Există două formule de bază pe care le cunoaștem deja:
1) Total = n(Nici un set) + n(Exact un set) + n(Exact două seturi) + n(Exact trei seturi)

2) Total = n(A) + n(B) + n(C) – n(A și B) – n(B și C) – n(B și C) – n(C și A) + n(A și B și C) + n(Nici un set)

Din aceste două formule, le putem deduce pe toate celelalte.

n(Exact un set) + n(Exact două seturi) + n(Exact trei seturi) ne dă n(Cel puțin un set). Așadar, obținem:

3) Total = n(Nici un set) + n(Cel puțin un set)

Din (3), obținem n(Cel puțin un set) = Total – n(Nici un set)

Cuprinzând acest lucru în (2), obținem apoi:

4) n(Cel puțin un set) = n(A) + n(B) + n(C) – n(A și B) – n(B și C) – n(C și A) + n(A și B și C)

Acum să vedem cum putem calcula numărul de persoane din exact două seturi. Există un motiv pentru care am sărit la n(Exact două seturi) în loc să urmăm următorul pas mai logic de a calcula n(Cel puțin două seturi) – va fi mai intuitiv să obținem n(Cel puțin două seturi) după ce găsim n(Exact două seturi).

n(A și B) include persoane care sunt atât în A cât și în B și include, de asemenea, persoane care sunt în A, B și C. Din acest motiv, ar trebui să eliminăm n(A și B și C) din n(A și B) pentru a obține n(doar A și B). În mod similar, se obține n(doar B și C) și n(doar C și A), astfel încât adunând toate aceste trei ne va da numărul de persoane din exact 2 seturi.

n(Exact două seturi) = n(A și B) – n(A și B și C) + n(B și C) – n(A și B și C) + n(C și A) – n(A și B și C). Prin urmare:

5) n(Exact două seturi) = n(A și B) + n(B și C) + n(C și A) – 3*n(A și B și C)

Acum putem obține cu ușurință n(Cel puțin două seturi):

6) n(Cel puțin două seturi) = n(A și B) + n(B și C) + n(C și A) – 2*n(A și B și C)

Acesta este doar n(A și B și C) mai mult decât n(Exact două seturi). Asta are sens, nu-i așa? Aici, includeți persoanele care sunt în toate cele trei seturi o dată și n(Exact două seturi) se transformă în n(Cel puțin două seturi)!

Acum, continuăm să găsim n(Exact un set). Din n(Cel puțin un set), să scădem n(Cel puțin două seturi); adică scădem (6) din (4)

n(Exact un set) = n(Cel puțin un set) – n(Cel puțin două seturi), prin urmare:

7) n(Exact un set) = n(A) + n(B) + n(C) – 2*n(A și B) – 2*n(B și C) – 2*n(C și A) + 3*n(A și B și C)

Nu este nevoie să învățați toate aceste formule. Concentrați-vă doar pe primele două și știți cum puteți ajunge la celelalte, dacă este necesar. Să încercăm acest lucru într-o problemă de exemplu:

Printre 250 de telespectatori intervievați care urmăresc cel puțin unul dintre cele trei canale TV și anume A, B &C. 116 urmăresc A, 127 urmăresc C, în timp ce 107 urmăresc B. Dacă 50 urmăresc exact două canale. Câți urmăresc exact un canal?

(A) 185

(B) 180

(C) 175

(D) 190

(E) 195

Sunt date următoarele:

n(Cel puțin un canal) = 250

n(Exact două canale) = 50

Atunci știm că n(Cel puțin un canal) = n(Exact 1 canal) + n(Exact 2 canale) + n(Exact 3 canale) = 250

250 = n(Exact 1 canal) + 50 + n(Exact 3 canale)

Să găsim valoarea lui n(Exact 3 canale) = x

Știm, de asemenea, că n(Cel puțin un canal) = n(A) + n(B) + n(C) – n(A și B) – n(B și C) – n(C și A) + n(A și B și C) + n(A și B și C) = 250

De asemenea, n(Exact două canale) = n(A și B) + n(B și C) + n(C și A) – 3*n(A și B și C)

Atunci n(A și B) + n(B și C) + n(C și A) = n(Exact două canale) + 3*n(A și B și C)

Înlocuind acest lucru în ecuația de mai sus:

250 = n(A) + n(B) + n(C) – n(Exact două canale) – 3*x + x

.