Matematică
Inspirație, matematică pură, aplicată și esteticăEdit
Este foarte posibil ca arta calculului să se fi dezvoltat chiar mai înainte de scriere, referindu-se în primul rând la contabilitate și gestiunea proprietății, în comerț, în topografie, iar mai târziu în astronomie.
Astăzi, toate științele contribuie cu probleme care sunt studiate de matematicieni, în timp ce noi probleme apar în cadrul matematicii însăși. De exemplu, fizicianul Richard Feynman a propus integrala de traiectorie ca fundament al mecanicii cuantice, combinând raționamentul matematic și abordarea fizică, dar nu s-a ajuns încă la o definiție pe deplin satisfăcătoare în termeni matematici. În mod similar, teoria corzilor, o teorie științifică în curs de dezvoltare care încearcă să unifice cele patru forțe fundamentale ale fizicii, continuă să inspire cea mai mare parte a matematicii moderne.
Orice matematică este relevantă doar pentru domeniul în care a fost inspirată și este aplicată la alte probleme din acel domeniu. Cu toate acestea, de multe ori, matematica inspirată de un anumit domeniu este utilă în multe domenii și este inclusă în conceptele matematice generale acceptate. Faptul remarcabil că până și cea mai pură matematică are, de obicei, aplicații practice este ceea ce Eugene Wigner a definit ca fiind „eficiența nerezonabilă a matematicii în științele naturale”.
Ca în majoritatea domeniilor de studiu, explozia de cunoștințe din era științifică a dus la specializarea matematicii. Există o distincție importantă între matematica pură și matematica aplicată. Cei mai mulți cercetători matematicieni se concentrează doar pe unul dintre aceste domenii și, uneori, alegerea este făcută atunci când își încep studiile. Mai multe domenii ale matematicii aplicate au fuzionat cu alte domenii aflate în mod tradițional în afara matematicii și au devenit discipline independente, cum ar fi statistica, cercetarea operațională sau informatica.
Cei care au o predilecție pentru matematică constată că prevalează un aspect estetic care definește majoritatea matematicii. Mulți matematicieni vorbesc despre eleganța matematicii, despre estetica sa intrinsecă și despre frumusețea sa interioară. În general, unul dintre cele mai apreciate aspecte ale acestuia este simplitatea sa. Există frumusețe într-o demonstrație simplă și energică, cum ar fi demonstrația lui Euclid privind existența unui număr infinit de numere prime, și într-o analiză numerică elegantă care accelerează calculul, precum și în transformata Fourier rapidă. G. H. Hardy în A Mathematician’s Apology și-a exprimat convingerea că aceste considerații estetice sunt, în sine, suficiente pentru a justifica studiul matematicii pure. Matematicienii se străduiesc adesea să găsească demonstrații ale teoremelor care sunt deosebit de elegante, excentricul matematician Paul Erdős referindu-se la acest fapt ca la căutarea de demonstrații ale „Cărții” în care Dumnezeu a scris demonstrațiile sale preferate. Popularitatea matematicii recreative este un alt semn al plăcerii de a rezolva întrebări matematice.
Notație, limbaj și rigoareEdit
Majoritatea notațiilor matematice folosite astăzi nu au fost inventate până în secolul al XVIII-lea. Înainte de aceasta, matematica era scrisă în cuvinte, un proces minuțios care limita progresul matematic. În secolul al XVIII-lea, Euler, a fost responsabil pentru multe dintre notațiile folosite astăzi. Notația modernă face ca matematica să fie mult mai ușoară pentru profesioniști, dar complicată pentru începători. Notația reduce matematica la minimum, făcând ca unele simboluri să conțină o cantitate mare de informații. Ca și notația muzicală, notația matematică modernă are o sintaxă strictă și codifică informații care ar fi dificil de scris altfel.
Limbajul matematic poate fi dificil și pentru începători. Cuvinte precum „sau” și „numai” au înțelesuri mai precise decât în limbajul cotidian. În plus, cuvinte precum open și body au semnificații matematice foarte specifice. Jargonul matematic, sau limbajul matematic, include termeni tehnici precum homeomorfism sau integrabilitate. Motivul pentru care este necesară utilizarea notelor și a jargonului este că limbajul matematic necesită mai multă precizie decât limbajul cotidian. Matematicienii se referă la această precizie în limbaj și logică drept „rigoare”.
Rigurozitatea este o condiție indispensabilă pe care trebuie să o aibă o demonstrație matematică. Matematicienii doresc ca teoremele lor din axiome să urmeze un raționament sistematic. Acest lucru servește la evitarea teoremelor eronate, bazate pe intuiții failibile, care au apărut de mai multe ori în istoria acestei științe. Nivelul de rigoare așteptat în matematică a variat de-a lungul timpului: grecii căutau argumente detaliate, dar în vremea lui Isaac Newton metodele folosite erau mai puțin riguroase. Problemele inerente ale definițiilor folosite de Newton au dus la o renaștere a analizei atente și a demonstrațiilor oficiale în secolul al XIX-lea. Acum, matematicienii continuă să se susțină reciproc prin demonstrații asistate de calculator.
O axiomă este interpretată în mod tradițional ca un „adevăr evident de la sine”, dar această concepție este problematică. În domeniul formal, o axiomă nu este nimic mai mult decât un șir de simboluri, care are o semnificație intrinsecă doar în contextul tuturor formulelor derivate dintr-un sistem axiomatic.
Matematica ca științăEdit
Carl Friedrich Gauss s-a referit la matematică ca fiind „regina științelor”. Atât în originalul latin Scientiārum Regīna, cât și în germană Königin der Wissenschaften, cuvântul știință trebuie interpretat ca (domeniu al) cunoașterii. Dacă știința este considerată a fi studiul lumii fizice, atunci matematica, sau cel puțin matematica pură, nu este o știință.
Mulți filosofi cred că matematica nu este falsificabilă experimental și, prin urmare, nu este o știință conform definiției lui Karl Popper. Cu toate acestea, în anii 1930, lucrări importante în domeniul logicii matematice arată că matematica nu poate fi redusă la logică, iar Karl Popper a concluzionat că „majoritatea teoriilor matematice sunt, ca și cele din fizică și biologie, ipotetico-deductive. Astfel, matematica pură a devenit mai apropiată de științele naturale ale căror ipoteze sunt conjecturi, așa cum a fost până acum”. Alți gânditori, în special Imre Lakatos, au cerut o versiune a falsificaționismului pentru matematica însăși.
Un punct de vedere alternativ este că anumite domenii științifice (cum ar fi fizica teoretică) sunt matematici cu axiome care pretind să corespundă realității. De fapt, fizicianul teoretician J. M. Ziman propune ca știința să fie „cunoaștere publică” și, prin urmare, să includă matematica. În orice caz, matematica are multe în comun cu multe domenii ale științelor fizice, în special explorarea consecințelor logice ale ipotezelor. Intuiția și experimentul joacă, de asemenea, un rol important în formularea conjecturilor în matematică și în alte științe. Matematica experimentală continuă să fie tot mai bine reprezentată în cadrul matematicii. Calculul și simularea joacă un rol din ce în ce mai important atât în domeniul științelor, cât și în cel al matematicii, atenuând obiecția conform căreia matematica nu utilizează metoda științifică. În 2002, Stephen Wolfram susține, în cartea sa A New Kind of Science (Un nou tip de știință), că matematica computațională merită să fie explorată empiric ca un domeniu științific.
Potrivirile matematicienilor în această privință sunt foarte variate. Mulți matematicieni consideră că a numi domeniul lor știință înseamnă a minimiza importanța profilului său estetic, precum și a nega istoria sa în cadrul celor șapte arte liberale. Alții sunt de părere că a ignora legătura cu științele înseamnă a ignora legătura evidentă dintre matematică și aplicațiile sale în știință și inginerie, care a impulsionat foarte mult dezvoltarea matematicii. Un alt subiect de dezbatere, care este oarecum legat de cel precedent, este dacă matematica a fost creată (ca artă) sau descoperită (ca știință). Aceasta este una dintre numeroasele probleme care preocupă filosofia matematicii.
Premiile matematice sunt în general ținute separat de echivalentele lor din știință. Cel mai prestigios premiu în domeniul matematicii, Medalia Fields, a fost înființat în 1936 și este acordat o dată la patru ani. Acesta este adesea considerat echivalentul Premiului Nobel pentru știință. Alte premii sunt Premiul Wolf pentru matematică, creat în 1978, care recompensează realizările matematicienilor de-a lungul vieții, și Premiul Abel, un alt premiu internațional important, care a fost introdus în 2003. Cele două din urmă sunt acordate pentru lucrări excelente, care pot fi cercetări inovatoare sau rezolvarea unei probleme remarcabile într-un anumit domeniu. O listă celebră a acestor 23 de probleme nerezolvate, numită „Problemele Hilbert”, a fost întocmită în 1900 de matematicianul german David Hilbert. Această listă a devenit foarte populară în rândul matematicienilor, iar cel puțin nouă dintre probleme au fost deja rezolvate. O nouă listă de șapte probleme fundamentale, intitulată „Problemele mileniului”, a fost publicată în 2000. Soluția la fiecare dintre aceste probleme va fi recompensată cu 1 milion de dolari. Interesant este că doar una singură (ipoteza Riemann) apare pe ambele liste.