Dieser Artikel ist eine modifizierte und aktualisierte Version eines Artikels, den ich 2008 geschrieben und dann für 2012 aktualisiert habe. Wenn es keinen kolossalen Asteroideneinschlag oder eine Trump-Präsidentschaft gibt, werde ich wahrscheinlich auch im Jahr 2020 noch da sein, um ihn zu schreiben. Aber nicht 2200. Selbst wenn mein schwebender Kopf in einem Glas noch da ist, wird das keine Rolle spielen, wie Sie sehen werden, wenn Sie weiter lesen.

Hinweis: Dieser Beitrag enthält Mathematik. Ziemlich viel. Aber es geht eigentlich nur um Arithmetik – Dezimalzahlen und Multiplikation. Wenn du eine Mathephobie hast, dann kannst du bis zum Ende lesen, aber bei den Zahlen musst du mir vertrauen.

Wenn Sie ein Mathefanatiker und Pedant sind, dann werden Sie sich vielleicht darüber ärgern, dass ich die signifikanten Ziffern unten ignoriere. Aber in diesem Fall ist die Mantisse wichtig, da es sich hier um eine Variation der Modulus-Mathematik handelt; der tatsächliche Bruchteil eines Tages, der übrig bleibt, wird addiert, und es spielt keine Rolle, wie viele ganze Tage es gibt, sobald die Schalttagskorrekturen auf den Kalender angewendet werden. Daher habe ich alle Zahlen auf vier Dezimalstellen begrenzt (es sei denn, sie enden auf 0) und die Vorzeichen ignoriert. Ja, das führt zu einigen Rundungsfehlern, aber über die Zeitspanne, über die wir hier sprechen, spielen sie keine große Rolle.

OK, fertig? Lasst uns rechnen!

Als ich ein Kind war, hatte ich einen Freund, dessen Geburtstag am 29. Februar war. Ich habe ihn immer damit aufgezogen, dass er erst 3 Jahre alt war, und er hat sich sichtlich zurückgehalten, mich zu schlagen. Offensichtlich hat er diesen Witz schon oft gehört.

Natürlich war er wirklich 12. Aber da der 29. Februar ein Schalttag ist, kommt er nur einmal alle vier Jahre.

Aber warum ist der Schalttag nur ein vierjähriges Ereignis?

Warum ist irgendetwas irgendetwas? Weil die Astronomie!

OK, vielleicht bin ich voreingenommen, aber in diesem Fall ist es wahr. Wir haben zwei grundlegende Zeiteinheiten: den Tag und das Jahr. Von allen alltäglichen Messungen, die wir verwenden, sind dies die einzigen beiden, die auf konkreten physikalischen Ereignissen beruhen: die Zeit, die die Erde braucht, um sich einmal um ihre Achse zu drehen, und die Zeit, die die Erde braucht, um die Sonne zu umrunden. Jede andere von uns verwendete Zeiteinheit (Sekunde, Stunde, Woche, Monat) ist eher willkürlich. Das ist praktisch, aber sie sind nicht durch unabhängige, nicht willkürliche Ereignisse definiert.*

Es dauert ungefähr 365 Tage, bis die Erde die Sonne einmal umkreist. Wenn es genau 365 Tage wären, dann wäre alles in Ordnung! Unsere Kalender wären jedes Jahr gleich, und wir müssten uns keine Sorgen machen.

Aber so ist es nicht. Die Länge des Tages und des Jahres sind keine exakten Vielfachen; sie teilen sich nicht gleichmäßig auf. Ein Jahr hat etwa 365,25 Tage. Dieser zusätzliche Bruchteil ist entscheidend; er summiert sich. Jedes Jahr weicht unser Kalender um einen viertel Tag ab, d.h. um 6 Stunden, die einfach übrig bleiben.

Nach einem Jahr weicht der Kalender um ¼ eines Tages ab. Nach zwei Jahren ist es ein halber Tag, dann ¾, dann, nach vier Jahren, ist der Kalender um etwa einen ganzen Tag verschoben:

4 Jahre bei 365 (kalendarischen) Tagen/Jahr = 1.460 Tage, aber

4 Jahre bei 365,25 (physikalischen) Tagen/Jahr = 1.461 Tage

Nach vier Jahren ist der Kalender also um einen Tag im Rückstand. Die Erde hat sich in diesen vier Jahren ein Mal mehr gedreht, und das müssen wir wieder ausgleichen. Um den Kalender wieder ins Gleichgewicht zu bringen, fügen wir also alle vier Jahre diesen Tag wieder hinzu. Der Februar ist der kürzeste Monat (wegen einiger Cäsaren-Mätzchen), also halten wir den Tag dort fest, nennen ihn 29. Februar – Schalttag – und alle sind glücklich.

Aber es gibt immer noch ein Problem. Ich habe dich angelogen (na ja, nicht wirklich, aber sei mir hier gefolgt). Das Jahr ist nicht genau 365,25 Tage lang. Wenn es so wäre, würde sich der Kalender alle vier Jahre an die tatsächliche Drehung der Erde anpassen, und alles wäre gut.

Ist es aber nicht, und hier beginnt der Spaß.

Unser offizieller Tag ist 86.400 Sekunden lang. Ich werde nicht näher auf die Länge des Jahres selbst eingehen (Sie können sich beim Lesen einen Knoten ins Hirn machen, wenn Sie wollen), aber das Jahr, das wir jetzt verwenden, wird als tropisches Jahr bezeichnet und ist 365,2422 Tage lang. Das ist nicht genau, aber wir runden auf vier Dezimalstellen, damit unser Gehirn nicht schmilzt.

Offensichtlich ist 365,2422 ein wenig kürzer als 365,25 (um etwa 11 Minuten). Das macht aber kaum etwas aus, oder?

Doch, das tut es. Mit der Zeit summiert sich sogar dieses kleine bisschen. Nach vier Jahren haben wir zum Beispiel nicht mehr 1.461 physische Tage, sondern:

4 Jahre bei 365,2422 (realen) Tagen/Jahr = 1460,9688 Tage

Das heißt, wenn wir alle vier Jahre einen ganzen Tag hinzufügen, addieren wir zu viel! Aber ich sehe keine einfache Möglichkeit, nur 0,9688 Tage zu unserem Kalender hinzuzufügen, also ist es verständlich, einen ganzen Tag hinzuzufügen.

Was bedeutet das für uns? Wenn man alle vier Jahre einen Schalttag hinzufügt, kommt der Kalender der Genauigkeit ein ganzes Stück näher, aber er stimmt immer noch nicht ganz; er ist immer noch um ein Haar aus dem Lot. Diesmal ist er der physischen Drehung der Erde voraus, weil wir einen ganzen Tag hinzugefügt haben, was zu viel ist. Wie viel Vorsprung?

Nun, wir haben einen ganzen Tag anstelle von 0,9688 Tagen hinzugefügt, was einen Unterschied von 0,0312 Tagen ausmacht. Das sind 0,7488 Stunden, was sehr nahe an 45 Minuten liegt.

Das ist keine große Sache, aber Sie können sehen, dass wir irgendwann wieder in Schwierigkeiten geraten werden. Der Kalender gewinnt alle vier Jahre 45 Minuten hinzu. Nach 32 Schaltjahren (das sind 4 x 32 = 128 Jahre Kalenderzeit) werden wir wieder um einen Tag daneben liegen, denn 32 x 0,0312 Tage ist fast ein ganzer Tag! Die Abweichung beträgt nur ein paar Minuten, was ziemlich gut ist.

Wir müssen also unseren Kalender wieder anpassen. Wir könnten einfach einen Schalttag in einem von 128 Jahren auslassen, und der Kalender wäre fast genau. Aber das ist mühsam. Wer kann sich schon ein Intervall von 128 Jahren merken?

Also beschloss man, alle 100 Jahre einen Schalttag auszulassen, was einfacher zu handhaben ist. Wir können also alle hundert Jahre einen Schalttag auslassen, um den Kalender näher an das heranzuführen, was die Erde tut, und alle sind zufrieden.

Aber es gibt immer noch ein Problem. Da wir dies alle 100 Jahre tun, nehmen wir immer noch nicht die richtige Anpassung vor. Wir haben diese 0,0312 Tage 25 Mal hinzugefügt, nicht 32 Mal, und das ist nicht genug.

Um genau zu sein, wird der Kalender nach einem Jahrhundert um:

25 x 0,0312 Tage = 0,7800 Tage

Das ist fast ein ganzer Tag. Natürlich könnte man angesichts dessen, was wir bereits durchgemacht haben, die Vorahnung haben, dass das nicht perfekt klappen wird. Und du hättest Recht. Dazu werden wir noch kommen.

Aber zuerst möchte ich Ihnen noch eine andere Möglichkeit aufzeigen, wie Sie das Ganze betrachten können, nur um die Berechnungen zu überprüfen. Nach 100 Jahren werden wir 25 Schaltjahre und 75 Nicht-Schaltjahre gehabt haben. Das ergibt eine Gesamtsumme von:

(25 Schaltjahre x 366 Tage/Schaltjahr) + (75 Jahre x 365 Tage/Jahr) = 36.525 Kalendertage

Aber in Wirklichkeit hatten wir 100 Jahre mit 365,2422 Tagen, also 36.524,22 Tage. Also liegen wir jetzt um:

36.525 – 36524,22 = 0,78 Tage

, was, abgesehen von Rundungsfehlern, dieselbe Zahl ist, die ich oben ermittelt habe. Woohoo. Das Rechnen funktioniert.

Wo war ich? Ach ja, richtig. Nach 100 Jahren hat der Kalender also mehr als ¾ eines Tages gegenüber der physischen Anzahl der Tage in einem Jahr gewonnen, wenn wir alle vier Jahre einen ganzen Tag hinzuzählen. Das bedeutet, dass wir den Kalender anhalten und die Erddrehung aufholen lassen müssen. Um dies zu erreichen, wird einmal pro Jahrhundert kein Schalttag hinzugefügt.

Um es einfacher zu machen (weil wir das müssen), machen wir das nur in Jahren, die durch 100 teilbar sind. Die Jahre 1700, 1800 und 1900 waren also keine Schaltjahre. Wir haben keinen zusätzlichen Tag hinzugefügt, und der Kalender hat sich der Realität angenähert.

Aber beachten Sie, sagt er böse kichernd, dass ich das Jahr 2000 nicht erwähnt habe. Und warum nicht?

Weil, wie ich vorhin sagte, selbst dieser letzte Schritt nicht ganz ausreicht. Denken Sie daran, dass der Kalender nach 100 Jahren immer noch nicht um eine ganze Zahl daneben liegt. Er ist um 0,7800 Tage voraus. Wenn wir also einen Tag abziehen, weil wir nicht jedes Jahrhundert ein Schaltjahr haben, überkompensieren wir das; wir ziehen zu viel ab. Wir sind jetzt im Rückstand, um:

1 – 0,7800 Tage = 0,2200 Tage

Arg! Alle 100 Jahre hinkt der Kalender also um 0,22 Tage hinterher. Wenn Sie mir hier voraus sind (und wirklich, ich kann kaum mit mir selbst mithalten), könnten Sie sagen: „Hey! Diese Zahl, wenn sie mit 5 multipliziert wird, ist sehr nahe an einem ganzen Tag! Also sollten wir den Schalttag alle 500 Jahre wieder einführen, dann ist der Kalender wieder fast richtig!“

Was soll ich sagen? Du bist offensichtlich sehr klug und ein logischer Denker. Leider sind die Leute, die für die Kalender zuständig sind, nicht du. Sie haben einen anderen Weg eingeschlagen.

Wie? Anstatt alle 500 Jahre einen Schalttag einzufügen, haben sie beschlossen, ihn alle 400 Jahre einzufügen! Und warum? Nun, wenn es einen schwierigeren Weg gibt, etwas zu tun, wird es im Allgemeinen so gemacht.

Nach 400 Jahren haben wir also den Kalender viermal um 0,22 Tage verstellt (einmal alle 100 Jahre für 400 Jahre), und nach vier Jahrhunderten ist der Kalender um

4 x 0,22 Tage = 0,88 Tage im Rückstand

Das ist fast ein ganzer Tag, also lassen wir es dabei. Das bedeutet, dass wir alle 400 Jahre den 29. Februar auf magische Weise wieder in den Kalender einfügen können, und schon ist der Kalender wieder ein Stückchen genauer.

Lassen Sie uns zur Kontrolle die Rechnung auf eine andere Weise machen. Bis zum Februar des letzten Jahres in einem 400-Jahres-Zyklus hatten wir 303 Nicht-Schaltjahre und 96 Schaltjahre (zur Erinnerung: wir zählen das 400. Jahr noch nicht mit).

(96 Schaltjahre x 366 Tage/Schaltjahr) + (303 Jahre x 365 Tage/Jahr) = 145.731 Kalendertage

Wenn wir dann das 400. Jahr nicht zum Schaltjahr machen, addieren wir 365 weitere Tage hinzu, um insgesamt 146.096 Tage zu erhalten.

Aber das hatten wir doch schon:

400 x 365,2422 Tage = 146.096,88 Tage

Ich hatte also recht! Nach 400 Jahren sind wir 0,88 Tage im Rückstand, also brechen wir die „alle 100 Jahre“-Regel und fügen alle 400 Jahre einen ganzen Tag hinzu, und der Kalender ist viel näher am Zeitplan.

Wir sehen, dass der Rest 0,88 Tage beträgt, was mit der vorherigen Berechnung übereinstimmt, und so bin ich zuversichtlich, dass ich das richtig gemacht habe. (Puh!)

Aber ich kann das nicht auf sich beruhen lassen. Ich muss darauf hinweisen, dass der Kalender selbst nach all dem immer noch nicht ganz genau ist, denn jetzt sind wir wieder im Vorteil. Wir haben alle 400 Jahre einen ganzen Tag hinzugefügt, obwohl wir nur 0,88 Tage hätten hinzufügen sollen, also sind wir jetzt um einen Tag voraus:

1 – 0,88 Tage = 0,12 Tage.

Das Komische ist, dass sich niemand darüber Gedanken macht. Es gibt keine offizielle Regel für Schalttage mit Zyklen größer als 400 Jahre. Ich finde das äußerst ironisch, denn wenn wir noch einen Schritt weitergehen würden, könnten wir den Kalender extrem genau machen. Aber wie?

Die Abweichung, die wir alle 400 Jahre haben, beträgt fast genau 1/8 eines Tages! Nach 3.200 Jahren haben wir also 8 dieser 400-Jahres-Zyklen hinter uns, also sind wir um einen Schritt voraus:

8 x 0,12 Tage = 0,96 Tage

Wenn wir dann alle 3.200 Jahre den Schalttag aus dem Kalender streichen würden, wären wir nur 0,04 Tage im Rückstand! Das ist viel besser als jede andere Anpassung, die wir bisher vorgenommen haben. Ich kann nicht glauben, dass wir bei dem 400-Jahres-Zyklus aufgehört haben, Korrekturen vorzunehmen.

Aber trotzdem, juhu, wir sind fertig! Jetzt können wir endlich sehen, wie die Schaltjahrregel funktioniert:

Was man tun muss, um herauszufinden, ob es ein Schaltjahr ist oder nicht:

Wir fügen alle vier Jahre einen Schalttag hinzu, außer alle 100 Jahre, außer alle 400 Jahre.

Mit anderen Worten …

Wenn das Jahr durch 4 teilbar ist, dann ist es ein Schaltjahr, AUßER

es ist auch durch 100 teilbar, dann ist es kein Schaltjahr, AUßER

das Jahr ist durch 400 teilbar, dann ist es ein Schaltjahr.

1996 war also ein Schaltjahr, aber 1997, 1998 und 1999 waren es nicht. Das Jahr 2000 war ein Schaltjahr, denn auch wenn es durch 100 teilbar ist, ist es auch durch 400 teilbar.

Die Jahre 1700, 1800 und 1900 waren keine Schaltjahre, aber 2000 schon. Das Jahr 2100 wird es nicht sein, auch nicht 2200 oder 2300. Aber 2400 wird es sein.

Diese ganze 400-Jahres-Sache wurde im Jahr 1582 von Papst Gregor XIII. eingeführt. Das ist nahe genug am Jahr 1600 (das ein Schaltjahr war!), so dass meiner Meinung nach das Jahr 4800 kein Schaltjahr sein sollte, und dann wird der Kalender im Vergleich zur Erddrehung um weniger als eine Minute abweichen. Das ist beeindruckend.

Aber wer hört schon auf mich? Wenn Sie es bis hierher geschafft haben, ohne sich das Großhirn zu zermatschen, dann hören Sie wohl auf mich. Meiner Meinung nach macht das alles Spaß, und wenn du noch dabei bist, dann weißt du genauso viel über Schaltjahre wie ich.

Was wahrscheinlich zu viel ist. Alles, was du wirklich wissen musst, ist, dass dieses Jahr, 2016, ein Schaltjahr ist, und wir werden noch viele weitere für einige Zeit haben. Sie können meine Berechnungen durchgehen und mich überprüfen, wenn Sie möchten …

Oder Sie können mir einfach glauben. Nennen Sie es einen Vertrauensvorschuss.

Bonus: Wir haben am Sonntag ein Video gedreht, in dem ich Ihnen drei Minuten lang Zahlen entgegenschreie, die die ganze Sache vereinfachen. Viel Spaß damit:

*Ja, der Monat basiert auf den Zyklen des Mondes, aber es gibt keine wirkliche Definition für „Monat“, deshalb sind sie in Bezug auf die Länge auch so unterschiedlich.