$ {\P{\\P} % conjunto de poder {\P}% conjunto de poder {\P}$

Mapa, ou mapa abreviado, é um dos muitos sinônimos usados para a função.Em particular, o termo map(ping) é usado em contextos gerais, como a teoria de conjuntos, mas o uso não se restringe a estes casos.

O conceito de mapeamento na teoria de conjuntos

Na teoria de conjuntos os mapeamentos são relações binárias especiais.

Um mapeamento $f$ de um conjunto $A$ para um conjunto $B$ isan (encomendado) triple $ f = (A,B,G_f) $ onde $ G_f \subset A \subset A \subset B $subset que

• (a) if $ (x,y) $ e $ (x,y’) em G_f $ então $ y=y’ $, e
• (b) a projeção $ \pi_1 (G_f) = { x \mid (x,y) { em G_f } = A $.

Condição (a) expressa que $f$ é o valor único. econdição (b) que é definido em $A$.

$A$ é o domínio, $B$ é o codomínio, e $G_f$ é o gráfico do mapeamento. Portanto, nesta configuração, os mapeamentos são iguais se e somente se todos os três componentes correspondentes (domínio, codomínio e gráfico) forem iguais.
O mapeamento é normalmente denotado como $ f : A \a B $, e $ a \mapsto f(a) $where $ f(a) := b \iff (a,b) \a G_f $ é o valor de $f$ a $a$.

Se dois mapeamentos $ f_1 = (A_1,B_1,G_1) $ e $ f_2 = (A_2,B_2,G_2) $ satisfy

$ A_1 {subset A_2 $, $ B_1 \subset B_2 $ e $ G_1 \subset G_2 $

então $f_2$ é chamada uma extensão de $ f_1 $, e $ f_1 $ uma restrição de $f_2$.Neste caso, $ f_1 $ é frequentemente denotado como $ f_2 \vert A_1 $ e, claramente, $ f_1 (a) = f_2 (a) $ mantém para todos os $ a \em A_1 $.

Remark:
Por vezes apenas o gráfico $G_f$ é usado para representar uma função.Neste caso dois mapeamentos são iguais se tiverem o mesmo gráfico,e um pode permitir gráficos que não são conjuntos mas classes.
Embora o domínio da função possa ser obtido como projeção $ \pi_1 (G_f) $ do primeiro componente, a projeção $ \pi_2 (G_f) $ do segundo componente não produz o codomínio mas apenas a imagem do domínio.Assim, o conceito de sobrejectividade não é aplicável.

Composição

Dois mapeamentos podem ser compostos se o codomínio de um mapeamento for um subconjunto do domínio do outro mapeamento:

Para $ f=(A,B,G_f) $ e $ g=(C,D,G_g) $ com $ B \subset C $ a composição $ g \circ f $ é o mapeamento $ (A,D,G) $ com

$ G := \ (a,g(f(a))) \} $.

Relações:
(a) A condição $ B \subset C $ pode ser relaxada para $ f(A) \subset C $.
(b) Se apenas forem usados gráficos, então o gráfico da composição é definido (como acima) por

$ G_{g \rc f} := \ (a,c) \mid (existe b ) ( (a,b) \subset G_f \land (b,c) \subset G_g ) \$

mas pode acabar por ficar vazio.

Mapapeamentos induzidos

Todos os mapeamentos $ f : A \a B $ induz dois mapeamentos entre os conjuntos de potência $\P(A)$ e $\P(B)$.

$ f_ast : $P(A) até $P(B) $ definido por $ f_ast (S) := $f(a) { f(a) {mid a {in S}$ for $ S Subset A $

and

$ f^^ast : $P(B) até $P(A) $ definido por $ f^ast (T) := $ para $ T Subset B $

$ f_ast (S) $ é chamado a imagem de $S$ abaixo de $f$, normalmente denotado como $f(S)$, e $ f^ast (T) $ é chamado a imagem inversa de $T$ abaixo de $f$, normalmente denotado como $f^{-1}(T)$,mas é preciso estar ciente de que estas notações comuns podem ser ambíguas em certas situações.