Visa mobilmeddelande Visa alla anteckningar Visa alla anteckningar Dölj alla anteckningar

Kapitel 4 : Multipla integraler

I Kalkyl I övergick vi till ämnet integraler efter att vi hade avslutat diskussionen om derivata. Samma sak gäller i den här kursen. Nu när vi har avslutat diskussionen om derivat av funktioner med mer än en variabel måste vi gå vidare till integraler av funktioner med två eller tre variabler.

De flesta av derivatämnena utvidgades på ett ganska naturligt sätt från sina motsvarigheter i Kalkyl I och det kommer att vara likadant här. Men eftersom vi nu involverar funktioner med två eller tre variabler kommer det också att finnas vissa skillnader. Det kommer att finnas ny notation och några nya frågor som helt enkelt inte uppstår när man behandlar funktioner med en enda variabel.

Här är en lista över de ämnen som behandlas i detta kapitel.

Dubbelintegraler – I detta avsnitt kommer vi att formellt definiera dubbelintegralen samt ge en snabb tolkning av dubbelintegralen.

Itererade integraler – I det här avsnittet kommer vi att visa hur Fubinis sats kan användas för att utvärdera dubbla integraler där integrationsområdet är en rektangel.

Dubbelintegraler över generella regioner – I det här avsnittet kommer vi att börja utvärdera dubbla integraler över generella regioner, det vill säga regioner som inte är rektanglar. Vi kommer att illustrera hur ett dubbelt integral av en funktion kan tolkas som nettovolymen av det fasta rummet mellan ytan som ges av funktionen och \(xy\)-planet.

Dubbelintegraler i polära koordinater – I det här avsnittet kommer vi att titta på hur man omvandlar integraler (inklusive \(dA\)) i kartesiska koordinater till polära koordinater. Integrationsområdena i dessa fall kommer att vara alla eller delar av skivor eller ringar och vi kommer därför också att behöva konvertera de ursprungliga kartesiska gränserna för dessa områden till polarkoordinater.

Trippelintegraler – I det här avsnittet kommer vi att definiera trippelintegralen. Vi kommer också att illustrera en hel del exempel på hur man ställer in integrationsgränserna från den tredimensionella integrationsregionen. Att få fram integrationsgränserna är ofta den svåra delen av dessa problem.

Trippelintegraler i cylindriska koordinater – I det här avsnittet kommer vi att titta på hur man omvandlar integraler (inklusive \(dV\)) i kartesiska koordinater till cylindriska koordinater. Vi kommer också att omvandla de ursprungliga kartesiska gränserna för dessa områden till cylindriska koordinater.

Trippelintegraler i sfäriska koordinater – I det här avsnittet kommer vi att titta på hur man omvandlar integraler (inklusive \(dV\)) i kartesiska koordinater till sfäriska koordinater. Vi kommer också att konvertera de ursprungliga kartesiska gränserna för dessa regioner till sfäriska koordinater.

Förändring av variabler – I tidigare avsnitt har vi konverterat kartesiska koordinater i polära, cylindriska och sfäriska koordinater. I det här avsnittet kommer vi att generalisera denna idé och diskutera hur vi omvandlar integraler i kartesiska koordinater till alternativa koordinatsystem. Inkluderat kommer en härledning av omvandlingsformeln \(dV\) när man konverterar till sfäriska koordinater.

Områdesarea – I det här avsnittet kommer vi att visa hur ett dubbelt integral kan användas för att bestämma ytarean av den del av en yta som ligger över ett område i det tvådimensionella rummet.

Områdes- och volymmätning – I det här avsnittet sammanfattar vi de olika areal- och volymformlerna från det här kapitlet.