Show Mobile Notice Show All Notes Hide All Notes

Capitolul 4 : Integrale multiple

În Calcul I am trecut la subiectul integralelor după ce am terminat discuția despre derivate. Același lucru este valabil și în acest curs. Acum, că am terminat discuția despre derivatele funcțiilor de mai mult de o variabilă, trebuie să trecem la integralele funcțiilor de două sau trei variabile.

Majoritatea subiectelor despre derivate s-au extins oarecum natural de la omologii lor din Calculul I și la fel va fi și aici. Cu toate acestea, deoarece acum implicăm funcții de două sau trei variabile, vor exista și unele diferențe. Vor exista noi notații și unele probleme noi care pur și simplu nu apar atunci când se tratează funcții de o singură variabilă.

Iată o listă a subiectelor abordate în acest capitol.

Integrale duble – În această secțiune vom defini în mod formal integrala dublă, precum și vom da o interpretare rapidă a integralei duble.

Integrale iterate – În această secțiune vom arăta cum poate fi folosită teorema lui Fubini pentru a evalua integralele duble în cazul în care regiunea de integrare este un dreptunghi.

Integrale duble pe regiuni generale – În această secțiune vom începe să evaluăm integralele duble pe regiuni generale, adică regiuni care nu sunt dreptunghiuri. Vom ilustra modul în care o integrală dublă a unei funcții poate fi interpretată ca fiind volumul net al solidului dintre suprafața dată de funcție și planul \(xy\).

Integrale duble în coordonate polare – În această secțiune vom analiza conversia integralelor (inclusiv \(dA\)) în coordonate carteziene în coordonate polare. Regiunile de integrare în aceste cazuri vor fi toate sau porțiuni de discuri sau inele și astfel va trebui, de asemenea, să convertim limitele carteziene originale pentru aceste regiuni în coordonate polare.

Integrale triple – În această secțiune vom defini integrala triplă. De asemenea, vom ilustra destul de multe exemple de stabilire a limitelor de integrare din regiunea tridimensională de integrare. Obținerea limitelor de integrare este adesea partea dificilă a acestor probleme.

Integrale triple în coordonate cilindrice – În această secțiune vom examina conversia integralelor (inclusiv \(dV\)) în coordonate carteziene în coordonate cilindrice. De asemenea, vom converti limitele carteziene originale pentru aceste regiuni în coordonate cilindrice.

Integrale triple în coordonate sferice – În această secțiune vom analiza conversia integralelor (inclusiv \(dV\)) în coordonate carteziene în coordonate sferice. De asemenea, vom converti limitele carteziene originale pentru aceste regiuni în coordonate sferice.

Schimbarea variabilelor – În secțiunile anterioare am convertit coordonatele carteziene în coordonate polare, cilindrice și sferice. În această secțiune vom generaliza această idee și vom discuta modul în care convertim integralele în coordonate carteziene în sisteme de coordonate alternative. Va fi inclusă o derivare a formulei de conversie \(dV\) atunci când se convertește în coordonate sferice.

Ariza suprafeței – În această secțiune vom arăta cum poate fi folosită o integrală dublă pentru a determina aria suprafeței porțiunii unei suprafețe care se află deasupra unei regiuni din spațiul bidimensional.

Arie și volum revizuite – În această secțiune vom rezuma diversele formule de arie și volum din acest capitol.