$ \def\P{\mathcal P} % set de puteri \def\iff{\fără săgeată dreaptă stângă}$

Cartografierea, sau prescurtat hartă, este unul dintre multele sinonime folosite pentru funcție.În special, termenul map(ping) este folosit în contexte generale, cum ar fi teoria seturilor, dar utilizarea nu se limitează la aceste cazuri.

Conceptul de mapping în teoria seturilor

În teoria seturilor mapările sunt relații binare speciale.

O cartografiere $f$ de la un ansamblu $A$ la un ansamblu $B$ este o triplă (ordonată) $ f = (A,B,G_f) $ unde $ G_f \subansamblu A \înmulțit cu B $ astfel încât

• (a) dacă $ (x,y) $ și $ (x,y’) \în G_f $ atunci $ y=y’ $, și
• (b) proiecția $ \pi_1 (G_f) = \{ x \mid (x,y) \în G_f \} = A $.

Condiția (a) exprimă faptul că $f$ are o singură valoare. șicondiția (b) că este definită pe $A$.

$A$ este domeniul, $B$ este co-domeniul, iar $G_f$ este graficul mapării. Prin urmare, în acest context, corespondențele sunt egale dacă și numai dacă toate cele trei componente corespunzătoare (domeniu, codominiu și graf) sunt egale.
Corelația este de obicei notată ca $ f : A \la B $, iar $ a \mapsto f(a) $unde $ f(a) := b \iff (a,b) \în G_f $ este valoarea lui $f$ la $a$.

Dacă două corespondențe $ f_1 = (A_1,B_1,G_1) $ și $ f_2 = (A_2,B_2,G_2) $ satisfac

$ A_1 \subansamblul A_2 $, $ B_1 \subansamblu B_2 $ și $ G_1 \subansamblu G_2 $

atunci $f_2$ se numește o extensie a lui $ f_1 $, iar $ f_1 $ o restricție a lui $f_2$.În acest caz, $ f_1 $ este adesea notată ca $ f_2 \vert A_1 $ și, în mod clar, $ f_1 (a) = f_2 (a) $ este valabilă pentru tot $ a \în A_1 $.

Observație:
Câteodată se folosește doar graficul $G_f$ pentru a reprezenta o funcție.În acest caz două corespondențe sunt egale dacă au același graf,și se pot admite grafuri care nu sunt ansambluri ci clase.
În timp ce domeniul funcției poate fi obținut ca proiecție $ \pi_1 (G_f) $ a primei componente, proiecția $ \pi_2 (G_f) $ a celei de-a doua componente nu produce codominiul ci doar imaginea domeniului.Astfel, conceptul de surjectivitate nu este aplicabil.

Compoziție

Două corespondențe pot fi compuse dacă codominiul uneia dintre ele este un subansamblu al domeniului celeilalte corespondențe:

Pentru $ f=(A,B,G_f) $ și $ g=(C,D,G_g) $ cu $ B \subansamblu C $compoziția $ g \circ f $ este reprezentată de harta $ (A,D,G) $ cu

$ G := \{ (a,g(f(a))) \mid a \in A \} = \{ (a,c) \mid (\există b \in B) ( (a,b) \in G_f \land (b,c) \in G_g ) \} $.

Observații:
(a) Condiția $ B \subansamblu C $ poate fi relaxată la $ f(A) \subansamblu C $.
(b) Dacă se folosesc numai grafuri, atunci graful compoziției este definit (ca mai sus) prin

$ G_{g \circ f} := \{ (a,c) \mid (\există b ) ( (a,b) \in G_f \land (b,c) \in G_g ) \} $

dar se poate dovedi a fi goală.

Mappingeri induse

Care corespondență $ f : A \la B $ induce două corespondențe între seturile de puteri $\P(A)$ și $\P(B)$.

$ f_\ast : \P(A) \la \P(B) $ definit prin $ f_\ast (S) := \{ f(a) \mid a \în S \}$ pentru $ S \subansamblu A $

și

$ f^\ast : \P(B) \la \P(A) $ definit prin $ f^\ast (T) := \{ a \mid f(a) \în T \}$ pentru $ T \subansamblul B $

$ f_\ast (S) $ se numește imaginea lui $S$ sub $f$, notată de obicei cu $f(S)$, iar $ f^\ast (T) $ se numește imaginea inversă a lui $T$ sub $f$, notată de obicei cu $f^{-1}(T)$, dar trebuie să fim conștienți că aceste notații comune pot fi ambigue în anumite situații.