spinorn

ψ ′ = U ψ {\displaystyle \psi ^{\prime }=U\psi }

då har vi den transformerade Dirac-ekvationen på ett sätt som visar manifest relativistisk invarians:

( i γ μ μ ∂ μ μ ′ – m ) ψ ′ ( x ′ , t ′ ) = 0 . {\displaystyle (i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }^{\prime }-m)\psi ^{\prime }(x^{\prime },t^{\prime })=0~.}

När vi väl har bestämt oss för en enhetsrepresentation av gammorna är den slutgiltig förutsatt att vi transformerar spinorn enligt den enhetliga transformation som motsvarar den givna Lorentztransformationen.

De olika representationer av Diracmatriserna som används kommer att sätta fokus på särskilda aspekter av det fysikaliska innehållet i Diracs vågfunktion (se nedan). Den representation som visas här är känd som standardrepresentationen – i den går vågfunktionens övre två komponenter över i Paulis 2-spinorvågfunktion i gränsen för låga energier och små hastigheter i jämförelse med ljuset.

Ovanstående överväganden avslöjar gammas ursprung i geometrin, som återknyter till Grassmanns ursprungliga motivering – de representerar en fast bas av enhetsvektorer i rumtiden. På samma sätt representerar produkter av gammorna såsom γμγν orienterade ytelement, och så vidare. Med detta i åtanke kan vi hitta formen för enhetsvolymelementet i rumtiden i termer av gammorna på följande sätt. Per definition är det

V = 1 4 ! ϵ μ ν α β γ μ μ γ γ ν γ α α γ β . {\displaystyle V={\frac {1}{4!}}\epsilon _{\mu \nu \alpha \beta }\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{alpha }\gamma ^{\beta }.}

För att detta ska vara en invariant måste epsilonsymbolen vara en tensor och därmed innehålla en faktor av √g, där g är den metriska tensorns determinant. Eftersom denna är negativ är den faktorn imaginär. Således

V = i γ 0 γ 1 γ 2 γ 3 . {\displaystyle V=i\gamma ^{0}\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}~.}

Denna matris ges den speciella symbolen γ5, på grund av dess betydelse när man överväger olämpliga transformationer av rymd- och tid, det vill säga sådana som ändrar orienteringen av basvektorerna. I standardrepresentationen är den

γ 5 = ( 0 I 2 I 2 I 2 0 ) . {\displaystyle \gamma _{5}={\begin{pmatrix}0&I_{2}\\I_{2}&0\end{pmatrix}}~.}

Denna matris kommer också att visa sig vara antikommuterad med de fyra andra Dirac-matriserna:

γ 5 γ μ + γ μ γ γ 5 = 0 {\displaystyle \gamma ^{5}\gamma ^{\mu }+\gamma ^{\mu }\gamma ^{5}=0}}

Det tar en ledande roll när frågor om paritet uppstår eftersom volymelementet som en riktad storhet byter tecken under en rum-tidsreflektion. Att ta den positiva kvadratroten ovan är alltså detsamma som att välja en konvention för handledighet i rumtiden.

Bevarandet av sannolikhetsströmmenRedigera

Då man definierar den adjungerade spinorn

ψ ¯ = ψ † γ 0 {\displaystyle {\bar {\psi }}=\psi ^{\dagger }\gamma ^{0}}}

där ψ† är den konjugerade transponeringen av ψ, och med tanke på att

( γ μ ) † γ 0 = γ 0 γ μ , {\displaystyle (\gamma ^{\mu })^{\dagger }\gamma ^{0}=\gamma ^{0}\gamma ^{\mu }~,}

får vi den adjungerade ekvationen genom att ta den hermitiska konjugaten av Dirac-ekvationen och multiplicera från höger med γ0:

ψ ¯ ( i γ μ ∂ μ + m ) = 0 , {\displaystyle {\bar {\psi }}(i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }+m)=0~,}

där ∂μ förstås att verka åt vänster. Genom att multiplicera Dirac-ekvationen med ψ från vänster, och den adjungerade ekvationen med ψ från höger, och addera, får man fram Dirac-strömmens bevarandelag:

∂ μ ( ψ ¯ γ μ μ ψ ) = 0 . {\displaystyle \partial _{\mu }\left({\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi \right)=0~.}

Nu ser vi den stora fördelen med första ordningens ekvation jämfört med den som Schrödinger hade försökt – detta är den bevarade strömtätheten som krävs av den relativistiska invariansen, bara att nu är dess 4:e komponent positivt bestämd och därmed lämplig för rollen som sannolikhetstäthet:

J 0 = ψ ¯ γ 0 ψ = ψ † ψ . {\displaystyle J^{0}={\bar {\psi }}\gamma ^{0}\psi =\psi ^{\dagger }\psi ~.}

Om sannolikhetstätheten nu uppträder som den fjärde komponenten av en relativistisk vektor och inte som en enkel skalär som i Schrödingers ekvation kommer den att utsättas för de vanliga effekterna av Lorentz-transformationerna, t.ex. tidsutvidgning. Till exempel kommer atomära processer som observeras som hastigheter nödvändigtvis att justeras på ett sätt som är förenligt med relativitetsteorin, medan de som inbegriper mätning av energi och rörelsemängd, som i sig själva bildar en relativistisk vektor, kommer att genomgå en parallell justering som bevarar den relativistiska kovariansen hos de observerade värdena. Själva Diracströmmen är då den rymdtidskovarianta fyrvektorn:

J μ = ψ ¯ γ μ ψ . {\displaystyle J^{\mu }={\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi .}

SolutionsEdit

See Dirac spinor for details of solutions to the Dirac equation. Observera att eftersom Diracoperatorn verkar på 4-tupler av kvadratiskt integrerbara funktioner bör dess lösningar vara medlemmar av samma Hilbertrum. Att lösningarnas energier inte har någon nedre gräns är oväntat – se avsnittet om hålteori nedan för mer detaljer.

Jämförelse med Pauli-teorinRedigera

Nödvändigheten av att införa spin med halva heltal går experimentellt tillbaka till resultaten av Stern-Gerlach-experimentet. En atomstråle körs genom ett starkt inhomogent magnetfält, som sedan delas upp i N delar beroende på atomernas inneboende vridmoment. Man fann att för silveratomer delades strålen i två delar – grundtillståndet kunde därför inte vara heltal, för även om atomernas inneboende vridmoment var så litet som möjligt, 1, skulle strålen delas i tre delar, motsvarande atomer med Lz = -1, 0, +1. Slutsatsen är att silveratomer har ett netto inneboende vridmoment på 1⁄2. Pauli upprättade en teori som förklarade denna uppdelning genom att införa en vågfunktion med två komponenter och en motsvarande korrigeringsterm i Hamiltonianen, som representerar en halvklassisk koppling av denna vågfunktion till ett anbringat magnetfält, som så i SI-enheter: (Observera att fet stil innebär euklidiska vektorer i tre dimensioner, medan Minkowskis fyravektor Aμ kan definieras som A μ = ( ϕ / c , – A ) {\displaystyle A_{\mu }=(\phi /c,-\mathbf {A} )}

.) H = 1 2 m ( σ ⋅ ( p – e A ) ) 2 + e ϕ . {\displaystyle H={\frac {1}{2m}}\left({\boldsymbol {\sigma }}\cdot \left(\mathbf {p} -e\mathbf {A} \right)\right)^{2}+e\phi ~.}

Här A och ϕ {\displaystyle \phi }

komponenterna i den elektromagnetiska fyrpotentialen i deras standard-SI-enheter, och de tre tecken är Pauli-matriserna. Vid kvadrering av den första termen finner man en kvarvarande växelverkan med magnetfältet, tillsammans med den vanliga klassiska hamiltonianen för en laddad partikel som växelverkar med ett pålagt fält i SI-enheter: H = 1 2 m ( p – e A ) 2 + e ϕ – e ℏ 2 m σ ⋅ B . {\displaystyle H={\frac {1}{2m}}\left(\mathbf {p} -e\mathbf {A} \right)^{2}+e\phi -{\frac {e\hbar }{2m}}{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {B} ~.}

Denna Hamiltonian är nu en 2 × 2-matris, så Schrödingerekvationen som baseras på den måste använda en tvåkomponentsvågfunktion. Vid införande av den externa elektromagnetiska 4-vektorpotentialen i Diracekvationen på ett liknande sätt, så kallad minimal koppling, får den formen:

( γ μ ( i ℏ ∂ μ – e A μ ) – m c ) ψ = 0 . {\displaystyle (\gamma ^{\mu }(i\hbar \partial _{\mu }-eA_{\mu })-mc)\psi =0~.}

En andra tillämpning av Dirac-operatorn kommer nu att återge Pauli-termen exakt som tidigare, eftersom de spatiala Dirac-matriserna multiplicerade med i har samma kvadrerings- och kommuteringsegenskaper som Pauli-matriserna. Dessutom förklaras värdet av elektronens gyromagnetiska förhållande, som står framför Paulis nya term, utifrån första principer. Detta var ett stort framsteg för Dirac-ekvationen och gav fysikerna stor tilltro till dess övergripande korrekthet. Det finns dock mer. Pauli-teorin kan ses som Dirac-teorins lågenergigräns på följande sätt. Först skrivs ekvationen i form av kopplade ekvationer för 2-spinorer med SI-enheterna återställda:

( ( ( m c 2 – E + e ϕ ) c σ ⋅ ( p – e A ) – c σ ⋅ ( p – e A ) ( m c 2 + E – e ϕ ) ) ( ψ + ψ – ) = ( 0 0 0 ) . {\displaystyle {\begin{pmatrix}(mc^{2}-E+e\phi )&c{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \left(\mathbf {p} -e\mathbf {A} \right)\\-c{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \left(\mathbf {p} -e\mathbf {A} \righte\mathbf {A} \right)&\left(mc^{2}+E-e\phi \right)\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\psi _{+}\\\psi _{-}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}~.}

so

( E – e ϕ ) ψ + – c σ ⋅ ( p – e A ) ψ – = m c 2 ψ + {\displaystyle (E-e\phi )\psi _{+}-c{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \left(\mathbf {p} -e\mathbf {A} \right)\psi _{-}=mc^{2}\psi _{+}}

– ( E – e ϕ ) ψ – + c σ ⋅ ( p – e A ) ψ + = m c 2 ψ – {\displaystyle -(E-e\phi )\psi _{-}+c{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \left(\mathbf {p} -e\mathbf {A} \right)\psi _{+}=mc^{2}\psi _{-}}

Att anta att fältet är svagt och att elektronens rörelse är icke-relativistisk, har vi elektronens totala energi ungefär lika med dess viloenergi, och rörelsen går över till det klassiska värdet,

E – e ϕ ≈ m c 2 {\displaystyle E-e\phi \approx mc^{2}}

p ≈ m v {\displaystyle \mathbf {p} \approx m\mathbf {v} }

och därför kan den andra ekvationen skrivas

ψ – ≈ 1 2 m c σ ⋅ ( p – e A ) ψ + {\displaystyle \psi _{-}\approx {\frac {1}{2mc}}{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \left(\mathbf {p} -e\mathbf {A} \right)\psi _{+}}

som är av storleksordningen v/c – alltså vid typiska energier och hastigheter, är de nedre komponenterna av Dirac-spinoren i standardrepresentationen mycket undertryckta i jämförelse med de övre komponenterna. Genom att substituera detta uttryck i den första ekvationen får man efter en viss omställning

( E – m c 2 ) ψ + = 1 2 m 2 ψ + + e ϕ ψ + {\displaystyle (E-mc^{2})\psi _{+}={\frac {1}{2m}}\left^{2}\psi _{+}+e\phi \psi _{+}}

Operatorn till vänster representerar partikelns energi reducerad med dess viloenergi, vilket bara är den klassiska energin, så vi återfår Paulis teori om vi identifierar hans 2-spinor med de övre komponenterna av Dirac-spinorn i den icke-relativistiska approximationen. En ytterligare approximation ger Schrödingerekvationen som gräns för Pauli-teorin. Schrödingerekvationen kan således ses som den långtgående icke-relativistiska approximationen av Diracekvationen när man kan försumma spinnet och arbeta endast vid låga energier och hastigheter. Detta var också en stor triumf för den nya ekvationen, eftersom den spårade det mystiska i som förekommer i den, och nödvändigheten av en komplex vågfunktion, tillbaka till rymdtidens geometri genom Dirac-algebran. Den belyser också varför Schrödingerekvationen, även om den ytligt sett har formen av en diffusionsekvation, faktiskt representerar vågornas utbredning.

Det bör starkt understrykas att denna uppdelning av Dirac-spinoren i stora och små komponenter uttryckligen beror på en approximation med låg energi. Hela Dirac-spinorn representerar en irreducerbar helhet, och de komponenter som vi just har försummat för att komma fram till Pauli-teorin kommer att medföra nya fenomen i den relativistiska regimen – antimateria och idén om skapande och förintelse av partiklar.

Jämförelse med Weyl-teorinRedigera

I gränsen m → 0 reduceras Dirac-ekvationen till Weyl-ekvationen, som beskriver relativistiska masselösa spin-1⁄2-partiklar.

Dirac LagrangianEdit

Både Dirac ekvationen och Adjoint Dirac ekvationen kan erhållas genom att (variera) handlingen med en specifik Lagrangian densitet som ges av:

L = i ℏ c ψ ¯ γ μ ∂ μ ψ – m c 2 ψ ¯ ψ {\displaystyle {\mathcal {L}}}=i\hbar c{\overline {\psi }}\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi -mc^{2}{\overline {\psi }}\psi }