Terminologie

Sistemele fizice sunt împărțite în tipuri în funcție de proprietățile lor neschimbătoare (sau „independente de stare”), iar starea unui sistem la un moment dat constă într-o specificație completă a acelor proprietăți ale sale care se schimbă în timp (proprietățile sale „dependente de stare”). Prin urmare, pentru a oferi o descriere completă a unui sistem, trebuie să spunem ce tip de sistem este acesta și care este starea sa în fiecare moment al istoriei sale.

O mărime fizică este o familie de proprietăți fizice care se exclud reciproc și sunt exhaustive în comun (pentru cei care cunosc acest mod de a vorbi, este o familie de proprietăți cu structura celulelor dintr-o partiție). Cunoașterea tipurilor de valori pe care le ia o mărime ne poate spune foarte multe despre relațiile dintre proprietățile din care este compusă. Valorile unei mărimi bivalente, de exemplu, formează un ansamblu cu doi membri; valorile unei mărimi cu valori reale formează un ansamblu cu structura numerelor reale. Acesta este un caz special al unui lucru pe care îl vom vedea din nou și din nou, și anume,faptul că știind ce fel de obiecte matematice reprezintă elementele dintr-un anumit set (aici, valorile unei mărimi fizice; mai târziu, stările pe care le poate lua un sistem sau mărimile care îi aparțin) ne spune foarte multe (într-adevăr, se poate spune că tot ceea ce este de știut) despre relațiile dintre ele.

În contexte de mecanică cuantică, termenul „observabil” este utilizat în mod interschimbabil cu „mărime fizică” și ar trebui tratat ca un termen tehnic cu același înțeles. Nu este întâmplător faptul că primii dezvoltatori ai teoriei au ales acest termen, dar alegerea a fost făcută din motive care nu sunt, în prezent, general acceptate. Spațiul de stări al unui sistem este spațiul format din ansamblul stărilor sale posibile, adică modalitățile posibile din punct de vedere fizic de combinare a valorilor mărimilor care îl caracterizează în interior. În cadrul teoriilor clasice, un set de mărimi care formează o bază de supraveniență pentru restul este în mod obișnuit desemnat ca fiind „de bază” sau „fundamental” și, deoarece orice mod posibil din punct de vedere matematic de combinare a valorilor acestora este o posibilitate fizică, spațiul de stări poate fi obținut prin simpla luare a acestora drept coordonate. Astfel, de exemplu, spațiul de stare al unui sistem mecanic clasic compus din \(n\) particule, obținut prin specificarea valorilor a\(6n\) mărimilor cu valori reale – trei componente ale poziției și trei ale impulsului pentru fiecare particulă din sistem – este un spațiu de coordonate cu\(6n\) dimensiuni. Fiecare stare posibilă a unui astfel de sistem corespunde unui punct din acest spațiu, iar fiecare punct din acest spațiu corespunde unei stări posibile a unui astfel de sistem. Situația este puțin diferită în mecanica cuantică, unde există modalități descriptibile matematic de combinare a valorilor mărimilor care nu reprezintă stări posibile din punct de vedere fizic. După cum vom vedea, spațiile de stare din mecanica cuantică sunt tipuri speciale de spații vectoriale, cunoscute sub numele de spații Hilbert, și au mai multă structură internă decât omologii lor clasici.

O structură este un set de elemente pe care sunt definite anumite operații și relații, o structură matematică este doar o structură în care elementele sunt obiecte matematice (numere, seturi, vectori), iar operațiile sunt matematice, iar un model este o structură matematică folosită pentru a reprezenta o anumită structură semnificativă din punct de vedere fizic în lume.

Inima și sufletul mecanicii cuantice sunt conținute în spațiile Hilbertspaces care reprezintă spațiile de stare ale sistemelor mecanice cuantice.Relațiile interne dintre stări și mărimi, și tot ceea ce presupune acest lucru despre modul în care se comportă sistemele mecanice cuantice, sunt toate țesute în structura acestor spații, întruchipate în relațiile dintre obiectele matematice care le reprezintă. Acest lucru înseamnă că înțelegerea modului în care este un sistem în conformitate cu mecanica cuantică este inseparabilă de familiarizarea cu structura internă a acestor spații. Cunoașteți spațiul Hilbert și vă familiarizați cu legile dinamice care descriu căile pe care vectorii le parcurg prin el și știți tot ce este de știut, în termenii oferiți de teorie, despre sistemele pe care le descrie.

Prin „cunoașterea spațiului Hilbert” mă refer la ceva mai mult decât posedarea unei descrieri sau a unei hărți a acestuia; oricine are un manual de mecanică cuantică pe raftul său are acest lucru. Vreau să spun să te descurci cu el așa cum te descurci cu orașul în care locuiești. Acesta este un tip de cunoaștere practică care vine în mod gradat și care se dobândește cel mai bine învățând să rezolve probleme ale formei: Cum ajung de la A la B? Pot să ajung acolo fără să trec prin C? Și care este cea mai scurtă rută? Studenții absolvenți de fizică petrec ani îndelungați pentru a se familiariza cu colțurile și crăpăturile spațiului Hilbertspace, pentru a localiza reperele familiare, pentru a merge pe cărările sale bătătorite, pentru a învăța unde se află pasajele secrete și fundăturile și pentru a dezvolta un simț al orientării generale a terenului. Ei învață cum să navigheze în spațiul Hilbert în felul în care un taximetrist învață să navigheze în orașul său.

Cât de mult din acest tip de cunoștințe este necesar pentru a aborda problemele filozofice asociate cu teoria? La început, nu foarte multe: doar cele mai generale fapte despre geometria peisajului (care este, în orice caz, spre deosebire de cel al majorității orașelor, frumos organizat) și despre căile pe care le parcurg (vectorii care reprezintă stările) sistemele. Aceasta este ceea ce va fi prezentat aici: mai întâi un pic de matematică ușoară și apoi, pe scurt, teoria.

Matematică

2.1 Vectori și spații vectoriale

Un vector \(A\), scris „\(\ket{A}\)”, este un obiect matematic caracterizat de o lungime, \(|A|\), și o direcție. Un vector anormalizat este un vector de lungime 1; de exemplu, \(|A| = 1\). Vectorii pot fi adunați, înmulțiți cu constante (inclusiv cu numere complexe) și înmulțiți între ei. Adăugarea vectorială pune în corespondență orice pereche de vectori cu un alt vector, mai exact cu cel pe care îl obțineți prin deplasarea celui de-al doilea vector astfel încât coada sa să coincidă cu vârful primului, fără a modifica lungimea sau direcția niciunuia dintre ei, iar apoi prin unirea cozii primului cu vârful celui de-al doilea. Această regulă de adunare este cunoscută sub numele de legea paralelogramului. Astfel, de exemplu, adunând vectorii \(\ket{A}\) și \(\ket{B}\) se obține vectorul \(\ket{C}}. (= \ket{A} + \ket{B})\) ca în Figura 1:

Înmulțind un vector \(\ket{A}\) cu \(n\), unde \(n\) este o constantă, se obține un vector care are aceeași direcție ca și \(\ket{A}\), dar a cărui lungime este egală cu \(n\) ori lungimea lui \(\ket{A}\).

Într-un spațiu vectorial real, produsul (interior sau punct) al unei perechi de vectori \(\ket{A}\) și \(\ket{B}\), scris „\(\braket{A}{B}\)”, este un scalar egal cu produsul lungimilor lor (sau „norme”) cu cosinusul unghiului,\(\theta\), dintre ei:

\

Să fie \(\ket{A_1}\) și \(\ket{A_2}\) vectori de lungime 1(„vectori unitari”) astfel încât \(\braket{A_1}{A_2} = 0\). (Astfel, unghiul dintre acești doi vectori unitari trebuie să fie de 90 de grade.) Atunci putem reprezenta orice vector bidimensional \(\ket{B}\) în termenii vectorilor noștri unitari după cum urmează:

\

De exemplu, iată un grafic care arată cum \(\ket{B}\) poate fi reprezentat ca sumă a celor doi vectori unitari \(\ket{A_1}\) și \(\ket{A_2}\):

Acum definiția produsului intern \(\braket{A}{B}\) trebuie modificată pentru a se aplica spațiilor complexe. Fie \(c^*\) complexulconjugat al lui \(c\). (Când \(c\) este un număr complex de forma \(a \pm bi\), atunci conjugatul complex\(c^*\) al lui \(c\) este definit după cum urmează:

\^* = a-bi \\^* = a+bi\]

Deci, pentru toate numerele complexe \(c\), \(^* = c\),dar \(c^* = c\) doar în cazul în care \(c\) este real). Acum, definiția produsului interior dintre \(\ket{A}\) și \(\ket{B}\) pentru spații complexe poate fi dată în termeni de conjugate ale coeficienților complecși, după cum urmează. Unde \(\(\ket{A_1}\) și \(\ket{A_2}\) sunt vectorii unitari descriși anterior, \(\ket{A} = a_1 \ket{A_1} + a_2 \ket{A_2}\) și \(\ket{B} = b_1 \ket{A_1} + b_2 \ket{A_2}\), atunci

\

Cea mai generală și abstractă noțiune de produs interior, din care am definit acum două cazuri speciale, este următoarea. \(\braket{A}{B}\) este un produs interior pe un spațiu vectorial \(V\) doar în cazul

2. \(\braket{A}{A} = |A|^2\), și \(\braket{A}{A}=0\) dacă și numai dacă \(A=0\)
3. \(\braket{B}{A} = \braket{A}{B}^*\)
4. \(\braket{B}{A+C}=\braket{B}{A} + \braket{B}{C}\).

De aici rezultă că

1. lungimea lui \(\ket{A}\) este rădăcina pătrată a produsului intern al lui \(\ket{A}\) cu el însuși, adică,\

și

1. \(\ket{A}\) și \(\ket{B}\) sunt reciproc perpendiculare, sau ortogonale, dacă și numai dacă \(\braket{A}{B}\).

Un spațiu vectorial este un ansamblu de vectori închis la adunare și înmulțire cu constante, un spațiu de produse interioare este un spațiu vectorial în care a fost definită operația de înmulțire vectorială, iar dimensiunea unui astfel de spațiu este numărul maxim de vectori ortogonali între ei, care nu sunt zero, pe care îl conține.

Orice colecție de \(N\) vectori reciproc ortogonali de lungime 1 într-un spațiu vectorial bidimensional constituie o bază ortonormală pentru acel spațiu. Fie \(\ket{A_1}, \ldots, \ket{A_N}\) o astfel de colecție de vectori unitari. Atunci fiecare vector din acest spațiu poate fi exprimat ca o sumă de forma:

\

unde \(b_i = \braket{B}{A_i}\). Aici \(b_i\) sunt cunoscuți ca fiind coeficienții de expansiune ai lui \(B\) în baza \(A\).

Rețineți că:

1. pentru toți vectorii \(A\), \(B\) și \(C\) într-un spațiu dat,\
2. pentru orice vectori \(M\) și \(Q\), exprimați în termenii bazei \(A\),\

   și

   \

Există un alt mod de a scrie vectorii, și anume prin scrierea coeficienților de expansiune (în raport cu o bază dată) într-o coloană, ca de exemplu:

\

unde \(q_i = \braket{Q}{A_i}\) și \(A_i\) sunt vectorii de bază aleși.

Când avem de-a face cu spații vectoriale de dimensiune infinită, deoarecenu putem scrie întreaga coloană de coeficienți de expansiune necesari pentru a bifa un vector, deoarece aceasta ar trebui să fie infinit de lungă, în schimb scriem funcția (numită „funcție de undă” pentru\(Q\), reprezentată de obicei \(\psi(i))\) care are acei coeficienți ca valori. Scriem, adică, funcția:

\

După orice vector dintr-un spațiu vectorial și orice bază pentru acesta, putem obține funcția de undă a vectorului în baza respectivă; și dată o funcție de undă pentru un vector, într-o anumită bază, putem construi vectorul a cărui funcție de undă este. Având în vedere că majoritatea operațiilor importante asupra vectorilor corespund unor operații algebrice simple asupra funcțiilor de undă ale acestora, acesta este modul obișnuit de reprezentare a vectorilor de stare.

Când o pereche de sisteme fizice interacționează, ele formează un sistem compus și, în mecanica cuantică, ca și în mecanica clasică, există o regulă pentru construirea spațiului de stare al unui sistem compus din cele ale componentelor sale, o regulă care ne spune cum să obținem, din spațiile de stare \(H_A\) și \(H_B\) pentru \(A\ și, respectiv, \(B\), spațiul de stare – numit „produsul tensorial” al \(H_A\) și \(H_B\) și scris \(H_A \ ori H_B\) – al perechii. Există două lucruri importante în legătură cu această regulă: în primul rând, atâta timp cât \(H_A\) și \(H_B\) sunt spații Hilbert, și \(H_A \mulțimii H_B\) va fi la fel, iar în al doilea rând, există unele date despre modul în care \(H_A \mulțimii H_B\) se raportează la \(H_A\) și \(H_B\), care au consecințe surprinzătoare pentru relațiile dintre sistemul complex și părțile sale. În special, se dovedește că starea unui sistem compozit nu este definită în mod unic de cele ale componentelor sale. Ceea ce înseamnă acest lucru, sau cel puțin ceea ce pare a însemna, este că există, conform mecanicii cuantice, fapte despre sistemele complexe (și nu doar fapte despre configurația lor spațială) care nu se suprapun peste faptele despre componentele lor; aceasta înseamnă că există fapte despre sisteme ca întreg care nu se suprapun peste faptele despre părțile lor și modul în care aceste părți sunt aranjate în spațiu. Semnificația acestei trăsături a teoriei nu poate fi supralicitată; ea este, într-un fel sau altul, implicată în majoritatea celor mai dificile probleme ale sale.

Într-un mod puțin mai detaliat: dacă \(\(\{v_{i}^A\}\) este o bază ortonormală pentru \(H_A\) și \(\{u_{j}^B\}\) este o bază ortonormală pentru \(H_B\), atunci se consideră că setul de perechi \((v_{i}^A, u_{j}^B)\) formează o bază ortonormală pentru spațiul produsului tensorial \(H_A \ ori H_B\). Pentru perechea \((v_{i}^A \mes u_j^B\) se utilizează notația \(v_{i}^A,u_{j}^B)\), iar produsul interior pe \(H_A \mes H_B\) se definește astfel:

\

Este un rezultat al acestei construcții faptul că, deși fiecare vector din\(H_A \otimes H_B\) este o sumă liniară de vectori exprimabili sub forma\(v^A \otimes u^B\), nu toți vectorii din spațiu sunt exprimabili sub această formă și se dovedește că

1. orice stare compusă definește în mod unic stările componentelor sale.
2. dacă stările lui \(A\) și \(B\) sunt pure (i.e, reprezentabile prin vectorii \(v^A\) și, respectiv, \(u^B\), atunci starea lui \((A+B)\) este pură și este reprezentată de \(v^A \ ori u^B\), și
3. dacă starea lui \((A+B)\) este pură și exprimabilă sub forma \(v^A \otimes u^B\), atunci stările lui \(A\) și \(B\) sunt pure, dar
4. dacă stările lui \(A\) și \(B\) nu sunt pure, i.e., dacă sunt stări mixte (acestea sunt definite mai jos), ele nu definesc în mod unic starea \((A+B)\); în special, aceasta poate fi o stare pură care nu poate fi exprimată în forma \(v^A \ ori u^B\).

2.2 Operatori

Un operator \(O\) este o punere în corespondență a unui spațiu vectorial cu el însuși; acesta duce orice vector \(\ket{B}\) dintr-un spațiu pe un alt vector \(\ket{B’}\) tot într-un spațiu; \(O \ket{B} = \ket{B’}\). Operatorii liniari sunt operatori care au următoarele proprietăți:

1. \(O(\ket{A} + \ket{B}) = O \ket{A}. + O \ket{B}\), și
2. \(O(c \ket{A}) = c(O \ket{A})\).

La fel cum orice vector într-un spațiu cu \(N\)-dimensiuni poate fi reprezentat printr-o coloană de numere \(N\), în raport cu o bază aleasă pentru spațiu, orice operator liniar asupra spațiului poate fi reprezentat într-o notație de coloană prin numere \(N^2\):

\

în care \(O_{ij} = \braket{A_i}{O \mid A_j}\) și \(A_N\) sunt vectorii de bază ai spațiului. Efectul operatorului liniar \(O\) asupra vectorului\(B\) este, deci, dat de

\

Încă două definiții înainte de a putea spune ce sunt spațiile Hilbert, iar apoi putem trece la mecanica cuantică. \(\(\ket{B}\) este un vector propriu al lui \(O\) cu valoarea proprie \(a\) dacă, și numai dacă, \(O \ket{B} = a \ket{B}\).Operatori diferiți pot avea vectori proprii diferiți, dar relația vector propriu/operator depinde numai de operatorul și vectorii în cauză, și nu de baza particulară în care aceștia sunt exprimați; relația vector propriu/operator este, adică, invariantă la schimbarea bazei. Un operator hermitean este un operator care are proprietatea că există o bază ortonormală formată din vectorii săi proprii, iar aceste valori proprii sunt toate reale.

Un spațiu Hilbert, în sfârșit, este un spațiu vectorial pe care este definit un produs intern și care este complet, adică este astfel încât orice secvență Cauchy de vectori din spațiu converge la un vector din spațiu. Toate spațiile cu produs interior finit-dimensionale sunt complete, iar eu mă voi limita la acestea. Cazul infinit implică unele complicații în care nu este util să intrăm în acest stadiu.

Mecanica cuantică

Cele patru principii de bază ale mecanicii cuantice sunt:

(3.1)

Statele fizice.Fiecare sistem fizic este asociat cu un spațiu Hilbert, fiecare vector unitar din acest spațiu corespunde unei posibile stări pure a sistemului, iar fiecare stare pură posibilă, unui anumit vector din spațiu.

(3.2)

Cantități fizice.Operatorii hermitieni din spațiul Hilbert asociat unui sistemreprezintă cantități fizice, iar valorile lor proprii reprezintă rezultatele posibile ale măsurătorilor acestor cantități.

Există un operator, numit hamiltonian, care joacă un rol special în teoria cuantică, deoarece dinamica unui sistem poate fiformulată convenabil prin urmărirea evoluției sale. Hamiltonianul – scris \(H\), sau \(\hat{H}\) – reprezintă energia totală a sistemului. Valorile sale proprii reprezintă posibilele rezultate care pot fi obținute prin măsurători ale energiei totale. Ea este dată prin însumarea energiilor cinetice și potențiale ale componentelor sistemului.

(3.3)

Compoziție.Spațiul Hilbert asociat unui sistem complex este produsul tensorial al celor asociate sistemelor simple (în teoria standard, nerelativistă: particulele individuale) din care acesta este compus.

(3.4) Dinamica. a.

Contexte de tip 1: Dată fiind starea unui sistem la momentul \(t\) și forțele și constrângerile la care este supus, există o ecuație, „secvența lui Schrödinger”, care dă starea la orice alt moment \(U\ket{v_t} \rightarrow \ket{v_{t’}}\). Proprietățile importante ale \(U\) pentru scopurile noastre sunt că este deterministă, ceea ce înseamnă că transformă starea unui sistem la un moment dat într-o stare unică la orice alt moment, este unitară, ceea ce înseamnă că este un automorfism al spațiului Hilbert asupra căruia acționează (i.e., este o transpunere a acelui spațiu pe el însuși care păstrează structura spațială liniară și produsul intern) și este liniar, ceea ce înseamnă că, dacă duce o stare \(\ket{A}\) în starea\(\ket{A’}\), și ia o stare \(\ket{B}\ pe starea\(\ket{B’}\), atunci ia orice stare de forma \(\alpha \ket{A} + \beta \ket{B}\ pe starea \(\alpha \ket{A’} + \beta \ket{B’}\).

b.

Contexte de tip 2 („Contexte de măsurare”):Efectuarea unei „măsurători” a unei observabile \(B\) pe un sistem aflat într-o stare \(\ket{A}\) are ca efect colapsarea sistemului într-o stare \(B\) -eigensă corespunzătoare valorii proprii observate. Acest lucru este cunoscut sub numele de postulatul colapsului. În ce stare \(B\)-eigensă particulară se prăbușește este o chestiune de probabilitate, iar probabilitățile sunt date de o regulă cunoscută sub numele de Regula lui Born:

\

Există două puncte importante de remarcat cu privire la aceste două tipuri de contexte:

• Distincția dintre contextele de tip 1 și 2 rămâne de făcut în termeni de mecanică cuantică; nimeni nu a reușit să spună într-un mod complet satisfăcător, în termenii oferiți de teorie, care sunt contextele de măsurare, și
• Chiar dacă distincția este făcută, este o întrebare interpretativă deschisă dacă există contexte de tip 2; adică.e., este o întrebare de interpretare deschisă dacă există contexte în care sistemele sunt guvernate de o altă regulă dinamică decât ecuația lui Schrödinger.

Structuri în spațiul Hilbert

Am remarcat mai sus că, în același mod în care toate informațiile pe care le avem despre relațiile dintre locațiile dintr-un oraș sunt încorporate în relațiile spațiale dintre punctele de pe o hartă care le reprezintă, toate informațiile pe care le avem despre relațiile interne dintre (șiîntre) stările și cantitățile din mecanica cuantică sunt încorporate în relațiile matematice dintre vectorii și operatorii care le reprezintă. Din punct de vedere matematic, ceea ce distinge cu adevărat mecanica cuantică de predecesorii săi clasici este faptul că stările și cantitățile au o structură mai bogată; ele formează familii cu o rețea mai interesantă de relații între membrii lor.

Toate trăsăturile cu consecințe fizice ale comportamentelor sistemelor de mecanică cuantică sunt consecințe ale proprietăților matematice ale acestor relații, iar cele mai importante dintre ele sunt ușor de rezumat:

(P1)

În orice mod de a aduna vectori într-un spațiu Hilbert sau de a-i înmulți cu scalari se va obține un vector care se află tot în acest spațiu. În cazul în care vectorul este normalizat, el va reprezenta, din (3.1),o stare posibilă a sistemului, iar în cazul în care estesuma unei perechi de vectori proprii ai unei observabile \(B\) cu valori proprii distincte, el nu va fi el însuși un vector propriu al \(B\), ci va fiasociat, din (3.4b), cu un set de probabilități de a arăta un rezultat sau altul în măsurătorile \(B\).

(P2)

Pentru orice operator hermitian pe un spațiu Hilbert, există alții, pe același spațiu, cu care nu are în comun un set complet de vectori proprii; într-adevăr, este ușor de arătat că există alți astfel de operatori cu care nu are în comun vectori proprii.

Dacă facem câteva ipoteze interpretative suplimentare, putem spune mai multe. Să presupunem, de exemplu, că

(4.1)

Care operator hermitian pe spațiul Hilbertasociat unui sistem reprezintă un observabil distinct, și (prin urmare)fiecare vector normalizat, o stare distinctă, și

(4.2)

Un sistem are o valoare pentru observabilul \(A\) dacă, și numai dacă, vectorul care reprezintă starea sa este o stare proprie a operatorului \(A\). Valoarea pe care o are, într-un astfel de caz, este doar valoarea proprie asociată cu acea stare proprie.

Din (P2), prin (3.1), rezultă că nici o stare mecanică cuantică nu este o stare proprie a tuturor observabilelor (și, într-adevăr, că există observabile care nu au în comun nicio stare proprie), și astfel, prin (3.2), se poate spune că, prin (3.2), nu există o stare proprie.2), că nici un sistem mecanic cuantic nu are vreodată valori simultane pentru toate mărimile care îi aparțin (și chiar că există perechi de mărimi cărora nici o stare nu le atribuie valori simultane).

Există operatori hermiticieni pe produsul tensorial\(H_1 \otimes H_2\) al unei perechi de spații Hilbert\(H_1\) și \(H_2\) … În cazul în care \(H_1\) și \(H_2\) sunt spațiile de stare ale sistemelor \(S1\) și \(S2\),\(H_1 \otimes H_2\) este spațiul de stare al sistemului complex \((S1+S2)\). Rezultă de aici, prin (4.1), că existăobservabile aparținând \((S1+S2)\) ale căror valori nu sunt determinate de valorile observabilelor aparținând celor două în mod individual.

Toate acestea sunt consecințe directe ale luării vectorilor și a operatorilor în spațiul Hilbert pentru a reprezenta, respectiv, stările și observabilele, și ale aplicării regulii lui Born (și, ulterior, a regulilor (4.1) și (4.2)), pentru a conferi semnificație empirică atribuirii stărilor. Acest lucru este perfect bine înțeles; adevărata dificultate în înțelegerea mecanicii cuantice constă în a ajunge să ne confruntăm cu implicațiile lor – fizice, metafizice și epistemologice.

Cine încearcă să ajungă la o înțelegere a ceea ce mecanica cuantică spune despre lume trebuie să se confrunte cu un fapt rămas. Aceastăproblemă nu este o problemă a spațiilor Hilbert, ci a dinamicii – regulile care descriu traiectoriile pe care sistemele le urmează prin spațiu. Din punct de vedere fizic, ea este mult mai îngrijorătoare decât orice altceva discutat până în acest moment. Nu numai că prezintădificultăți pentru cineva care încearcă să ofere o interpretare a teoriei, dar pare să indice și o inconsecvență logică în fundamentele teoriei.

Să presupunem că avem un sistem \(S\) și un dispozitiv \(S^*\) care măsoară un observabil \(A\) pe \(S\) cu valori \(\a_1,a_2, a_3, …\}\). Apoi, există o anumită stare a lui \(S^*\) („starea fundamentală”) și o observabilă \(B\) cu valori \(\{b_1, b_2,b_3, ….\\}\) aparținând lui \(S^*\) („observabilul-punctar” al acestuia, denumit astfel deoarece este ceea ce joacă rolul de indicator pe un cadran de pe partea din față a unui instrument de măsură schematic în înregistrarea rezultatului experimentului), care sunt de așa natură încât, dacă \(S^*\) este pornit în starea sa fundamentală și interacționează într-un mod corespunzător cu \(S\) și dacă valoarea lui \(A\) imediat înainte de interacțiune este\(a_1\), atunci valoarea lui \(B\) imediat după aceea este\(b_1\). Cu toate acestea, dacă valoarea lui \(A\) imediat înainte de interacțiune este \(a_2\), atunci valoarea lui \(B\) după aceea este \(b_2\); dacă valoarea lui \(A\) imediat înainte de interacțiune este \(a_3\), atunci valoarea lui \(B\) imediat după aceea este \(b_3\), și așa mai departe. Aceasta este exact ceea ce înseamnă să spui că \(S^*\) măsoară \(A\). Așadar, dacă reprezentăm starea parțială comună a \(S\) și \(S^*\) (doar partea din ea care specifică valoarea lui , observabilul ale cărui valori corespund atribuirii comune a valorilor observabilului măsurat pe \(S\) și observabilului indicator pe \(S^*\)) prin vectorul\(\ket{A=a_i}_s \ket{B=b_i}_{s^*}\), iar „\(\(\rightarrow\) „să reprezinte descrierea dinamică a interacțiunii dintre cele două, a spune că \(S^*\) este un instrument de măsură pentru \(A\) înseamnă a spune că legile dinamice implică faptul că,

\

și așa mai departe.

Intuitiv, \(S^*\) este un instrument de măsură pentru o observabilă \(A\) doar în cazul în care există o caracteristică observabilă a lui \(S^*\) (nu contează ce, ci doar ceva ale cărui valori pot fi constatate uitându-ne la dispozitiv), care este corelată cu valorile \(A\) ale sistemelor introduse în el în așa fel încât să putem citi aceste valori din starea observabilă a lui \(S^*\) după interacțiune. În limbaj filozofic, \(S^*\) este un instrument de măsurare pentru \(A\) doar în cazul în care există o caracteristică observabilă a lui \(S^*\) care urmărește sau indică valorile \(A\) ale sistemelor cu care interacționează într-un mod adecvat.

Acum, din (3.1), de mai sus, rezultă că există stări ale lui \(S\) (prea puține pentru a le număra) care nu sunt stări proprii ale lui \(A\), iar dacă luăm în considerare ceea ce ne spune ecuația lui Schrödinger despre evoluția comună a lui \(S\) și \(S^*\) atunci când \(S\) pornește într-una dintre acestea, aflăm că starea perechii după interacțiune este o suprapunere de stări proprii ale lui . Nu contează ce observabil de pe \(S\\) este măsurat și nu contează în ce superpoziție particulară pornește \(S\); dacă interacțiunea este descrisă corect prin secvența lui Schrödinger, dacă interacțiunea este descrisă corect prin secvența lui Schrödinger, rezultă doar din liniaritatea lui \(U\) în această ecuație, operatorul care efectuează transformarea de la starea anterioară la cea ulterioară a perechii, că starea comună a lui \(S\) și a aparatului după interacțiune este o suprapunere a stărilor proprii ale acestei observabile pe sistemul comun.

Să presupunem, de exemplu, că pornim \(S^*\) în starea fundamentală, iar \(S\) în starea

\

Este o consecință a regulilor de obținere a spațiului de stări al sistemuluicompus că starea combinată a perechii este

\

și rezultă din faptul că \(S^*\) este un instrument de măsură pentru \(A\),și din liniaritatea lui \(U\) rezultă că starea lor combinată, după interacțiune, este

\

Aceasta, însă, este incompatibil cu regula dinamică pentru contextele de tip 2, deoarece regula dinamică pentru contextele de tip 2 (și dacă există astfel de contexte, acesta este unul dintre ele) implică faptul că starea perechii după interacțiune este fie

\

, fie

\

Indeosebi, implică faptul că există o probabilitate precisă de \(\frac{1}{2}}\) de a ajunge în prima situație și o probabilitate de \(\frac{1}{2}\) de a ajunge în cea de-a doua.

Am putea încerca să restabilim consistența logică renunțând la regula dinamică pentru contextele de tip 2 (sau, ceea ce echivalează cu același lucru, negând că există astfel de contexte), dar atunci se pune problema consistenței cu experiența. Pentru că nu a fost o simplă gafă faptul că acea regulă a fost inclusă în teorie; știm cum arată un sistem atunci când se află într-o stare esențială a unei observabile date și știm din privire că aparatul de măsură după măsurare se află într-o stare esențială a observabilei indicatoare. Și astfel știm de la început că dacă o teorie ne spune altceva despre stările de după măsurare ale aparatelor de măsurare, indiferent ce altceva ar fi, este greșit.

Aceasta este, pe scurt, Problema Măsurării în mecanica cuantică; orice interpretare a teoriei, orice poveste detaliată despre cum este lumea conform mecanicii cuantice și, în special, despre acele părți ale lumii în care au loc măsurători, trebuie să se confrunte cu ea.

Sfârșituri libere

Stările mixte sunt sume ponderate de stări pure și pot fi folosite pentru a reprezenta stările unor ansambluri ale căror componente se află în diferite stări pure sau stări ale unor sisteme individuale despre care avem doar cunoștințe parțiale. În primul caz, ponderea atașată unei anumite stări pure reflectă dimensiunea componentei ansamblului care se află în acea stare (și, prin urmare, probabilitatea obiectivă ca un membru arbitrar al ansamblului să se afle în acea stare); în al doilea caz, ele reflectă probabilitatea epistemică ca sistemul în cauză, căruia i se atribuie starea, să se afle în acea stare.

Dacă nu dorim să pierdem distincția dintre stările pure și mixte, avem nevoie de un mod de reprezentare a sumei ponderate a unui set de stări pure (în mod echivalent, a funcțiilor de probabilitate asociate cu acestea) care este diferit de adunarea vectorilor (ponderați în mod corespunzător) care le reprezintă, ceea ce înseamnă că avem nevoie fie de un mod alternativ de reprezentare a stărilor mixte, fie de un mod uniform de reprezentare atât a stărilor pure, cât și a celor mixte, care să păstreze distincția dintre ele.Există un tip de operator în spațiile Hilbert, numit operator de densitate, care servește bine în această ultimă calitate, și se pare că nu este greu de reformulat tot ceea ce s-a spus despre vectorii de stare în termeni de operatori de densitate. Astfel, chiar dacă se vorbește în mod obișnuit ca și cum stările pure sunt reprezentate de vectori, regula oficială este că stările – pure și mixte, deopotrivă – sunt reprezentate în mecanica cuantică prin operatori de densitate.

Deși, așa cum am spus, stările mixte pot fi folosite pentru a reprezenta ignoranța noastră cu privire la stările sistemelor care se află, de fapt, într-o stare pură sau alta, și deși multora li s-a părut că aceasta este o modalitate adecvată de interpretare a amestecurilor în contexte clasice, există obstacole serioase în ceea ce privește aplicarea ei în general la amestecurile din mecanica cuantică. Acestea sunt lăsate pentru discuții detaliate în alte intrări despre mecanica cuantică din Enciclopedie.

Tot ceea ce s-a spus despre observabile, strict vorbind, se aplică numai în cazul în care valorile observabilelor formează un set discret; subtilitățile matematice necesare pentru a le generaliza la cazul observabilelor continue sunt complicate și ridică probleme de natură mai tehnică. Și acestea, de asemenea, este mai bine să fie lăsate pentru o discuție detaliată.

Aceasta ar trebui să fie toată pregătirea inițială de care este nevoie pentru a aborda discuția filosofică a mecanicii cuantice, dar este doar un prim pas. Cu cât se învață mai multe despre relațiile dintre și între vectori și operatori în spațiul Hilbert, despre modul în care spațiile sistemelor simple se raportează la cele ale sistemelor complexe și despre ecuația care descrie modul în care vectorii de stare se deplasează în spațiu, cu atât mai bine se va aprecia atât natura, cât și dificultatea problemelor asociate cu această teorie. Lucrul amuzant al mecanicii cuantice, lucrul care o face nesfârșit de absorbantă pentru un filozof, este că, cu cât se învață mai mult, cu atât problemele devin mai dificile.

.