ProblemaEdit

Conjectura Poincaré, propusă de matematicianul francez Henri Poincaré în 1904, a fost una dintre problemele cheie în topologie. Orice buclă pe o sferă 3 – așa cum este exemplificat de ansamblul punctelor aflate la distanța 1 de la origine în spațiul euclidian cvadridimensional – poate fi contractată într-un punct. Conjectura lui Poincaré afirmă că orice mulțime tridimensională închisă, astfel încât orice buclă poate fi contractată într-un punct, este topologic o 3-sferă. Rezultatul analog este cunoscut ca fiind adevărat în dimensiuni mai mari sau egale cu cinci încă din 1960, așa cum reiese din lucrările lui Stephen Smale. Cazul celor patru dimensiuni a rezistat mai mult timp, fiind în cele din urmă rezolvat în 1982 de Michael Freedman. Dar cazul celor trei manifolduri s-a dovedit a fi cel mai dificil dintre toate. În linii mari, acest lucru se datorează faptului că în manipularea topologică a unui tri-manifold există prea puține dimensiuni pentru a muta „regiunile problematice” din drum fără a interfera cu altceva. Cea mai fundamentală contribuție la cazul tridimensional a fost adusă de Richard S. Hamilton. Rolul lui Perelman a fost de a completa programul lui Hamilton.

Dovada lui PerelmanEdit

În noiembrie 2002, Perelman a postat pe arXiv primul din trei preprinturi, în care pretindea că a schițat o demonstrație a conjecturei geometrizării, din care conjectura lui Poincaré este un caz particular. Aceasta a fost urmată de celelalte două preprinturi în 2003.

Perelman a modificat programul lui Richard S. Hamilton pentru o demonstrație a conjecturei. Ideea centrală este reprezentată de noțiunea de flux Ricci. Ideea fundamentală a lui Hamilton este de a formula un „proces dinamic” în care o anumită tri-manifoldă este distorsionată geometric, procesul de distorsiune fiind guvernat de o ecuație diferențială analogă cu ecuația căldurii. Ecuația căldurii (care l-a motivat mult mai devreme pe Riemann să enunțe ipoteza lui Riemann asupra zerourilor funcției zeta) descrie comportamentul unor mărimi scalare precum temperatura. Ea asigură faptul că concentrațiile de temperatură ridicată se vor răspândi până când se obține o temperatură uniformă în întregul obiect. În mod similar, fluxul Ricci descrie comportamentul unei cantități tensoriale, tensorul de curbură Ricci. Speranța lui Hamilton era că, în cadrul fluxului Ricci, concentrațiile de curbură mare se vor răspândi până când se va ajunge la o curbură uniformă pe întreaga triplu-manifoltă. În acest caz, dacă se pornește de la orice tri-manifold și se lasă să apară fluxul Ricci, atunci ar trebui, în principiu, să se obțină în cele din urmă un fel de „formă normală”. Potrivit lui William Thurston, această formă normală trebuie să ia una dintre un număr mic de posibilități, fiecare având un tip diferit de geometrie, numite geometrii model Thurston.

Totuși, era de așteptat pe scară largă ca procesul să fie împiedicat de dezvoltarea unor „singularități”. În anii 1990, Hamilton a făcut progrese în ceea ce privește înțelegerea tipurilor posibile de singularități care pot apărea, dar nu a reușit să ofere o descriere cuprinzătoare. Articolele lui Perelman au schițat o soluție. Potrivit lui Perelman, fiecare singularitate arată fie ca un cilindru care se prăbușește pe axa sa, fie ca o sferă care se prăbușește în centrul său. Cu această înțelegere, el a fost capabil să construiască o modificare a fluxului Ricci standard, numită flux Ricci cu operație, care poate elimina sistematic regiunile singulare pe măsură ce acestea se dezvoltă, într-un mod controlat. Ideea fluxului Ricci cu chirurgie a fost prezentă încă dintr-un articol din 1993 al lui Hamilton, care a realizat-o cu succes în 1997 în cadrul unor spații cu dimensiuni mai mari supuse anumitor condiții geometrice restrânse. Procedura de chirurgie a lui Perelman a fost în linii mari similară cu cea a lui Hamilton, dar a fost izbitor de diferită în aspectele sale tehnice.

Perelman a arătat că orice singularitate care se dezvoltă într-un timp finit este în esență o „ciupire” de-a lungul anumitor sfere care corespund descompunerii prime a 3-manifoldului. Mai mult, orice singularitate „în timp infinit” rezultă din anumite bucăți de colaps ale descompunerii JSJ. Lucrarea lui Perelman dovedește această afirmație și, astfel, demonstrează conjectura geometrizării.

Contenutul celor trei lucrări este rezumat mai jos:

• Primul preprint, The entropy formula for the Ricci flow and its geometric applications, oferă multe tehnici noi în studiul fluxului Ricci, al cărui rezultat principal este o teoremă care oferă o caracterizare cantitativă a regiunilor de curbură mare ale fluxului.
• Cel de-al doilea preprint, Ricci flow with surgery on three-manifolds, a corectat unele afirmații incorecte din prima lucrare și completează unele detalii, și folosește rezultatul principal al primei lucrări pentru a prescrie procedura de chirurgie. A doua jumătate a lucrării este dedicată unei analize a fluxurilor Ricci care există pentru un timp infinit.
• Cea de-a treia preprint, Finite extinction time for the solutions to the Ricci flow on certain three-manifolds, oferă o scurtătură pentru demonstrarea conjecturii lui Poincaré care evită argumentele din a doua jumătate a celei de-a doua preprint. Aceasta arată că pe orice spațiu care satisface ipotezele conjecturei Poincaré, fluxul Ricci cu chirurgie există doar pentru un timp finit, astfel încât analiza în timp infinit a fluxului Ricci este irelevantă.

Tobias Colding și William Minicozzi II au furnizat un argument complet alternativ la cea de-a treia preprint a lui Perelman. Argumentul lor, având în vedere condiția prealabilă a unor argumente sofisticate de teorie a măsurilor geometrice, așa cum au fost dezvoltate în anii 1980, este deosebit de simplu.

VerificareEdit

Perelman’s preprints a câștigat rapid atenția comunității matematice, deși au fost în general considerate ca fiind greu de înțeles, deoarece au fost scrise oarecum laconic. Contrar stilului obișnuit în publicațiile matematice academice, multe detalii tehnice fuseseră omise. În curând a devenit evident că Perelman a adus contribuții majore la fundamentele fluxului Ricci, deși nu a fost imediat clar pentru comunitatea matematică că aceste contribuții erau suficiente pentru a demonstra conjectura geometrizării sau conjectura lui Poincaré.

În aprilie 2003, Perelman a vizitat Massachusetts Institute of Technology, Princeton University, Stony Brook University, Columbia University și New York University pentru a ține scurte serii de prelegeri despre munca sa și pentru a clarifica unele detalii pentru experții din domeniile relevante.

În iunie 2003, Bruce Kleiner și John Lott, ambii pe atunci de la University of Michigan, au postat note pe site-ul lui Lott care, secțiune cu secțiune, au completat multe dintre detaliile din prima preimprimare a lui Perelman. În septembrie 2004, notele lor au fost actualizate pentru a include a doua preimprimare a lui Perelman. În urma altor revizuiri și corecții, ei au postat o versiune pe arXiv la 25 mai 2006, a cărei versiune modificată a fost publicată în revista academică Geometry & Topology în 2008. La Congresul Internațional al Matematicienilor din 2006, Lott a declarat: „Ne-a luat ceva timp să examinăm lucrarea lui Perelman. Acest lucru se datorează în parte originalității lucrării lui Perelman și în parte sofisticării tehnice a argumentelor sale. Toate indiciile arată că argumentele sale sunt corecte.” În introducerea la articolul lor, Kleiner și Lott au explicat

Demonstrațiile lui Perelman sunt concise și, uneori, sumare. Scopul acestor note este de a oferi detaliile care lipsesc în … În ceea ce privește dovezile, conțin unele afirmații incorecte și argumente incomplete, pe care am încercat să le semnalăm cititorului. (Unele dintre greșelile din au fost corectate în .) Nu am găsit probleme serioase, adică probleme care nu pot fi corectate folosind metodele introduse de Perelman.

În iunie 2006, revista Asian Journal of Mathematics a publicat un articol de Zhu Xiping de la Universitatea Sun Yat-sen din China și Huai-Dong Cao de la Universitatea Lehigh din Pennsylvania, care oferă o descriere completă a demonstrației lui Perelman a conjecturilor lui Poincaré și a geometrizării. Spre deosebire de articolul lui Kleiner și Lott, care a fost structurat ca o colecție de adnotări la lucrările lui Perelman, articolul lui Cao și Zhu a avut ca scop direct explicarea demonstrațiilor conjecturei Poincaré și a conjecturei de geometrizare. În introducerea lor, ei explică

În această lucrare, vom prezenta teoria Hamilton-Perelman a fluxului Ricci. Pe baza acesteia, vom da prima relatare scrisă a unei demonstrații complete a conjecturii Poincaré și a conjecturii de geometrizare a lui Thurston. Deși lucrarea completă reprezintă un efort cumulat al multor analiști geometrici, principalii contribuitori sunt, fără îndoială, Hamilton și Perelman. În această lucrare, vom oferi demonstrații complete și detaliate, în special ale lucrării lui Perelman din cea de-a doua lucrare a sa, în care multe idei cheie ale demonstrațiilor sunt schițate sau schițate, dar detaliile complete ale demonstrațiilor lipsesc adesea. Așa cum am subliniat anterior, trebuie să înlocuim mai multe argumente cheie ale lui Perelman cu noi abordări bazate pe studiul nostru, deoarece nu am reușit să înțelegem aceste argumente originale ale lui Perelman care sunt esențiale pentru finalizarea programului de geometrizare.

În iulie 2006, John Morgan de la Universitatea Columbia și Gang Tian de la Massachusetts Institute of Technology au postat o lucrare pe arXiv în care au oferit o prezentare detaliată a demonstrației lui Perelman a conjecturei Poincaré. Spre deosebire de expunerile lui Kleiner-Lott și Cao-Zhu, cea a lui Morgan și Tian se ocupă și de cea de-a treia lucrare a lui Perelman. La 24 august 2006, Morgan a ținut o prelegere la ICM din Madrid despre conjectura lui Poincaré, în care a declarat că lucrarea lui Perelman a fost „verificată temeinic”. În 2008, Morgan și Tian au publicat o lucrare care cuprindea detaliile demonstrației conjecturei geometrizării. Cele două articole ale lui Morgan și Tian au fost publicate sub formă de carte de către Clay Mathematics Institute.

Revizuiri ale verificărilorEdit

Toate cele trei expuneri de mai sus au fost revizuite după publicare. S-a constatat că expunerile lui Kleiner-Lott și Morgan-Tian au avut erori (care nu au afectat domeniul larg de aplicare), în timp ce expunerea lui Cao-Zhu a atras critici pentru formularea lor și pentru o eroare de atribuire.

După publicare, articolul lui Kleiner și Lott a fost ulterior revizuit de două ori pentru corecturi, cum ar fi pentru o afirmație incorectă a importantei „teoreme de compactitate” a lui Hamilton pentru fluxul Ricci. Cea mai recentă revizuire a articolului lor a avut loc în 2013. În 2015, Abbas Bahri a semnalat o eroare în expunerea lui Morgan și Tian, care a fost ulterior corectată de Morgan și Tian și a fost pusă pe seama unei greșeli de calcul de bază.

Articolul lui Cao și Zhu a fost supus unor critici din partea unor părți ale comunității matematice pentru alegerea cuvintelor, pe care unii observatori au interpretat-o ca revendicând prea mult credit pentru ei înșiși. Utilizarea cuvântului „aplicație” în titlul lor „A Complete Proof of the Poincaré and Geometrization Conjectures – Application of the Hamilton-Perelman Theory of Ricci Flow” și fraza „This proof should be considered as the crowning achievement of the Hamilton-Perelman theory of Ricci flow” din rezumat au fost deosebit de criticate. Când a fost întrebat despre această problemă, Perelman a declarat că Cao și Zhu nu au contribuit cu nimic original și că pur și simplu au refăcut demonstrația sa deoarece „nu au înțeles bine argumentul”. În plus, una dintre paginile articolului lui Cao și Zhu era în esență identică cu una din postarea din 2003 a lui Kleiner și Lott. Într-o erată publicată, Cao și Zhu au atribuit acest lucru unei inadvertențe, spunând că în 2003 au luat notițe din versiunea inițială a notelor lui Kleiner și Lott, iar în redactarea lor din 2006 nu și-au dat seama de sursa corectă a notelor. Ei au postat o versiune revizuită în arXiv, cu revizuiri în formularea lor și în pagina relevantă a demonstrației.

Puncte de vedere actualeEdit

În 2020, rămân unii matematicieni care, deși este universal recunoscut faptul că Perelman a făcut pași extraordinari în teoria fluxului Ricci, nu acceptă că au fost dovedite conjectura lui Poincaré și cea a geometrizării. Pentru acești observatori, părțile problematice ale demonstrației se află în a doua jumătate a celei de-a doua pretipăriri a lui Perelman. De exemplu, medaliatul Fields Shing-Tung Yau a declarat în 2019 că

Deși poate fi o erezie pentru mine să spun acest lucru, nu sunt sigur că demonstrația este complet bătută în cuie. Sunt convins, așa cum am mai spus de multe ori, că Perelman a făcut o muncă strălucită în ceea ce privește formarea și structura singularităților în spații tridimensionale – muncă care a fost într-adevăr demnă de medalia Fields care i-a fost acordată. Despre acest lucru nu am nicio îndoială Chestiunea este că există foarte puțini experți în domeniul fluxului Ricci și nu am întâlnit încă pe nimeni care să pretindă că are o înțelegere completă a ultimei și celei mai dificile părți a demonstrației lui Perelman Din câte știu eu, nimeni nu a luat unele dintre tehnicile introduse de Perelman spre sfârșitul lucrării sale și le-a folosit cu succes pentru a rezolva orice altă problemă semnificativă. Acest lucru îmi sugerează că nici alți matematicieni nu stăpânesc încă pe deplin această lucrare și metodologiile sale.

În schimb, când premiul Millenium a fost acordat lui Perelman pentru „rezolvarea conjecturei Poincaré” în 2010, medaliatul Fields Simon Donaldson, într-una din laudele pentru premiu, a spus

Din momentul în care au apărut preprinturi referitoare la conjectura Poincaré și Geometrisation, matematicienii din întreaga lume au fost uniți în a-și exprima aprecierea, uimirea și mirarea față de extraordinara sa realizare, și cred că vorbesc aici ca reprezentant al întregii noastre comunități intelectuale. El rezolvă o problemă remarcabilă, veche de un secol.

.