Operator (matematică)

sept. 22, 2021

admin

GeometrieEdit

Articole principale: grup liniar general și izometrie

În geometrie, se studiază uneori structuri suplimentare pe spații vectoriale. Operatorii care mapează astfel de spații vectoriale în ele însele în mod bijectiv sunt foarte utili în aceste studii, ei formează în mod natural grupuri prin compoziție.

De exemplu, operatorii bijectivi care păstrează structura unui spațiu vectorial sunt tocmai operatorii liniari inversabili. Ei formează grupul liniar general prin compunere. Ei nu formează un spațiu vectorial sub adunarea operatorilor, de exemplu, atât id cât și -id sunt inversabile (bijective), dar suma lor, 0, nu este.

Operatorii care conservă metrica euclidiană pe un astfel de spațiu formează grupul de izometrie, iar cei care fixează originea formează un subgrup cunoscut sub numele de grupul ortogonal. Operatorii din grupul ortogonal care conservă și orientarea tușelor vectoriale formează grupul ortogonal special, sau grupul rotațiilor.

Teoria probabilitățilorEdit

Articolul principal: Teoria probabilităților

În teoria probabilităților sunt implicați și operatori, cum ar fi așteptarea, varianța și covarianța. Într-adevăr, fiecare covarianță este practic un produs punctat; fiecare varianță este un produs punctat al unui vector cu el însuși, fiind astfel o normă pătratică; fiecare abatere standard este o normă (rădăcina pătrată a normei pătratice); cosinusul corespunzător acestui produs punctat este coeficientul de corelație Pearson; valoarea așteptată este practic un operator integral (utilizat pentru a măsura formele ponderate în spațiu).

CalculusEdit

Articole principale: operator diferențial și operator integral

Din punctul de vedere al analizei funcționale, calculul este studiul a doi operatori liniari: operatorul diferențial d d d t {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}}}

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}$

, și operatorul Volterra ∫ 0 t {\displaystyle \int _{0}^{t}}}

$\int_0^t$

Serii Fourier și transformată FourierEdit

Articole principale: Serie Fourier și transformată Fourier

Transformată Fourier este utilă în matematica aplicată, în special în fizică și în prelucrarea semnalelor. Este un alt operator integral; ea este utilă în principal pentru că transformă o funcție pe un domeniu (temporal) într-o funcție pe un alt domeniu (de frecvență), într-un mod efectiv inversabil. Nu se pierde nicio informație, deoarece există un operator de transformare inversă. În cazul simplu al funcțiilor periodice, acest rezultat se bazează pe teorema că orice funcție periodică continuă poate fi reprezentată ca sumă a unei serii de unde sinusoidale și cosinusoidale:

f ( t ) = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ a n cos ( ω n t ) + b n sin ( ω n t ) {\displaystyle f(t)={a_{0} \supra 2}+\sum _{n=1}^{\infty }{a_{n}\cos(\omega nt)+b_{n}\sin(\omega nt)}}

$f(t) = {a_0 \supra 2} + \sum_{n=1}^{\infty}{ a_n \cos ( \omega n t ) + b_n \sin ( \omega n t ) }$

Tupla (a0, a1, b1, a2, b2, …) este de fapt un element al unui spațiu vectorial infinit-dimensional ℓ2, și astfel seria Fourier este un operator liniar.

Când avem de-a face cu funcția generală R → C, transformata capătă forma integrală:

f ( t ) = 1 2 π ∫ – ∞ + ∞ g ( ω ) e i ω t d ω . {\displaystyle f(t)={1 \ peste {\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{+\infty }{g(\omega )e^{i\omega t}\,d\omega }.}.

$f(t) = {1 \ peste \sqrt{2 \pi}}. \int_{- \infty}^{+ \infty}{g( \omega )e^{ i \omega t } \,d\omega }.$

Transformată LaplaceEdit

Articolul principal: Transformata Laplace

Transformata Laplace este un alt operator integral și este implicată în simplificarea procesului de rezolvare a ecuațiilor diferențiale.

Dată f = f(s), se definește prin:

F ( s ) = L { f } ( s ) = ∫ 0 ∞ e – s t f ( t ) d t . {\displaystyle F(s)={\mathcal {L}}\{f\}(s)=\int _{0}^{\infty }e^{-st}f(t)\,dt.}

$F(s)={\mathcal {L}}\{f\}}(s)=\int _{0}^{\infty }e^{{{-st}}f(t)\,dt.$

Operatori fundamentali pe câmpuri scalare și vectorialeEdit

Articole principale: calcul vectorial, câmp vectorial, câmp scalar, gradient, divergență și curl

Trei operatori sunt esențiali pentru calculul vectorial:

$\nabla$

) atribuie în fiecare punct al unui câmp scalar un vector care punctează în direcția celei mai mari viteze de variație a acelui câmp și a cărui normă măsoară valoarea absolută a acestei viteze de variație.

Div (divergență), (cu simbolul operatorului ∇ ⋅ {\displaystyle \nabla \cdot }
$\nabla \cdot$

) este un operator vectorial care măsoară divergența unui câmp vectorial de la sau convergența spre un anumit punct.
Curl, (cu simbolul operatorului ∇ × {\displaystyle \nabla \times }
$\nabla \times$

) este un operator vectorial care măsoară tendința de curbare (înfășurare, rotație) a unui câmp vectorial în jurul unui punct dat.

Ca o extensie a operatorilor de calcul vectorial la fizică, inginerie și spații tensoriale, operatorii Grad, Div și Curl sunt, de asemenea, adesea asociați cu calculul tensorial, precum și cu calculul vectorial.