Voi defini o funcție s din N și o voi defini ca fiind suma suma tuturor numerelor întregi pozitive numerelor întregi pozitive numerelor întregi pozitive numerelor întregi pozitive numerelor întregi incluzând n incluzând n incluzând n și astfel domeniul acestei funcții este de fapt toate numere întregi pozitive și trebuie să fie un număr întreg pozitiv, așa că putem încerca cu câteva lucruri, putem lua s de 3, care va fi egal cu 1 plus 2 plus 3, care este egal cu 6, putem lua s de, să luăm s de 4, care va fi 1 plus 2 plus 3 plus 4, care va fi egal cu 10, deci destul de simplu, ceea ce vreau să fac în această funcție. este să vă demonstrez, și de fapt există mai multe moduri de a dovedi asta, că pot scrie asta ca o funcție a lui n, că suma tuturor numerelor întregi pozitive până la n inclusiv este egală cu n ori n plus 1, toate astea peste 2, iar modul în care vă voi demonstra asta, cel puțin primul mod în care o voi face este prin inducție. Este un mod filozofic interesant de a demonstra ceva, pentru că modul în care se face o demonstrație prin inducție este să demonstrezi mai întâi cazul de bază, demonstrezi cazul de bază, așa că, în cazul acestei funcții, această afirmație de aici, asta este ceea ce trebuie să demonstrăm, în cazul acestei afirmații de aici, o vom demonstra mai întâi…1, care va fi cazul nostru de bază, iar apoi vom face pasul de inducție, pasul de inducție care, în esență, constă în a spune că dacă presupunem că funcționează pentru un număr întreg pozitiv K, dacă presupunem asta, atunci putem dovedi că va funcționa pentru următorul număr întreg pozitiv, va funcționa. pentru K plus 1, iar motivul pentru care funcționează, să spunem că vom dovedi dacă dovedim ambele cazuri, deci, în cazul de bază, vom dovedi pentru, în acest caz, vom dovedi pentru 1, vom dovedi pentru 1, dar nu trebuie să fie întotdeauna 1, pentru că s-ar putea să fie 1, pentru că s-ar putea să fie 1. Acest lucru este valabil pentru orice. peste 55 sau peste un anumit prag, dar în acest caz spunem că este adevărat pentru toate numerele întregi pozitive, deci cazul nostru de bază va fi 4 1, iar în următorul F vom încerca să demonstrăm că, dacă presupunem că 4, dacă presupunem că acest lucru este adevărat pentru o parte din K, dacă presupunem că… atunci va fi adevărat pentru o parte din K plus 1, iar motivul pentru care nu trebuie să facem decât atât pentru a demonstra acest lucru pentru toți numerele întregi pozitive este că trebuie doar să ne imaginăm, așa că să ne gândim la toate numerele întregi pozitive de aici, 1, 2, 3, 4, 5, 6, și am putea continua la nesfârșit.1, vom dovedi că această formulă de aici, această expresie se aplică în cazul lui 1 când n este 1 și apoi vom dovedi că, dacă știm că este adevărată pentru orice K dat, este adevărată și pentru următorul K, deci dacă știm că este adevărată pentru 1 în cazul de bază, atunci al doilea pas, acest pas de inducție, spune că trebuie să fie adevărată și pentru 2, deoarece am dovedit că, în general, dacă este adevărată pentru K, va fi adevărată și pentru K plus. 1, bine, dacă este adevărat pentru 2, atunci trebuie să fie adevărat pentru 3, pentru că am dovedit că dacă este adevărat pentru K, este adevărat pentru K plus 1, așa că dacă este adevărat pentru 2, este adevărat pentru 3, iar dacă este adevărat pentru 3, trebuie să fie adevărat pentru 4, și putem continua la nesfârșit, ceea ce înseamnă că este adevărat pentru orice. să facem această funcție pe 1, care va fi suma tuturor numerelor întregi pozitive, inclusiv 1, care va fi literalmente 1. Tocmai le-am adunat pe toate, este doar 1, nu mai există niciun alt număr întreg pozitiv până la 1 inclusiv, și putem dovedi că este același lucru cu 1 ori 1 plus 1, toate acestea peste 2, 1 plus 1 este 2, 2 împărțit la 2 este 1, 1 ori 1 este 1, deci această formulă de aici, această expresie a funcționat. a funcționat pentru 1, așa că am demonstrat că am demonstrat cazul de bază, am demonstrat-o pentru 1. Acum, ceea ce vreau să fac este să presupun că funcționează pentru un număr oarecare, pentru un număr K, așa că voi presupune că este adevărată pentru, voi presupune că este adevărată pentru un număr K, așa că voi presupune că pentru un număr K, această funcție la K va fi egală cu K ori k plus 1 peste 2, așa că presupun că este adevărată pentru acest număr. ceea ce vreau să fac este să mă gândesc la ce se întâmplă când încerc să găsesc această funcție pentru k plus 1, așa că asta presupun, presupun că știu asta, acum să încercăm să o facem pentru k plus 1, deci care este suma tuturor numerelor întregi până la k plus 1 inclusiv, până la k plus 1 inclusiv, va fi 1 plus 2 plus 3 plus tot drumul până la k plus k plus 1. inclusiv k plus 1, presupunem că știm deja ce este, presupunem că avem deja o formulă pentru asta, presupunem că se va simplifica la k ori k plus 1 peste 2 sau presupunem că știm asta, așa că vom lua partea asta și o vom adăuga la k plus 1, așa că o vom adăuga la k plus 1 aici, o vom adăuga la k plus 1 și dacă găsim un numitor comun, dacă găsim un comentariu, vom adăuga la k plus 1. numitorul comun va fi 2, așa că hai să mergem. Acesta va fi egal cu. Voi scrie mai întâi partea de culoare magenta. Acesta este K ori k plus 1 peste 2, plus 2 ori k plus 1 peste 2. Acest lucru în albastru este același lucru cu cel din albastru. Cei doi se vor anula. Tocmai am scris-o în acest fel, așa că am un numitor comun. și voi scrie asta într-o culoare diferită aici, așa că vom avea K ori k plus 1 plus 2 ori k plus 1. Acum, la acest pas, chiar aici, putem extrage un k plus 1. Amândoi acești termeni sunt divizibili cu K plus 1, așa că haideți să extragem dacă extragem un k plus 1, obținem k plus 1, k plus 1 ori k plus 1. Îl fracționăm aici, dacă extragem un k plus 1, avem doar un K aici, dacă extragem un k plus 1, avem doar un… Lasă-mă să le colorez ca să știi ce fac, așa că acest 2 este acest 2 de acolo și acest K, acest K este acest K, acest K este acest K de acolo, am calculat acest k plus o dată, am calculat 2, acest k plus 1 de acolo și va fi totul. peste 2, acum putem rescrie acest lucru, este același lucru, este egal cu, este același lucru cu, este același lucru cu k plus 1, care este partea asta de aici, înmulțit cu k plus 1, k plus 1 plus 1, este clar că este același lucru cu k plus 2, toate astea peste toate astea peste 2. Acum, de ce este interesant pentru noi? Tocmai am dovedit-o. Dacă presupunem că este adevărat, dacă presupunem că este adevărat și dacă folosim această presupunere, obținem că suma tuturor numerelor întregi pozitive până la k plus 1 inclusiv este… egală cu k plus 1 înmulțit cu k plus 1 plus 1 plus 1 peste 2. De fapt, arătăm că formula originală se aplică și la k plus 1. Dacă luăm k plus 1 și o punem pentru n, am putea să o punem pentru n și am obține exact rezultatul pe care l-am obținut noi aici. am demonstrat că am demonstrat cazul nostru de bază, această expresie a funcționat pentru suma tuturor numerelor întregi pozitive până la 1 inclusiv și funcționează și dacă presupunem că funcționează pentru toate numerele întregi până la k sau dacă presupunem că funcționează pentru numărul întreg k, funcționează și pentru numărul k. și pentru întreg k plus 1 și am terminat. Aceasta este dovada noastră, prietene, prin inducție, care ne dovedește că funcționează pentru toate numerele întregi pozitive. De ce este așa? Am dovedit-o pentru 1 și am dovedit că dacă funcționează pentru un număr întreg, va funcționa și pentru următorul număr întreg. pentru un anumit număr întreg, va funcționa și pentru următorul număr întreg, așa că dacă presupunem că a funcționat pentru 1, atunci poate funcționa și pentru 2. Am dovedit deja că funcționează pentru 1, așa că putem presupune că funcționează pentru 1, așa că va funcționa cu siguranță pentru 2, așa că vom obține 2 verificat, dar din moment ce putem presupune că funcționează pentru 2. funcționează pentru doi, acum putem presupune că funcționează pentru trei. Dacă funcționează pentru trei, atunci am dovedit că funcționează pentru patru. Vedeți cum acest pas de inducție este ca un fel de domino, care se înclină în cascadă și putem continua la nesfârșit, așa că va funcționa cu adevărat pentru toți numerele întregi pozitive.