AristotelEdit

Cea mai veche formulare cunoscută este în discuția lui Aristotel despre principiul non-contradicției, propusă pentru prima dată în Despre interpretare, unde spune că din două propoziții contradictorii (adică atunci când o propoziție este negația celeilalte) una trebuie să fie adevărată, iar cealaltă falsă. De asemenea, îl enunță ca principiu și în cartea 3 din Metafizica, spunând că este necesar în orice caz să se afirme sau să se nege și că este imposibil să existe ceva între cele două părți ale unei contradicții.

Aristotel scria că ambiguitatea poate apărea din folosirea unor nume ambigue, dar nu poate exista în faptele însele:

Este imposibil, deci, ca „a fi om” să însemne tocmai „a nu fi om”, dacă „om” nu numai că înseamnă ceva despre un subiect, dar are și o singură semnificație. … Și nu va fi posibil să fie și să nu fie același lucru, decât în virtutea unei ambiguități, la fel ca și în cazul în care unul pe care noi îl numim „om”, iar alții l-ar numi „non-om”; dar problema în discuție nu este aceasta, dacă același lucru poate fi și nu poate fi în același timp om cu numele, ci dacă poate fi în fapt. (Metafizica 4.4, W.D. Ross (trad.), GBWW 8, 525-526).

Afirmația lui Aristotel că „nu va fi posibil să fie și să nu fie același lucru”, care ar fi scrisă în logica propozițională ca ¬(P ∧ ¬P), este o afirmație pe care logicienii moderni ar putea-o numi legea mijlocului exclus (P ∨ ¬P), deoarece distribuția negației afirmației lui Aristotel le face echivalente, indiferent de faptul că prima susține că niciun enunț nu este atât adevărat, cât și fals, în timp ce cea de-a doua cere ca orice enunț să fie fie fie adevărat, fie fals.

Dar Aristotel mai scrie: „întrucât este imposibil ca contradictoriile să fie în același timp adevărate despre același lucru, evident că nici contrariile nu pot aparține în același timp aceluiași lucru” (Cartea a IV-a, CH 6, p. 531). El propune apoi că „nu poate exista un intermediar între contradictorii, ci despre un subiect trebuie fie să afirmăm, fie să negăm un predicat oarecare” (Cartea IV, CH 7, p. 531). În contextul logicii tradiționale a lui Aristotel, aceasta este o afirmație remarcabil de precisă a legii mijlocului exclus, P ∨ ¬P.

De asemenea, în Despre interpretare, Aristotel pare să nege legea mijlocului exclus în cazul contingențelor viitoare, în discuția sa despre bătălia pe mare.

LeibnizEdit

Forma sa obișnuită, „Orice judecată este fie adevărată, fie falsă” ..” (din Kolmogorov în van Heijenoort, p. 421) nota de subsol 9: „Aceasta este formularea foarte simplă a lui Leibniz (vezi Nouveaux Essais, IV,2)” (ibid p 421)

Bertrand Russell și Principia MathematicaEdit

Principiul a fost enunțat ca teoremă a logicii propoziționale de Russell și Whitehead în Principia Mathematica sub forma:

∗ 2 ⋅ 11 . ⊢ . p ∨ ∼ p {\displaystyle \mathbf {*2\cdot 11} .\ \ \ \vdash .\ p\ p\ \vee \thicksim p}

.

Deci, ce este „adevărul” și „minciuna”? În deschidere, PM anunță rapid câteva definiții:

Valoarea adevărului. „Valoarea de adevăr” a unei propoziții este adevăr dacă este adevărată și falsă dacă este falsă* …valoarea de adevăr a lui „p ∨ q” este adevăr dacă valoarea de adevăr fie a lui p, fie a lui q este adevăr, iar în caz contrar este falsă … cea a lui „~ p” este opusă celei a lui p…”. (p. 7-8)

Acest lucru nu este de mare ajutor. Dar mai târziu, într-o discuție mult mai profundă („Definiția și ambiguitatea sistematică a Adevărului și a Falsului” Capitolul II partea a III-a, p. 41 și urm.), PM definește adevărul și falsitatea în termenii unei relații între „a” și „b” și „percipient”. De exemplu, „Acest „a” este „b”” (de exemplu, „Acest „obiect a” este „roșu””) înseamnă de fapt „”obiectul a” este un sens-datum” și „”roșu” este un sens-datum”, iar acestea „stau în relație” unul cu celălalt și în relație cu „eu”. Astfel, ceea ce vrem să spunem cu adevărat este: „Eu percep că „Acest obiect a este roșu””, iar acesta este un „adevăr” de necontestat de către a treia parte.

PM definește în continuare o distincție între un „sens-datum” și o „senzație”:

Atunci când judecăm (spunem) „acesta este roșu”, ceea ce apare este o relație a trei termeni, mintea, și „acesta”, și „roșu”. Pe de altă parte, atunci când percepem „roșeața acestui lucru”, are loc o relație de doi termeni, și anume mintea și obiectul complex „roșeața acestui lucru” (pp. 43-44).

Russell a reiterat distincția sa între „date senzoriale” și „senzație” în cartea sa The Problems of Philosophy (1912), publicată în același timp cu PM (1910-1913):

Să dăm numele de „date senzoriale” lucrurilor care sunt cunoscute imediat în senzație: lucruri precum culorile, sunetele, mirosurile, duritățile, asperitățile și așa mai departe. Vom da numele de „senzație” experienței de a fi imediat conștient de aceste lucruri… Culoarea însăși este un datum senzorial, nu o senzație. (p. 12)

Russell și-a descris mai departe raționamentul care stă la baza definițiilor sale despre „adevăr” și „falsitate” în aceeași carte (capitolul XII, Adevăr și falsitate).

Consecințele legii mijlocului exclus din Principia MathematicaEdit

Din legea mijlocului exclus, formula ✸2.1 din Principia Mathematica, Whitehead și Russell derivă unele dintre cele mai puternice instrumente din trusa de instrumente de argumentare a logicianului. (În Principia Mathematica, formulele și propozițiile sunt identificate printr-un asterisc de frunte și două numere, cum ar fi „✸2.1”.)

✸2.1 ~p ∨ p „Aceasta este legea mijlocului exclus” (PM, p. 101).

Demonstrarea lui ✸2.1 este aproximativ după cum urmează: „Ideea primitivă” 1.08 definește p → q = ~p ∨ q. Înlocuind p cu q în această regulă rezultă p → p = ~p ∨ p. Deoarece p → p este adevărată (aceasta este Teorema 2.08, care se demonstrează separat), atunci ~p ∨ p trebuie să fie adevărată.

✸2.11 p ∨ ~p (Permutarea aserțiunilor este permisă de axioma 1.4)
✸2.12 p → ~(~p) (Principiul dublei negații, partea 1: dacă „acest trandafir este roșu” este adevărat, atunci nu este adevărat că „‘acest trandafir nu este roșu’ este adevărat”.)
✸2.13 p ∨ ~{~(~p)} (Lema împreună cu 2.12 folosită pentru a deriva 2.14)
✸2.14 ~(~p) → p (Principiul dublei negații, partea 2)
✸2.15 (~p → q) → (~q → p) (Unul dintre cele patru „Principii de transpunere”. Similar cu 1.03, 1.16 și 1.17. Aici a fost necesară o demonstrație foarte lungă.)
✸2.16 (p → q) → (~q → ~p) (Dacă este adevărat că „Dacă acest trandafir este roșu, atunci acest porc zboară”, atunci este adevărat că „Dacă acest porc nu zboară, atunci acest trandafir nu este roșu”.”)
✸2.17 ( ~p → ~q ) → (q → p) (Un alt „Principiu al transpunerii”.)
✸2.18 (~p → p) → p (Numit „Complementul lui reductio ad absurdum. Afirmă că o propoziție care rezultă din ipoteza propriei sale falsități este adevărată.” (PM, pp. 103-104).)

Majoritatea acestor teoreme – în special ✸2.1, ✸2.11 și ✸2.14 – sunt respinse de intuiționism. Aceste instrumente sunt refăcute într-o altă formă pe care Kolmogorov o citează ca fiind „cele patru axiome de implicare ale lui Hilbert” și „cele două axiome de negație ale lui Hilbert” (Kolmogorov în van Heijenoort, p. 335).

Propozițiile ✸2.12 și ✸2.14, „dubla negație”: Scrierile intuiționiste ale lui L. E. J. J. Brouwer se referă la ceea ce el numește „principiul reciprocității speciilor multiple, adică la principiul că pentru orice sistem corectitudinea unei proprietăți rezultă din imposibilitatea imposibilității acestei proprietăți” (Brouwer, ibidem, p. 335).

Acest principiu este numit în mod obișnuit „principiul dublei negații” (PM, pp. 101-102). Din legea mijlocului exclus (✸2.1 și ✸2.11), PM deduce imediat principiul ✸2.12. Înlocuim ~p cu p în 2.11 pentru a obține ~p ∨ ~(~p), iar prin definiția implicației (adică 1.01 p → q = ~p ∨ q) atunci ~p ∨ ~(~p)= p → ~(~p). QED (Derivarea lui 2.14 este un pic mai complicată.)

ReichenbachEdit

Este corect, cel puțin pentru logica bivalentă – adică se poate vedea cu ajutorul unei hărți Karnaugh – că această lege înlătură „mijlocul” incluzivului – sau folosit în legea sa (3). Și acesta este scopul demonstrației lui Reichenbach că unii cred că exclusivul-or ar trebui să ia locul incluzivului-or.

Despre această problemă (în termeni, desigur, foarte tehnici) Reichenbach observă:

Tertium non datur 29. (x) nu este exhaustivă în termenii săi majori și, prin urmare, este o formulă umflată. Acest fapt poate explica, poate, de ce unii oameni consideră nerezonabilă scrierea (29) cu semnul incluziv-„sau”, și doresc ca ea să fie scrisă cu semnul exclusiv-„sau” 30. (x), unde simbolul „⊕” semnifică exclusiv-or, formă în care ar fi pe deplin exhaustivă și, prin urmare, nomologică în sens restrâns. (Reichenbach, p. 376)

În rândul (30), „(x)” înseamnă „pentru toți” sau „pentru fiecare”, o formă folosită de Russell și Reichenbach; astăzi simbolistica este de obicei ∀ {\displaystyle \forall }

x. Astfel, un exemplu de expresie ar arăta în felul următor:

• (porc): (Flies(porc) ⊕ ~Flies(porc))
• (Pentru toate cazurile de „porc” văzute și nevăzute): („Porcul zboară” sau „Porcul nu zboară”, dar nu ambele simultan)

Logicieni versus intuiționiștiEdit

De la sfârșitul anilor 1800 până în anii 1930, o dezbatere acerbă și persistentă a avut loc între Hilbert și adepții săi versus Hermann Weyl și L. E. J. Brouwer. Filozofia lui Brouwer, numită intuiționism, a început în mod serios cu Leopold Kronecker la sfârșitul anilor 1800.

Hilbert disprețuia intens ideile lui Kronecker:

Kronecker a insistat că nu poate exista existență fără construcție. Pentru el, ca și pentru Paul Gordan , dovada lui Hilbert a finitudinii bazei sistemului invariant nu era pur și simplu matematică. Pe de altă parte, Hilbert, pe tot parcursul vieții sale, avea să insiste asupra faptului că, dacă se poate dovedi că atributele atribuite unui concept nu vor duce niciodată la o contradicție, existența matematică a conceptului este astfel stabilită (Reid p. 34)

El susținea că nu se poate spune că nimic nu are existență matematică dacă nu poate fi construit efectiv cu un număr finit de numere întregi pozitive (Reid p. 26)

Dezbaterea a avut un efect profund asupra lui Hilbert. Reid indică faptul că a doua problemă a lui Hilbert (una dintre problemele lui Hilbert de la cea de-a doua Conferință Internațională de la Paris din 1900) a evoluat din această dezbatere (italice în original):

În a doua sa problemă ceruse o dovadă matematică a consistenței axiomelor aritmeticii numerelor reale. Pentru a arăta semnificația acestei probleme, el a adăugat următoarea observație: „Dacă unui concept i se atribuie atribute contradictorii, eu spun că, din punct de vedere matematic, conceptul nu există.” (Reid p. 71)

Atunci Hilbert spunea: „Dacă se demonstrează că p și ~p sunt amândouă adevărate, atunci p nu există”, invocând astfel legea mijlocului exclus turnată sub forma legii contradicției.

Și în cele din urmă constructiviștii … au restrâns matematica la studiul operațiilor concrete asupra structurilor finite sau potențial (dar nu efectiv) infinite; totalitățile infinite completate … au fost respinse, ca și dovezile indirecte bazate pe legea mijlocului exclus. Cei mai radicali dintre constructiviști au fost intuiționiștii, conduși de topologul de odinioară L. E. J. Brouwer (Dawson p. 49)

Dezbaterea ranchiunoasă a continuat de la începutul anilor 1900 până în anii 1920; în 1927 Brouwer s-a plâns de „polemizarea împotriva ei pe un ton batjocoritor” (Brouwer în van Heijenoort, p. 492). Dar dezbaterea a fost fertilă: a avut ca rezultat Principia Mathematica (1910-1913), iar această lucrare a dat o definiție precisă legii mijlocului exclus, iar toate acestea au oferit un cadru intelectual și instrumentele necesare matematicienilor de la începutul secolului al XX-lea:

Din această ranchiună, și generate în parte de ea, au apărut mai multe dezvoltări logice importante….axiomatizarea de către Zermelo a teoriei seturilor (1908a) … care a fost urmată doi ani mai târziu de primul volum al Principia Mathematica …. în care Russell și Whitehead au arătat cum, prin intermediul teoriei tipurilor, o mare parte din aritmetică ar putea fi dezvoltată prin mijloace logiciste (Dawson p. 49)

Brouwer a redus dezbaterea la utilizarea dovezilor concepute pornind de la proba „negativă” sau de „inexistență” versus proba „constructivă”:

Potrivit lui Brouwer, o afirmație că există un obiect având o anumită proprietate înseamnă că, și este dovedită doar atunci când este cunoscută o metodă care, în principiu, va permite cel puțin găsirea sau construirea unui astfel de obiect… Hilbert, în mod firesc, nu a fost de acord. „dovezile de existență pură au fost cele mai importante repere în dezvoltarea istorică a științei noastre”, susținea el. (Reid p. 155) Brouwer … a refuzat să accepte principiul logic al mijlocului exclus… Argumentul său era următorul: „Să presupunem că A este afirmația „Există un membru al ansamblului S care are proprietatea P”. Dacă setul este finit, este posibil – în principiu – să examinăm fiecare membru al lui S și să determinăm dacă există un membru al lui S cu proprietatea P sau dacă fiecărui membru al lui S îi lipsește proprietatea P. Prin urmare, pentru seturile finite, Brouwer a acceptat principiul mijlocului exclus ca fiind valabil. El a refuzat să îl accepte pentru seturile infinite deoarece, dacă setul S este infinit, nu putem – nici măcar în principiu – să examinăm fiecare membru al setului. Dacă, în cursul examinării noastre, găsim un membru al ansamblului cu proprietatea P, prima alternativă este întemeiată; dar dacă nu găsim niciodată un astfel de membru, cea de-a doua alternativă tot nu este întemeiată. Deoarece teoremele matematice sunt adesea demonstrate prin stabilirea faptului că negarea ne-ar implica într-o contradicție, această a treia posibilitate sugerată de Brouwer ar pune sub semnul întrebării multe dintre afirmațiile matematice acceptate în prezent. „A-i lua matematicianului principiul mijlocului exclus”, spunea Hilbert, „este același lucru ca și cum … i-ai interzice boxerului să-și folosească pumnii”. „Posibila pierdere nu părea să-l deranjeze pe Weyl…”. Programul lui Brouwer era lucrul care venea, a insistat el în fața prietenilor săi din Zürich.” (Reid, p. 149)}}}.

În prelegerea sa din 1941 de la Yale și în lucrarea ulterioară, Gödel a propus o soluție: „că negarea unei propoziții universale trebuie înțeleasă ca afirmând existența … unui contraexemplu” (Dawson, p. 157))

Abordarea lui Gödel la legea mijlocului exclus a fost de a afirma că obiecțiile împotriva „utilizării „definițiilor impredicative”” „au mai multă greutate” decât „legea mijlocului exclus și teoremele conexe ale calculului propozițional” (Dawson p. 156). El și-a propus „sistemul Σ … și a încheiat prin menționarea câtorva aplicații ale interpretării sale. Printre acestea se numără o demonstrație a consistenței cu logica intuiționistă a principiului ~ (∀A: (A ∨ ~A)) (în ciuda inconsistenței ipotezei ∃ A: ~ (A ∨ ~A)” (Dawson, p. 157)

Dezbaterea părea să slăbească: matematicienii, logicienii și inginerii continuă să folosească legea mijlocului exclus (și a dublei negații) în activitatea lor de zi cu zi.

Definiții intuiționiste ale legii (principiului) mijlocului exclusEdit

Cele ce urmează evidențiază problema matematică și filozofică profundă din spatele a ceea ce înseamnă „a ști” și, de asemenea, ajută la elucidarea a ceea ce implică „legea” (adică ceea ce înseamnă cu adevărat legea). Dificultățile pe care le întâmpină în legătură cu legea ies la iveală: faptul că nu doresc să accepte ca adevărate implicațiile trase din ceea ce este neverificabil (neverificabil, necunoscut) sau din ceea ce este imposibil sau fals. (Toate citatele sunt din van Heijenoort, italicele sunt adăugate).

Brouwer oferă definiția sa de „principiu al mijlocului exclus”; vedem aici și problema „testabilității”:

Pe baza testabilității pe care tocmai am menționat-o, pentru proprietățile concepute în cadrul unui anumit sistem principal finit, există „principiul mijlocului exclus”, adică principiul că pentru orice sistem orice proprietate este fie corectă, fie imposibilă, și în special principiul reciprocității speciilor complementare, adică principiul că pentru orice sistem corectitudinea unei proprietăți rezultă din imposibilitatea imposibilității acestei proprietăți. (335)

Definiția lui Kolmogorov citează cele două axiome de negație ale lui Hilbert

1. A → (~A → B)
2. (A → B) → {(~A → B) → B}

Prima axiomă de negație a lui Hilbert, „orice rezultă din fals”, și-a făcut apariția abia odată cu apariția logicii simbolice, la fel ca și prima axiomă de implicație…. în timp ce… axioma în discuție afirmă ceva despre consecințele a ceva imposibil: trebuie să acceptăm B dacă judecata adevărată A este considerată falsă… A doua axiomă de negație a lui Hilbert exprimă principiul mijlocului exclus. Principiul este exprimat aici în forma în care este utilizat în cazul derivărilor: dacă B rezultă atât din A, cât și din ~A, atunci B este adevărat. Forma sa obișnuită, „orice judecată este fie adevărată, fie falsă”, este echivalentă cu cea dată mai sus”. Din prima interpretare a negației, adică din interdicția de a considera judecata ca fiind adevărată, nu se poate obține certitudinea că principiul mijlocului exclus este adevărat… Brouwer a arătat că, în cazul unor astfel de judecăți transfinite, principiul mijlocului exclus nu poate fi considerat evident nota de subsol 9: „Aceasta este formularea foarte simplă a lui Leibniz (vezi Nouveaux Essais, IV,2). Formularea „A este fie B, fie nu este B” nu are nimic de-a face cu logica judecăților. nota de subsol 10: „Simbolic, cea de-a doua formă se exprimă astfel: A ∨ ~A

unde ∨ înseamnă „sau”. Echivalența celor două forme este ușor de demonstrat (p. 421)

.