Articolul principal: Teoria grupurilor Mișcările posibile pe un cub Rubik formează un grup (foarte mare). Teoria grupurilor este utilă ca noțiune abstractă de simetrie, ceea ce o face aplicabilă într-o gamă largă de domenii: relația dintre rădăcinile unui polinom (ca în teoria lui Galois) și metodele de rezolvare a cubului Rubik sunt ambele exemple proeminente.

Informal, un grup este un ansamblu dotat cu o operație binară ∘\circ∘, astfel încât operând asupra oricăror două elemente ale grupului se obține, de asemenea, un element al grupului. De exemplu, numerele întregi formează un grup în cazul adunării, iar numerele reale nenule formează un grup în cazul înmulțirii. Operația ∘\circ∘ trebuie să satisfacă o serie de proprietăți analoge celor pe care le satisface pentru aceste sisteme numerice „normale”: ar trebui să fie asociativă (ceea ce înseamnă, în esență, că ordinea operațiilor nu contează) și ar trebui să existe un element de identitate (0 în primul exemplu de mai sus și 1 în al doilea). Mai formal, un grup este un ansamblu echipat cu o operație ⋅\cdot⋅ astfel încât următoarele axiome să fie valabile; rețineți că ⋅\cdot⋅ nu se referă neapărat la înmulțire; mai degrabă, ar trebui privit ca o funcție pe două variabile (într-adevăr, ⋅\cdot⋅ se poate referi chiar la adunare):

Axiomele grupurilor

1) Asociativitatea. Pentru orice x,y,z∈Gx, y, z \în G x,y,z∈G, avem (x⋅y)⋅z=x⋅(y⋅z) (x \cdot y) \cdot z = x \cdot (y \cdot z) (x⋅y)⋅z=x⋅(y⋅z).
2) Identitate. Există un e∈G e \în G e∈G, astfel încât e⋅x=x⋅e=x e \cdot x = x \cdot e = x e⋅x=x⋅e=x⋅e=x pentru orice x∈Gx \în G x∈G. Spunem că eee este un element identitar al GGG.
3) Inversa. Pentru orice x∈Gx \în Gx∈G, există un y∈Gy \în Gy∈G astfel încât x⋅y=e=e=y⋅xx \cdot y = e = y \cdot x x⋅y=e=e=y⋅x. Spunem că yyy este inversul lui xxx.

De asemenea, merită să notăm axioma de închidere pentru a sublinia, deoarece este important să verificăm închiderea atunci când lucrăm cu subgrupuri (grupuri conținute în întregime în altul):

4) Închiderea. Pentru orice x,y∈Gx, y ȋn G x,y∈G, x∗yx*y x∗y este de asemenea ȋn GGG.

Exemple suplimentare de grupuri includ

• Zn\mathbb{Z}_nZnZn, setul de numere întregi {0,1,…,n-1}\{0, 1, \ldots, n-1\}{0,1,….,n-1} cu operația de adunare modulo nnn
• SnS_nSn, ansamblul permutărilor lui {1,2,…,n}\{1, 2, \ldots, n\}{1,2,…,n} cu operația de compunere.

S3S_3S3S3 merită o notă specială ca exemplu de grup care nu este comutativ, ceea ce înseamnă că a⋅b=b⋅aa \cdot b = b \cdot aa⋅b=b⋅a nu este în general valabil. Din punct de vedere formal, S3S_3S3 este neabelian (un grup abelian este un grup în care operația este comutativă). Atunci când operația nu este clară din context, grupurile se scriu sub forma (set,op)(\text{set}, \text{op})(set,op); de exemplu, realele nenule echipate cu înmulțire pot fi scrise sub forma (R∗,⋅)(\mathbb{R}^*, \cdot)(R∗,⋅).

O mare parte a teoriei grupurilor (și a algebrei abstracte în general) este centrată în jurul conceptului de omomorfism de grup, care înseamnă, în esență, o cartografiere de la un grup la altul care păstrează structura grupului. Cu alte cuvinte, cartografierea produsului a două elemente ar trebui să fie aceeași cu produsul celor două cartografieri; intuitiv vorbind, produsul a două elemente nu ar trebui să se schimbe sub efectul cartografierii. În mod formal, un homomorfism este o funcție ϕ:G→H\phi: G \ dreapta-față Hϕ:G→H astfel încât

ϕ(g1)⋅Hϕ(g2)=ϕ(g1⋅Gg2),\phi(g_1) \cdot_H \phi(g_2) = \phi(g_1 \cdot_G g_2),ϕ(g1)⋅Hϕ(g2)=ϕ(g1⋅Gg2),

unde ⋅H\cdot_H⋅H⋅H este operația pe HHH și ⋅G\cdot_G⋅G⋅G este operația pe GGG. De exemplu, ϕ(g)=g(modn)\phi(g) = g \pmod nϕ(g)=g(modn) este un exemplu de omomorfism de grup de la Z\mathbb{Z}Z la Zn\mathbb{Z}_nZn. Conceptul de operații potențial diferite este necesar; de exemplu, ϕ(g)=eg\phi(g)=e^gϕ(g)=eg este un exemplu de omomorfism de grup de la (R,+)(\mathbb{R},+)(R,+) la (R∗,⋅)(\mathbb{R}^{*},\cdot)(R∗,⋅).

.