MCDM eller MCDA är välkända akronymer för beslutsfattande med flera kriterier och beslutsanalys med flera kriterier; Stanley Zionts bidrog till att popularisera akronymen med sin artikel ”MCDM – If not a Roman Numeral, then What?” från 1979, som var avsedd för en företagarpublik.

MCDM handlar om att strukturera och lösa besluts- och planeringsproblem med flera kriterier. Syftet är att stödja beslutsfattare som står inför sådana problem. Typiskt sett finns det inte någon unik optimal lösning för sådana problem och det är nödvändigt att använda beslutsfattarnas preferenser för att skilja mellan olika lösningar.

”Lösa” kan tolkas på olika sätt. Det kan motsvara att välja det ”bästa” alternativet från en uppsättning tillgängliga alternativ (där ”bästa” kan tolkas som ”det alternativ som beslutsfattaren föredrar mest”). En annan tolkning av ”lösa” kan vara att välja en liten uppsättning bra alternativ eller att gruppera alternativen i olika preferensuppsättningar. En extrem tolkning skulle kunna vara att hitta alla ”effektiva” eller ”icke-dominerade” alternativ (som vi kommer att definiera inom kort).

Problemets svårighet har sitt ursprung i förekomsten av mer än ett kriterium. Det finns inte längre någon unik optimal lösning på ett MCDM-problem som kan erhållas utan att man tar hänsyn till preferensinformation. Begreppet optimal lösning ersätts ofta med en uppsättning icke-dominerade lösningar. En lösning kallas icke-dominerad om det inte är möjligt att förbättra den i något kriterium utan att göra avkall på den i ett annat kriterium. Därför är det rimligt för beslutsfattaren att välja en lösning från den icke-dominerade uppsättningen. I annat fall skulle han/hon kunna göra det bättre i fråga om vissa eller alla kriterier, men inte sämre i fråga om något av dem. I allmänhet är dock mängden icke-dominerade lösningar för stor för att presenteras för beslutsfattaren för det slutliga valet. Därför behöver vi verktyg som hjälper beslutsfattaren att fokusera på de bästa lösningarna (eller alternativen). Normalt måste man ”kompromissa” mellan vissa kriterier och andra.

MCDM har varit ett aktivt forskningsområde sedan 1970-talet. Det finns flera MCDM-relaterade organisationer, bland annat International Society on Multi-criteria Decision Making, Euro Working Group on MCDA och INFORMS Section on MCDM. För en historik se: Köksalan, Wallenius och Zionts (2011).MCDM bygger på kunskap från många områden, bland annat:

• Matematik
• Beslutsanalys
• Ekonomi
• Datorteknik
• Mjukvaruteknik
• Informationssystem

En typologiRedigera

Det finns olika klassificeringar av MCDM-problem och metoder. En viktig distinktion mellan MCDM-problem bygger på om lösningarna är explicit eller implicit definierade.

• Utvärderingsproblem med flera kriterier: Dessa problem består av ett begränsat antal alternativ som är uttryckligen kända i början av lösningsprocessen. Varje alternativ representeras av dess prestanda i flera kriterier. Problemet kan definieras som att hitta det bästa alternativet för en beslutsfattare (DM) eller att hitta en uppsättning bra alternativ. Man kan också vara intresserad av att ”sortera” eller ”klassificera” alternativ. Med sortering avses att placera alternativen i en uppsättning preferensordnade klasser (t.ex. att tilldela länder kreditbetyg) och med klassificering avses att placera alternativen i icke ordnade uppsättningar (t.ex. att diagnostisera patienter utifrån deras symtom). Några av MCDM-metoderna i denna kategori har studerats på ett jämförande sätt i Triantaphyllous bok om detta ämne, 2000.
• Designproblem med flera kriterier (matematiska programmeringsproblem med flera mål): I dessa problem är alternativen inte uttryckligen kända. Ett alternativ (lösning) kan hittas genom att lösa en matematisk modell. Antalet alternativ är antingen oändligt (räknbart eller inte) eller ändligt, men typiskt sett exponentiellt stort (i antalet variabler som sträcker sig över ändliga områden)

Oavsett om det är ett utvärderingsproblem eller ett utformningsproblem krävs information om DM:s preferenser för att kunna skilja mellan olika lösningar. Lösningsmetoderna för MCDM-problem klassificeras vanligen utifrån tidpunkten för den information om preferenser som erhålls från DM.

Det finns metoder som kräver DM:s information om preferenser i början av processen, vilket omvandlar problemet till i huvudsak ett problem med ett enda kriterium. Dessa metoder sägs fungera genom ”förhandsartikulering av preferenser”. Metoder som bygger på uppskattning av en värdefunktion eller på begreppet ”outranking relations”, analytical hierarchy process och vissa beslutsregelbaserade metoder försöker lösa utvärderingsproblem med flera kriterier med hjälp av förhandsartikulering av preferenser. På samma sätt finns det metoder som utvecklats för att lösa problem med utformning av flera kriterier med hjälp av en tidigare artikulering av preferenser genom att konstruera en värdefunktion. Den kanske mest kända av dessa metoder är målprogrammering. När värdefunktionen har konstruerats löses det resulterande matematiska programmet med ett enda mål för att få fram en föredragen lösning.

Vissa metoder kräver information om preferenser från DM under hela lösningsprocessen. Dessa kallas interaktiva metoder eller metoder som kräver ”progressiv artikulering av preferenser”. Dessa metoder har utvecklats väl för både utvärdering av flera kriterier (se till exempel Geoffrion, Dyer och Feinberg, 1972, och Köksalan och Sagala, 1995 ) och designproblem (se Steuer, 1986).

Designproblem med flera kriterier kräver vanligtvis att man löser en serie matematiska programmeringsmodeller för att avslöja implicit definierade lösningar. För dessa problem kan en representation eller approximation av ”effektiva lösningar” också vara av intresse. Denna kategori kallas ”posterior articulation of preferences”, vilket innebär att DM:s inblandning börjar efter det att ”intressanta” lösningar uttryckligen avslöjats (se t.ex. Karasakal och Köksalan, 2009).

När de matematiska programmeringsmodellerna innehåller heltalsvariabler blir konstruktionsproblemen svårare att lösa. Multiobjektiv kombinatorisk optimering (MOCO) utgör en särskild kategori av sådana problem som innebär betydande beräkningssvårigheter (se Ehrgott och Gandibleux, 2002, för en översikt).

Representationer och definitionerRedigera

MCDM-problemet kan representeras i kriterieutrymmet eller beslutsutrymmet. Alternativt, om olika kriterier kombineras med en viktad linjär funktion, är det också möjligt att representera problemet i viktrummet. Nedan följer demonstrationer av kriterie- och viktrummen samt några formella definitioner.

Representation av kriterierummetRedigera

Låt oss anta att vi utvärderar lösningar i en specifik problemsituation med hjälp av flera kriterier. Låt oss vidare anta att mer är bättre för varje kriterium. Då är vi bland alla möjliga lösningar idealiskt intresserade av de lösningar som presterar bra i alla kriterier som beaktas. Det är dock osannolikt att det finns en enda lösning som är bra för alla kriterier. Typiskt sett är det så att vissa lösningar presterar bra i vissa kriterier och andra i andra. Att hitta ett sätt att göra avvägningar mellan kriterierna är en av de viktigaste strävandena i MCDM-litteraturen.

Matematiskt kan MCDM-problemet som motsvarar ovanstående argument representeras som

”max” q med förbehåll för q ∈ Q

där q är vektorn med k kriteriefunktioner (målfunktioner) och Q är den genomförbara mängden, Q ⊆ Rk.

Om Q definieras explicit (genom en uppsättning alternativ) kallas det resulterande problemet för ett utvärderingsproblem med flera kriterier.

Om Q definieras implicit (genom en uppsättning begränsningar) kallas det resulterande problemet för ett designproblem med flera kriterier.

Angivenhetstecken används för att indikera att maximering av en vektor inte är en väldefinierad matematisk operation. Detta motsvarar argumentet att vi måste hitta ett sätt att lösa avvägningen mellan kriterierna (vanligtvis baserat på en beslutsfattares preferenser) när det inte finns en lösning som presterar bra i alla kriterier.

Representation av beslutsutrymmetRedigera

Beslutsutrymmet motsvarar den uppsättning möjliga beslut som är tillgängliga för oss. Kriterievärdena kommer att vara konsekvenser av de beslut vi fattar. Därför kan vi definiera ett motsvarande problem i beslutsutrymmet. När vi till exempel utformar en produkt beslutar vi om utformningsparametrar (beslutsvariabler) som var och en påverkar de prestandamått (kriterier) med vilka vi utvärderar vår produkt.

Matematiskt sett kan ett utformningsproblem med flera kriterier representeras i beslutsrymden på följande sätt:

max q = f ( x ) = f ( x 1 , … , x n ) under förutsättning att q ∈ Q = { f ( x ) : x ∈ X , X ⊆ R n } {\displaystyle {\begin{aligned}\max q&=f(x)=f(x_{1},\ldots ,x_{n})\\{\text{subjekt}}\\\q\in Q&=\{f(x):x\in X,\,X\subseteq \mathbb {R} ^{n}\}\end{aligned}}}}

där X är den genomförbara mängden och x är en beslutsvariabelvektor av storlek n.

Ett välutvecklat specialfall erhålls när X är en polyeder som definieras av linjära olikheter och likheter. Om alla målfunktioner är linjära i termer av beslutsvariablerna leder denna variant till linjär programmering med flera mål (MOLP), en viktig underklass av MCDM-problem.

Det finns flera definitioner som är centrala inom MCDM. Två närbesläktade definitioner är definitionerna av nondominans (definierad utifrån kriterieutrymmets representation) och effektivitet (definierad utifrån beslutsvariabelns representation).

Definition 1. q* ∈ Q är nondominerad om det inte finns något annat q ∈ Q så att q ≥ q* och q ≠ q*.

Grovt uttryckt är en lösning nondominerad så länge den inte är sämre än någon annan tillgänglig lösning i alla de övervägda kriterierna.

Definition 2. x* ∈ X är effektiv om det inte finns något annat x ∈ X så att f(x) ≥ f(x*) och f(x) ≠ f(x*).

Om ett MCDM-problem representerar en beslutssituation på ett bra sätt måste den mest föredragna lösningen för en DM vara en effektiv lösning i beslutsutrymmet, och dess avbild är en icke-dominerad punkt i kriterieutrymmet. Följande definitioner är också viktiga.

Definition 3. q* ∈ Q är svagt nondominerad om det inte finns något annat q ∈ Q så att q > q*.

Definition 4. x* ∈ X är svagt effektiv om det inte finns ett annat x ∈ X så att f(x) > f(x*).

Svagt nondominerade punkter inkluderar alla nondominerade punkter och vissa speciella dominerade punkter. Betydelsen av dessa speciella dominerade punkter kommer från det faktum att de ofta förekommer i praktiken och särskild omsorg är nödvändig för att skilja dem från icke-dominerade punkter. Om vi till exempel maximerar ett enda mål kan vi få en svagt icke-dominerad punkt som är dominerad. De dominerade punkterna i den svagt icke-dominerade mängden ligger antingen på vertikala eller horisontella plan (hyperplan) i kriterierummet.

Idealpunkt: (i kriterierummet) representerar det bästa (maximum för maximeringsproblem och minimum för minimeringsproblem) för varje målfunktion och motsvarar vanligtvis en ogenomförbar lösning.

Nadirpunkt: (i kriterierummet) representerar den sämsta (minimum för maximeringsproblem och maximum för minimeringsproblem) för varje målfunktion bland punkterna i den icke-dominerade uppsättningen och är typiskt sett en dominerad punkt.

Den ideala punkten och nadir-punkten är användbara för DM för att få en ”känsla” av lösningsintervallet (även om det inte är okomplicerat att hitta nadir-punkten för konstruktionsproblem som har mer än två kriterier).

Illustrationer av besluts- och kriterierummenRedigera

Det följande MOLP-problemet med två variabler i beslutsvariablerummet kommer att hjälpa till att demonstrera några av de viktigaste begreppen grafiskt.

max f 1 ( x ) = – x 1 + 2 x 2 max f 2 ( x ) = 2 x 1 – x 2 med x 1 ≤ 4 x 2 ≤ 4 x 1 + x 2 ≤ 7 – x 1 + x 2 ≤ 3 x 1 – x 2 ≤ 3 x 1 – x 2 ≤ 3 x 1 , x 2 ≥ 0 {\displaystyle {\begin{aligned}\max f_{1}(\mathbf {x} )&=-x_{1}+2x_{2}\\\max f_{2}(\mathbf {x} )&=2x_{1}-x_{2}\\\\text{subjekt till}}\\\x_{1}&\leq 4\\x_{2}&\leq 4\\\x_{1}+x_{2}&\leq 7\\-x_{1}+x_{2}&\leq 3\\\x_{1}-x_{2}&\leq 3\\x_{1},x_{2}&\geq 0\end{aligned}}}

I figur 1 maximerar de extrema punkterna ”e” och ”b” det första respektive det andra målet. Den röda gränsen mellan dessa två extrema punkter representerar den effektiva uppsättningen. Det framgår av figuren att det för varje genomförbar lösning utanför den effektiva uppsättningen är möjligt att förbättra båda målen genom några punkter på den effektiva uppsättningen. Omvänt är det för varje punkt i den effektiva uppsättningen inte möjligt att förbättra båda målen genom att flytta till någon annan genomförbar lösning. Vid dessa lösningar måste man göra avkall på ett av målen för att förbättra det andra målet.

På grund av sin enkelhet kan ovanstående problem representeras i kriterierummet genom att ersätta x med f enligt följande:

Max f1 Max f2 under förutsättning att f1 + 2f2 ≤ 12 2f1 + f2 ≤ 12 f1 + f2 ≤ 7 f1 – f2 ≤ 9 -f1 + f2 ≤ 9 f1 + 2f2 ≥ 0 2f1 + f2 ≥ 0

Vi presenterar kriterierummet grafiskt i figur 2. Det är lättare att upptäcka de icke-dominerade punkterna (som motsvarar effektiva lösningar i beslutsutrymmet) i kriterieutrymmet. Det nordöstra området i det genomförbara utrymmet utgör mängden nondominerade punkter (för maximeringsproblem).

Generering av nondominerade lösningarRedigera

Det finns flera sätt att generera nondominerade lösningar. Vi kommer att diskutera två av dessa. Det första tillvägagångssättet kan generera en speciell klass av icke-dominerade lösningar medan det andra tillvägagångssättet kan generera vilken icke-dominerad lösning som helst.

• Viktade summor (Gass & Saaty, 1955)

Om vi kombinerar flera kriterier till ett enda kriterium genom att multiplicera varje kriterium med en positiv vikt och summera de viktade kriterierna är lösningen på det resulterande problemet med ett enda kriterium en speciell effektiv lösning. Dessa särskilda effektiva lösningar uppträder i hörnpunkter av mängden tillgängliga lösningar. Effektiva lösningar som inte finns i hörnpunkter har speciella egenskaper och denna metod kan inte hitta sådana punkter. Matematiskt kan vi representera denna situation som

max wT.q = wT.f(x), w> 0 med förbehåll för x ∈ X

Genom att variera vikterna kan viktade summor användas för att generera effektiva extrempunktslösningar för utformningsproblem och understödda (konvexa icke-dominerade) punkter för utvärderingsproblem.

• Prestation skalariserande funktion (Wierzbicki, 1980)

Skalariserande funktioner för prestation kombinerar också flera kriterier till ett enda kriterium genom att vikta dem på ett mycket speciellt sätt. De skapar rektangulära konturer som går bort från en referenspunkt mot de tillgängliga effektiva lösningarna. Denna speciella struktur gör det möjligt för skalariseringsfunktioner för prestationer att nå alla effektiva lösningar. Detta är en kraftfull egenskap som gör dessa funktioner mycket användbara för MCDM-problem.

Matematiskt kan vi representera motsvarande problem som

Min s(g, q, w, ρ) = Min {maxi + ρ ∑i (gi – qi)}, med förbehåll för q ∈ Q

Den skalariserande funktionen för prestationer kan användas för att projicera en vilken punkt som helst (genomförbar eller ogenomförbar) på den effektiva gränsen. Vilken punkt som helst (med stöd eller inte) kan nås. Den andra termen i målfunktionen krävs för att undvika att generera ineffektiva lösningar. Figur 3 visar hur en genomförbar punkt, g1, och en ogenomförbar punkt, g2, projiceras på de icke-dominerade punkterna, q1 respektive q2, längs riktningen w med hjälp av en skalariserande funktion för prestation. De streckade och heldragna konturerna motsvarar målfunktionens konturer med respektive utan målfunktionens andra term.

Lösning av MCDM-problemRedigera

Differenta tankesätt har utvecklats för att lösa MCDM-problem (både av design- och utvärderingstyp). För en bibliometrisk studie som visar deras utveckling över tiden, se Bragge, Korhonen, H. Wallenius och J. Wallenius .

Multiple objective mathematical programming school

(1) Vector maximization: Syftet med vektormaximering är att närma sig den icke-dominerade mängden; ursprungligen utvecklad för linjära programmeringsproblem med flera mål (Evans och Steuer, 1973; Yu och Zeleny, 1975).

(2) Interaktiv programmering: Beräkningsfaser alternerar med beslutsfaser (Benayoun et al., 1971; Geoffrion, Dyer och Feinberg, 1972; Zionts och Wallenius, 1976; Korhonen och Wallenius, 1988). Ingen explicit kunskap om DM:s värdefunktion förutsätts.

Målprogrammeringsskola

Syftet är att fastställa apriori-målvärden för mål och att minimera viktade avvikelser från dessa mål. Både vikter för betydelse och lexikografiska förarbetsvikter har använts (Charnes och Cooper, 1961).

Fuzzy-set-teoretiker

Fuzzy-set introducerades av Zadeh (1965) som en utvidgning av det klassiska begreppet set. Denna idé används i många MCDM-algoritmer för att modellera och lösa fuzzyproblem.

Teorister om nyttoeffekter med flera attribut

Nyttoeffekter eller värdefunktioner med flera attribut tas fram och används för att identifiera det mest föredragna alternativet eller för att rangordna alternativen. Man använder sig av utarbetade intervjutekniker, som finns för att få fram linjära additiva nyttofunktioner och multiplikativa icke-linjära nyttofunktioner (Keeney och Raiffa, 1976).

Franska skolan

Den franska skolan är inriktad på beslutsstöd, särskilt ELECTRE-familjen av metoder för rangordning som har sitt ursprung i Frankrike under mitten av 1960-talet. Metoden föreslogs först av Bernard Roy (Roy, 1968).

Evolutionär multiobjektiv optimeringsskola (EMO)

EMO-algoritmer börjar med en initial population och uppdaterar den med hjälp av processer som är utformade för att efterlikna naturliga överlevnadsprinciper och genetiska variationsoperatörer för att förbättra den genomsnittliga populationen från en generation till nästa. Målet är att konvergera till en population av lösningar som representerar den icke-dominerade mängden (Schaffer, 1984; Srinivas och Deb, 1994). På senare tid har man försökt införliva preferensinformation i EMO-algoritmernas lösningsprocess (se Deb och Köksalan, 2010).

Grå systemteoribaserade metoder

På 1980-talet föreslog Deng Julong Grey System Theory (GST) och dess första modell för beslutsfattande med flera attribut, kallad Dengs Grey relational analysis (GRA) modell. Senare föreslog forskare inom grå system många GST-baserade metoder som Liu Sifengs absoluta GRA-modell, Grey Target Decision Making (GTDM) och Grey Absolute Decision Analysis (GADA).

Analytisk hierarkiprocess (AHP)

HAP dekomponerar först beslutsproblemet i en hierarki av delproblem. Därefter utvärderar beslutsfattaren den relativa betydelsen av dess olika delar genom parvisa jämförelser. AHP omvandlar dessa utvärderingar till numeriska värden (vikter eller prioriteringar) som används för att beräkna en poäng för varje alternativ (Saaty, 1980). Ett konsistensindex mäter i vilken utsträckning beslutsfattaren har varit konsekvent i sina svar. AHP är en av de mer kontroversiella teknikerna som anges här, och vissa forskare inom MCDA-världen anser att den är bristfällig. Den underliggande matematiken är också mer komplicerad, även om den har vunnit viss popularitet som ett resultat av kommersiellt tillgänglig programvara.

I flera artiklar granskades tillämpningen av MCDM-tekniker inom olika discipliner, t.ex. fuzzy MCDM, klassisk MCDM, hållbar och förnybar energi, VIKOR-tekniken, transportsystem, tjänstekvalitet, TOPSIS-metoden, energihushållningsproblem, e-lärande, turism och gästfrihet, SWARA- och WASPAS-metoder.

MCDM-metoderRedigera

Följande MCDM-metoder finns tillgängliga, varav många implementeras av specialiserad programvara för beslutsfattande:

• Aggregated Indices Randomization Method (AIRM)
• Analytic hierarchy process (AHP)
• Analytic network process (ANP)
• Balans Beam process
• Base-kriteriemetod (BCM)
• Bästa värsta metoden (BWM)
• Brown-Gibson-modellen
• Characteristic Objects METhod (COMET)
• Väljning efter fördelar (CBA)
• Conjoint Value Hierarchy (CVA)
• Data envelopment analysis
• Decision EXpert (DEX)
• Disaggregation – Aggregation Approaches (UTA*, UTAII, UTADIS)
• Rough set (Rough set approach)
• Dominans-baserad på dominans (DRSA)
• ELECTRE (Outranking)
• Evaluation Based on Distance from Average Solution (EDAS)
• Evidential reasoning approach (ER)
• Goal programming (målprogrammering) (GP)
• Grå relationsanalys (GRA)
• Inre produkt av vektorer (IPV)
• Mätning av attraktivitet med hjälp av en kategoribaserad utvärderingsteknik (MACBETH)
• Enkel multipel-Attribute Rating Technique (SMART)
• Stratified Multi Criteria Decision Making (SMCDM)
• Multi-Attribute Global Inference of Quality (MAGIQ)
• Multi-Attribute Utility Theory (MAUT)
• Multi-attributvärderingsteori (MAVT)
• Markovian Multi Criteria Decision Making
• New Approach to Appraisal (NATA)
• Nonstructural Fuzzy Decision Support System (NSFDSS)
• Potentiellt Alla parvisa rankningar av alla möjliga alternativ (PAPRIKA)
• PROMETHEE (Outranking)
• Ranking based on optimal points (RBOP)
• Stokastisk multikriterieanalys av godtagbarhet (SMAA)
• Metod för rangordning av överlägsenhet och underlägsenhet (SIR-metoden)
• Teknik för prioriteringsordning efter likhet med den ideala lösningen (TOPSIS)
• Värdeanalys (VA)
• Value engineering (VE)
• VIKOR-metoden
• Weighted product model (WPM)
• Weighted sum model (WSM)
• Modelo Integrado de Valor para Estructuras Sostenibles (MIVES)