Operador (matemática)

Set 22, 2021

admin

GeometriaEditar

Artigos principais: grupo linear geral e isometria

Em geometria, estruturas adicionais em espaços vectoriais são por vezes estudadas. Os operadores que mapeiam estes espaços vectoriais para si próprios de forma bijectiva são muito úteis nestes estudos, eles formam naturalmente grupos por composição.

Por exemplo, os operadores bijectivos que preservam a estrutura de um espaço vectorial são precisamente os operadores lineares invertíveis. Eles formam o grupo linear geral sob composição. Eles não formam um espaço vetorial sob a adição de operadores, por exemplo, ambos id e -id são inversíveis (bijectivos), mas sua soma, 0, não é.

Operadores preservando a métrica euclidiana em tal espaço formam o grupo isométrico, e aqueles que fixam a origem formam um subgrupo conhecido como o grupo ortogonal. Operadores no grupo ortogonal que também preservam a orientação dos tufos vetoriais formam o grupo ortogonal especial, ou o grupo das rotações.

Teoria da ProbabilidadeEditar

Artigo principal: Teoria da Probabilidade

Os operadores também estão envolvidos na teoria da probabilidade, tais como expectativa, variância e covariância. De fato, toda covariância é basicamente um produto de ponto; toda variância é um produto de ponto de um vetor consigo mesma, e portanto é uma norma quadrática; todo desvio padrão é uma norma (raiz quadrada da norma quadrática); o co-seno correspondente a este produto de ponto é o coeficiente de correlação de Pearson; o valor esperado é basicamente um operador integral (usado para medir formas ponderadas no espaço).

CalculusEdit

Artigos principais: operador diferencial e operador integral

Do ponto de vista da análise funcional, o cálculo é o estudo de dois operadores lineares: o operador diferencial d d t {\displaystyle {\frac {\mathrm {\d} “Mathrm”…

$>frac{\i}{\i}{\i}{\i}{\i1}d}{\i1}t$ , e o operador de Volterra ∫ 0 t {\i1}displaystyle {\i}int _{0}^{t}}

$\int_0^t$

Série Fourier e Fourier transformEditar

Artigos principais: Série de Fourier e transformada de Fourier

A transformada de Fourier é útil em matemática aplicada, particularmente em física e processamento de sinais. É outro operador integral; é útil principalmente porque converte uma função em um domínio (temporal) para uma função em outro domínio (freqüência), de uma forma efetivamente invertível. Nenhuma informação se perde, pois existe um operador de transformação inversa. No caso simples de funções periódicas, este resultado é baseado no teorema de que qualquer função periódica contínua pode ser representada como a soma de uma série de ondas sinusoidais e ondas co-seno:

f ( t ) = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ a n cos ( ω n t ) + b n sin ( ω n t ) {\displaystyle f(t)={a_{0} \mais de 2+sum _{n=1}{a_{n}{nb_b_{nt}sin(nt)+b_{nt}sin(nt)+b}

$f(t) = {a_0 {n=1}^{ a_n ^cos ( |omega n t ) + b_n {sin ( |omega n t ) }$

O tuple (a0, a1, b1, a2, b2, …) é de facto um elemento de um espaço vectorial infinito ℓ2, e assim a série Fourier é um operador linear.

Quando se trata da função geral R → C, a transformação assume uma forma integral:

f ( t ) = 1 2 π ∫ – ∞ + ∞ g ( ω ) e i ω t d ω .

$f(t) = {1}sobre oqrt{2}{2}pi} \Não é uma boa ideia... \Domega.}$

Laplace transformEditar

Artigo principal: Laplace transform

A transformada de Laplace é outro operador integral e está envolvida na simplificação do processo de resolução de equações diferenciais.

Dado f = f(s), é definido por:

F ( s ) = L { f } ( s ) = ∫ 0 ∞ e – s t f ( t ) d t . F(s)={\i1}f(s)=mathcal {\i}(s)=int _{0}^^^^^^^^^^^^^^^stype {\i}f(t)^,dt.{\i}

$F(s)={\i1}F(s)=mathcal {\i}{\i}(s)=int _{\i}e^{\i}e^{\i}f(t){\i},dt.$

Operadores fundamentais em campos escalares e vectoriaisEditar

Artigos principais: cálculo vectorial, campo vectorial, campo escalar, gradiente, divergência e ondulação

Três operadores são fundamentais para o cálculo vectorial:

Grad (gradiente), (com o símbolo do operador ∇ {\displaystyle \nabla {\displaystyle \nabla }
$\nabla$

) atribui um vector em cada ponto de um campo escalar que aponta na direcção da maior taxa de mudança desse campo e cuja norma mede o valor absoluto dessa maior taxa de mudança.
Div (divergência), (com o símbolo do operador ∇ ⋅ {\displaystyle \nabla \cdot }
$\nabla \cdot$

) é um operador vectorial que mede a divergência ou convergência de um campo vectorial em relação a um determinado ponto.
Curl, (com o símbolo do operador ∇ × {\displaystyle \nabla \nabla \nabla \nabla \nabla}
$\nabla \nabla \times$

) é um operador vectorial que mede a tendência de enrolamento (enrolamento, rotação) de um campo vectorial em torno de um determinado ponto.

As uma extensão dos operadores de cálculo vectorial para espaços físicos, de engenharia e tensoriais, os operadores Grad, Div e Curl também são frequentemente associados ao cálculo de Tensor bem como ao cálculo vectorial.