În cazul eliminării gaussiene, algoritmul cere ca elementele pivot să nu fie zero.Este necesară schimbarea rândurilor sau coloanelor în cazul unui element pivot zero. Sistemul de mai jos necesită interschimbarea rândurilor 2 și 3 pentru a efectua eliminarea.

{\displaystyle \left}

Sistemul care rezultă din pivotare este următorul și va permite algoritmului de eliminare și substituției inversate să producă soluția sistemului.

{\displaystyle \left}

În plus, în eliminarea gaussiană este, în general, de dorit să se aleagă un element pivot cu valoare absolută mare. Acest lucru îmbunătățește stabilitatea numerică. Următorul sistem este afectat în mod dramatic de eroarea de rotunjire atunci când se efectuează eliminarea gaussiană și substituția inversă.

{\displaystyle \left}

Acest sistem are soluția exactă de x1 = 10,00 și x2 = 1,000, dar atunci când se realizează algoritmul de eliminare și substituția inversă folosind aritmetica cu patru cifre, valoarea mică a11 determină propagarea unor mici erori de rotunjire. Algoritmul fără pivotare produce aproximarea lui x1 ≈ 9873,3 și x2 ≈ 4. În acest caz, este de dorit să interschimbăm cele două rânduri astfel încât a21 să se afle în poziția pivotului

. {\displaystyle \left.}