MCDM sau MCDA sunt acronime bine-cunoscute pentru luarea deciziilor pe criterii multiple și analiza deciziilor pe criterii multiple; Stanley Zionts a contribuit la popularizarea acronimului cu articolul său din 1979 „MCDM – If not a Roman Numeral, then What?”, destinat unui public antreprenorial.

MCDM se ocupă cu structurarea și rezolvarea problemelor de decizie și planificare care implică criterii multiple. Scopul este de a sprijini factorii de decizie care se confruntă cu astfel de probleme. De obicei, nu există o soluție optimă unică pentru astfel de probleme și este necesar să se utilizeze preferințele factorilor de decizie pentru a diferenția între soluții.

„Rezolvarea” poate fi interpretată în diferite moduri. Ar putea corespunde alegerii celei mai „bune” alternative dintr-un set de alternative disponibile (unde „cea mai bună” poate fi interpretată ca fiind „alternativa cea mai preferată” a unui factor de decizie). O altă interpretare a „rezolvării” ar putea fi alegerea unui set mic de alternative bune sau gruparea alternativelor în diferite seturi de preferințe. O interpretare extremă ar putea fi găsirea tuturor alternativelor „eficiente” sau „nedominate” (pe care le vom defini în scurt timp).

Dificultatea problemei provine din prezența a mai mult de un criteriu. Nu mai există o soluție optimă unică pentru o problemă MCDM care poate fi obținută fără a încorpora informații despre preferințe. Conceptul de soluție optimă este adesea înlocuit cu setul de soluții nedominate. O soluție se numește nedominată dacă nu este posibilă îmbunătățirea acesteia în cadrul unui criteriu fără a o sacrifica în cadrul altuia. Prin urmare, este logic ca factorul de decizie să aleagă o soluție din setul nondominat. În caz contrar, el/ea ar putea obține rezultate mai bune în ceea ce privește unele sau toate criteriile, fără a obține rezultate mai slabe la niciunul dintre ele. Cu toate acestea, în general, setul de soluții nedominate este prea mare pentru a fi prezentat decidentului pentru alegerea finală. Prin urmare, avem nevoie de instrumente care să îl ajute pe decident să se concentreze asupra soluțiilor (sau alternativelor) preferate. În mod normal, trebuie să se facă un „compromis” între anumite criterii și altele.

MCDM a fost un domeniu activ de cercetare încă din anii 1970. Există mai multe organizații legate de MCDM, inclusiv International Society on Multi-criteria Decision Making, Euro Working Group on MCDA și INFORMS Section on MCDM. Pentru un istoric, a se vedea: Köksalan, Wallenius și Zionts (2011).MCDM se bazează pe cunoștințe din mai multe domenii, inclusiv:

• Matematică
• Analiză decizională
• Economie
• Tehnologie informatică
• Inginerie software
• Sisteme informaționale

O tipologieEdit

Există diferite clasificări ale problemelor și metodelor MCDM. O distincție majoră între problemele MCDM se bazează pe faptul că soluțiile sunt definite explicit sau implicit.

• Probleme de evaluare cu criterii multiple: Aceste probleme constau într-un număr finit de alternative, cunoscute în mod explicit la începutul procesului de soluționare. Fiecare alternativă este reprezentată prin performanța sa în mai multe criterii. Problema poate fi definită ca fiind găsirea celei mai bune alternative pentru un factor de decizie (DM) sau găsirea unui set de alternative bune. De asemenea, se poate fi interesat de „sortarea” sau „clasificarea” alternativelor. Sortarea se referă la plasarea alternativelor într-un set de clase ordonate în funcție de preferințe (cum ar fi atribuirea de ratinguri de credit țărilor), iar clasificarea se referă la atribuirea alternativelor la seturi neordonate (cum ar fi diagnosticarea pacienților pe baza simptomelor acestora). Unele dintre metodele MCDM din această categorie au fost studiate într-o manieră comparativă în cartea lui Triantaphyllou pe această temă, 2000.
• Probleme de proiectare cu criterii multiple (probleme de programare matematică cu obiective multiple): În aceste probleme, alternativele nu sunt cunoscute în mod explicit. O alternativă (soluție) poate fi găsită prin rezolvarea unui model matematic. Numărul de alternative este fie infinit (numărabil sau nu), fie finit, dar de obicei exponențial de mare (în ceea ce privește numărul de variabile care variază pe domenii finite.)

Dacă este vorba de o problemă de evaluare sau de o problemă de proiectare, sunt necesare informații privind preferințele DM pentru a face diferența între soluții. Metodele de soluționare a problemelor MCDM sunt în mod obișnuit clasificate pe baza momentului de obținere a informațiilor de preferință de la DM.

Există metode care necesită informațiile de preferință ale DM la începutul procesului, transformând problema în esență într-o problemă cu un singur criteriu. Se spune că aceste metode funcționează prin „articularea prealabilă a preferințelor”. Metodele bazate pe estimarea unei funcții de valoare sau pe utilizarea conceptului de „relații de ierarhizare”, procesul de ierarhizare analitică și unele metode bazate pe reguli de decizie încearcă să rezolve probleme de evaluare pe criterii multiple utilizând articularea prealabilă a preferințelor. În mod similar, există metode dezvoltate pentru a rezolva probleme de proiectare pe criterii multiple utilizând articularea prealabilă a preferințelor prin construirea unei funcții de valoare. Poate că cea mai cunoscută dintre aceste metode este programarea obiectivelor. Odată ce funcția de valoare este construită, programul matematic cu obiectiv unic rezultat este rezolvat pentru a obține o soluție preferată.

Câteva metode necesită informații privind preferințele din partea DM pe tot parcursul procesului de soluționare. Acestea sunt denumite metode interactive sau metode care necesită „articularea progresivă a preferințelor”. Aceste metode au fost bine dezvoltate atât pentru evaluarea pe criterii multiple (a se vedea, de exemplu, Geoffrion, Dyer și Feinberg, 1972, și Köksalan și Sagala, 1995 ), cât și pentru problemele de proiectare (a se vedea Steuer, 1986).

Problemele de proiectare pe criterii multiple necesită, de obicei, rezolvarea unei serii de modele de programare matematică pentru a dezvălui soluții definite implicit. Pentru aceste probleme, o reprezentare sau o aproximare a „soluțiilor eficiente” poate fi, de asemenea, de interes. Această categorie este denumită „articularea ulterioară a preferințelor”, ceea ce implică faptul că implicarea DM începe ulterior dezvăluirii explicite a soluțiilor „interesante” (a se vedea, de exemplu, Karasakal și Köksalan, 2009).

Când modelele de programare matematică conțin variabile întregi, problemele de proiectare devin mai greu de rezolvat. Optimizarea combinatorie multiobiectivală (MOCO) constituie o categorie specială de astfel de probleme care prezintă dificultăți substanțiale de calcul (a se vedea Ehrgott și Gandibleux, 2002, pentru o analiză).

Reprezentări și definițiiEdit

Problema MCDM poate fi reprezentată în spațiul criteriilor sau în spațiul deciziilor. Alternativ, dacă diferite criterii sunt combinate printr-o funcție liniară ponderată, este de asemenea posibil să se reprezinte problema în spațiul ponderilor. Mai jos sunt prezentate demonstrațiile spațiilor de criterii și de ponderare, precum și câteva definiții formale.

Reprezentarea spațiului de criteriiEdit

Să presupunem că evaluăm soluții într-o anumită situație problematică folosind mai multe criterii. Să presupunem, de asemenea, că mai mult este mai bine la fiecare criteriu. Atunci, dintre toate soluțiile posibile, în mod ideal suntem interesați de acele soluții care au performanțe bune în toate criteriile considerate. Cu toate acestea, este puțin probabil să avem o singură soluție care să aibă performanțe bune în toate criteriile considerate. În mod obișnuit, unele soluții au performanțe bune în anumite criterii, iar altele în altele. Găsirea unei modalități de negociere între criterii este unul dintre principalele eforturi în literatura MCDM.

Matematic, problema MCDM corespunzătoare argumentelor de mai sus poate fi reprezentată ca

„max” q sub rezerva q ∈ Q

unde q este vectorul a k funcții criteriu (funcții obiectiv) și Q este setul fezabil, Q ⊆ Rk.

Dacă Q este definit explicit (printr-un set de alternative), problema rezultată se numește o problemă de evaluare multicriterială.

Dacă Q este definit implicit (printr-un set de constrângeri), problema rezultată se numește o problemă de proiectare multicriterială.

Cuvintele sunt folosite pentru a indica faptul că maximizarea unui vector nu este o operație matematică bine definită. Acest lucru corespunde argumentului conform căruia va trebui să găsim o modalitate de a rezolva compromisul dintre criterii (de obicei pe baza preferințelor unui decident) atunci când nu există o soluție care să fie performantă la toate criteriile.

Reprezentarea spațiului decizionalEdit

Spațiul decizional corespunde ansamblului de decizii posibile care ne sunt disponibile. Valorile criteriilor vor fi consecințe ale deciziilor pe care le luăm. Prin urmare, putem defini o problemă corespunzătoare în spațiul decizional. De exemplu, în proiectarea unui produs, decidem asupra parametrilor de proiectare (variabile de decizie), fiecare dintre aceștia afectând măsurile de performanță (criterii) cu care evaluăm produsul nostru.

Matematic, o problemă de proiectare cu criterii multiple poate fi reprezentată în spațiul de decizie după cum urmează:

max q = f ( x ) = f ( x 1 , … , x n ) sub rezerva q ∈ Q = { f ( x ) : x ∈ X , X ⊆ R n } {\displaystyle {\begin{aligned}\max q&=f(x)=f(x_{1},\ldots ,x_{n})\{\text{sub rezerva}}\q\in Q&=\{f(x):x\in X,\,X\subseteq \mathbb {R} ^{n}\\}\end{aligned}}}}}

unde X este setul fezabil și x este vectorul variabilei de decizie de dimensiune n.

Un caz special bine dezvoltat se obține atunci când X este un poliedru definit prin inegalități și egalități liniare. Dacă toate funcțiile obiectiv sunt liniare în funcție de variabilele de decizie, această variantă conduce la programarea liniară cu obiective multiple (MOLP), o subclasă importantă de probleme MCDM.

Există mai multe definiții care sunt esențiale în MCDM. Două definiții strâns legate între ele sunt cele ale nondominanței (definite pe baza reprezentării spațiului de criterii) și ale eficienței (definite pe baza reprezentării variabilelor de decizie).

Definiția 1. q* ∈ Q este nondominantă dacă nu există un alt q ∈ Q astfel încât q ≥ q* și q ≠ q*.

În linii mari, o soluție este nondominantă atâta timp cât nu este inferioară oricărei alte soluții disponibile în toate criteriile considerate.

Definiția 2. x* ∈ X este eficient dacă nu există un alt x ∈ X astfel încât f(x) ≥ f(x*) și f(x) ≠ f(x*).

Dacă o problemă MCDM reprezintă bine o situație decizională, atunci soluția cea mai preferată a unui DM trebuie să fie o soluție eficientă în spațiul decizional, iar imaginea sa este un punct nedominat în spațiul criteriilor. Următoarele definiții sunt, de asemenea, importante.

Definiția 3. q* ∈ Q este slab nedominată dacă nu există un alt q ∈ Q astfel încât q > q*.

Definiția 4. Definiția 5. q* ∈ Q este slab nedominată dacă nu există un alt q ∈ Q astfel încât q > q*. x* ∈ X este slab eficient dacă nu există un alt x ∈ X astfel încât f(x) > f(x*).

Punctele slab nedominate includ toate punctele nedominate și unele puncte dominate speciale. Importanța acestor puncte dominate speciale provine din faptul că ele apar frecvent în practică și este necesară o atenție deosebită pentru a le distinge de punctele nedominate. Dacă, de exemplu, maximizăm un singur obiectiv, ne putem trezi cu un punct slab nedominat care este dominat. Punctele dominate ale ansamblului slab nedominate sunt situate fie pe planuri verticale, fie pe planuri orizontale (hiperplane) în spațiul criteriilor.

Punct ideal: (în spațiul criterial) reprezintă cel mai bun (maximul pentru problemele de maximizare și minimul pentru problemele de minimizare) al fiecărei funcții obiectiv și corespunde, de obicei, unei soluții nefezabile.

Punctul Nadir: (în spațiul criterial) reprezintă cel mai rău (minimul pentru problemele de maximizare și maximul pentru problemele de minimizare) al fiecărei funcții obiectiv dintre punctele din setul nedominat și corespunde de obicei unui punct dominat.

Punctul ideal și punctul nadir sunt utile pentru DM pentru a obține „senzația” gamei de soluții (deși nu este simplu de găsit punctul nadir pentru problemele de proiectare care au mai mult de două criterii).

Ilustrații ale spațiilor de decizie și de criteriiEdit

Următoarea problemă MOLP cu două variabile în spațiul variabilelor de decizie va ajuta la demonstrarea grafică a unora dintre conceptele cheie.

max f 1 ( x ) = – x 1 + 2 x 2 max f 2 ( x ) = 2 x 1 – x 2 sub rezerva x 1 ≤ 4 x 2 ≤ 4 x 1 + x 2 ≤ 7 – x 1 + x 2 ≤ 3 x 1 – x 2 ≤ 3 x 1 , x 2 ≥ 0 {\displaystyle {\begin{aligned}\max f_{1}(\mathbf {x} )&=-x_{1}+2x_{2}\\max f_{2}(\mathbf {x} )&=2x_{1}-x_{2}\\{text{sub rezerva}}\x_{1}&\leq 4\x_{2}&\leq 4\x_{1}+x_{2}&\leq 7\-x_{1}+x_{2}&\leq 3\x_{1}-x_{2}&\leq 3\x_{1},x_{2}&\geq 0\end{aligned}}}

În figura 1, punctele extreme „e” și „b” maximizează primul și, respectiv, al doilea obiectiv. Limita roșie dintre aceste două puncte extreme reprezintă setul eficient. Se poate observa din figură că, pentru orice soluție fezabilă aflată în afara setului eficient, este posibil să se îmbunătățească ambele obiective cu ajutorul unor puncte din setul eficient. Dimpotrivă, pentru orice punct din setul eficient, nu este posibil să se îmbunătățească ambele obiective prin trecerea la orice altă soluție fezabilă. La aceste soluții, trebuie să se facă un sacrificiu de la unul dintre obiective pentru a îmbunătăți celălalt obiectiv.

Datorită simplității sale, problema de mai sus poate fi reprezentată în spațiul de criterii prin înlocuirea x-urilor cu f-urile, după cum urmează:

Max f1 Max f2 cu condiția f1 + 2f2 ≤ 12 2f1 + f2 ≤ 12 f1 + f2 ≤ 7 f1 – f2 ≤ 9 -f1 + f2 ≤ 9 f1 + 2f2 ≥ 0 2f1 + f2 ≥ 0

În figura 2 prezentăm spațiul criterial sub formă grafică. Este mai ușor de detectat punctele nedominate (care corespund soluțiilor eficiente în spațiul de decizie) în spațiul de criterii. Regiunea nord-estică a spațiului fezabil constituie ansamblul punctelor nedominate (pentru problemele de maximizare).

Generarea soluțiilor nedominateEdit

Există mai multe modalități de a genera soluții nedominate. Vom discuta două dintre acestea. Prima abordare poate genera o clasă specială de soluții nedominate, în timp ce a doua abordare poate genera orice soluție nedominată.

• Sume ponderate (Gass & Saaty, 1955)

Dacă combinăm criteriile multiple într-un singur criteriu prin înmulțirea fiecărui criteriu cu o pondere pozitivă și însumarea criteriilor ponderate, atunci soluția problemei cu un singur criteriu rezultată este o soluție eficientă specială. Aceste soluții eficiente speciale apar în punctele de colț ale setului de soluții disponibile. Soluțiile eficiente care nu se află în puncte de colț au caracteristici speciale, iar această metodă nu este capabilă să găsească astfel de puncte. Din punct de vedere matematic, putem reprezenta această situație ca

max wT.q = wT.f(x), w> 0 sub rezerva x ∈ X

Prin variația ponderilor, sumele ponderate pot fi utilizate pentru a genera soluții eficiente de puncte extreme pentru problemele de proiectare și puncte susținute (convexe nedominate) pentru problemele de evaluare.

• Funcția de scalarizare a realizărilor (Wierzbicki, 1980)

Funcțiile scalarizatoare de realizare combină, de asemenea, mai multe criterii într-un singur criteriu prin ponderarea lor într-un mod foarte special. Ele creează contururi dreptunghiulare care se îndepărtează de un punct de referință spre soluțiile eficiente disponibile. Această structură specială permite funcțiilor de scalarizare a realizărilor să ajungă la orice soluție eficientă. Aceasta este o proprietate puternică care face ca aceste funcții să fie foarte utile pentru problemele MCDM.

Matematic, putem reprezenta problema corespunzătoare ca

Min s(g, q, w, ρ) = Min {maxi + ρ ∑i (gi – qi)}, sub rezerva q ∈ Q

Funcția de scalarizare a realizărilor poate fi utilizată pentru a proiecta orice punct (fezabil sau nefezabil) pe frontiera eficientă. Orice punct (susținut sau nu) poate fi atins. Al doilea termen din funcția obiectiv este necesar pentru a evita generarea de soluții ineficiente. Figura 3 demonstrează modul în care un punct fezabil, g1, și un punct nefezabil, g2, sunt proiectate pe punctele nedominate, q1 și, respectiv, q2, de-a lungul direcției w, utilizând o funcție de scalarizare a realizării. Contururile punctate și solide corespund contururilor funcției obiectiv cu și, respectiv, fără al doilea termen al funcției obiectiv.

Rezolvarea problemelor MCDMEdit

S-au dezvoltat diferite școli de gândire pentru rezolvarea problemelor MCDM (atât de tip proiectare, cât și de tip evaluare). Pentru un studiu bibliometric care arată evoluția acestora de-a lungul timpului, vezi Bragge, Korhonen, H. Wallenius și J. Wallenius .

Școala de programare matematică cu obiective multiple

(1) Maximizarea vectorială: Scopul maximizării vectoriale este acela de a aproxima setul nedominat; dezvoltată inițial pentru probleme de programare liniară cu obiective multiple (Evans și Steuer, 1973; Yu și Zeleny, 1975).

(2) Programarea interactivă: Fazele de calcul alternează cu fazele de luare a deciziilor (Benayoun et al., 1971; Geoffrion, Dyer și Feinberg, 1972; Zionts și Wallenius, 1976; Korhonen și Wallenius, 1988). Nu se presupune o cunoaștere explicită a funcției de valoare a DM.

Școala de programare a obiectivelor

Scopul este de a stabili valori țintă apriori pentru obiective și de a minimiza abaterile ponderate de la aceste obiective. Au fost utilizate atât ponderi de importanță, cât și ponderi lexicografice preemptive (Charnes și Cooper, 1961).

Teoreticienii seturilor fuzzy

Seturile fuzzy au fost introduse de Zadeh (1965) ca o extensie a noțiunii clasice de seturi. Această idee este utilizată în mulți algoritmi MCDM pentru a modela și rezolva probleme fuzzy.

Teoreticienii utilității multi-atribute

Funcțiile de utilitate sau de valoare multi-atribute sunt obținute și utilizate pentru a identifica alternativa cea mai preferată sau pentru a clasifica alternativele. Sunt utilizate tehnici elaborate de interviu, care există pentru a elicita funcții de utilitate aditive liniare și funcții de utilitate neliniare multiplicative (Keeney și Raiffa, 1976).

Școala franceză

Școala franceză se concentrează pe ajutorul la decizie, în special familia ELECTRE de metode de ierarhizare care a luat naștere în Franța la mijlocul anilor 1960. Metoda a fost propusă pentru prima dată de Bernard Roy (Roy, 1968).

Școala evolutivă de optimizare multi-obiectiv (EMO)

Agoritmii EMO pornesc de la o populație inițială și o actualizează prin utilizarea unor procese concepute pentru a imita principiile naturale de supraviețuire a celui mai adaptat și operatorii de variație genetică pentru a îmbunătăți populația medie de la o generație la alta. Scopul este de a converge către o populație de soluții care să reprezinte setul nedominat (Schaffer, 1984; Srinivas și Deb, 1994). Mai recent, există eforturi de a încorpora informații despre preferințe în procesul de soluționare a algoritmilor EMO (a se vedea Deb și Köksalan, 2010).

Metode bazate pe teoria sistemelor gri

În anii 1980, Deng Julong a propus teoria sistemelor gri (GST) și primul său model de luare a deciziilor cu mai multe atribute, numit modelul de analiză relațională gri al lui Deng (GRA). Ulterior, cercetătorii sistemelor gri au propus multe metode bazate pe GST, cum ar fi modelul Absolute GRA al lui Liu Sifeng, Grey Target Decision Making (GTDM) și Grey Absolute Decision Analysis (GADA).

Procesul ierarhic analitic (AHP)

Procesul ierarhic analitic (AHP)

AHP descompune mai întâi problema de decizie într-o ierarhie de subprobleme. Apoi, decidentul evaluează importanța relativă a diferitelor sale elemente prin comparații pe perechi. AHP convertește aceste evaluări în valori numerice (ponderi sau priorități), care sunt utilizate pentru a calcula un scor pentru fiecare alternativă (Saaty, 1980). Un indice de consistență măsoară măsura în care decidentul a fost consecvent în răspunsurile sale. AHP este una dintre cele mai controversate tehnici enumerate aici, unii cercetători din comunitatea MCDA considerând că aceasta este imperfectă. Matematica subiacentă este, de asemenea, mai complicată, deși a câștigat o anumită popularitate ca urmare a software-ului disponibil în comerț.

Câteva lucrări au analizat aplicarea tehnicilor MCDM în diferite discipline, cum ar fi MCDM fuzzy, MCDM clasic, energie durabilă și regenerabilă, tehnica VIKOR, sisteme de transport, calitatea serviciilor, metoda TOPSIS, probleme de gestionare a energiei, e-learning, turism și ospitalitate, metodele SWARA și WASPAS.

Metode MCDMEdit

Sunt disponibile următoarele metode MCDM, dintre care multe sunt implementate de software specializat pentru luarea deciziilor:

• Metoda de randomizare a indicilor agregați (AIRM)
• Procesul de ierarhizare analitică (AHP)
• Procesul de rețea analitică (ANP)
• Procesul Balance Beam
• Baza…criterion method (BCM)
• Best worst method (BWM)
• Brown-Gibson model
• Characteristic Objects METhod (COMET)
• Choosing By Advantages (CBA)
• Conjoint Value Hierarchy (CVA)
• Data envelopment analysis
• Decision EXpert (DEX)
• Disaggregation – Aggregation Approaches (UTA*, UTAII, UTADIS)
• Rough set (Rough set approach)
• Dominance-based rough set approach (DRSA)
• ELECTRE (Outranking)
• Evaluation Based on Distance from Average Solution (EDAS)
• Evidential reasoning approach (ER)
• Goal programming (GP)
• Analiza relațională gri (GRA)
• Produsul interior al vectorilor (IPV)
• Măsurarea atractivității printr-o tehnică de evaluare bazată pe categorii (MACBETH)
• Tehnica de evaluare bazată pe categorii (MACBETH)
• Simple Multi-Atribute Rating Technique (SMART)
• Stratified Multi Criteria Decision Making (SMCDM)
• Multi-Attribute Global Inference of Quality (MAGIQ)
• Multi-attribute Global Inference of Quality (MAGIQ)
• Multi-attribute utility theory (MAUT)
• Multi-attribute value theory (MAVT)
• Markovian Multi Criteria Decision Making
• New Approach to Appraisal (NATA)
• Nonstructural Fuzzy Decision Support System (NSFDSS)
• Potentially All Pairwise RanKings of all possible Alternatives (PAPRIKA)
• PROMETHEE (Outranking)
• Ranking based on optimal points (RBOP)
• Stochastic Mulriteria Acceptability Analysis (Analiza de acceptabilitate stochastică multicriterială) (SMAA)
• Metoda de ierarhizare a superiorității și inferiorității (metoda SIR)
• Tehnica de ierarhizare a ordinii de prioritate prin similitudine cu soluția ideală (TOPSIS)
• Analiza valorii (VA)
• . Ingineria valorii (VE)
• Metoda VIKOR
• Modelul produsului ponderat (WPM)
• Modelul sumei ponderate (WSM)
• Modelo Integrado de Valor para Estructuras Sostenibles (MIVES)

.