>6798>\mathbf {*2\cdot 11} .vdash .p

.

Então o que é “verdade” e “falsidade”? Na abertura do PM rapidamente anuncia algumas definições:

Valores da verdade. O “valor de verdade” de uma proposta é verdade se for verdade e falsidade se for falso* …o valor de verdade de “p ∨ q” é verdade se o valor de verdade de “p” ou “q” for verdade, e é falsidade caso contrário … o de “~ p” é o oposto do de “p…” (p. 7-8)

Isto não é grande ajuda. Mas mais tarde, numa discussão muito mais profunda (“Definição e ambiguidade sistemática da Verdade e Falsidade” Capítulo II parte III, p. 41 e seguintes), PM define verdade e falsidade em termos de uma relação entre o “a” e o “b” e o “percipiente”. Por exemplo “Este ‘a’ é ‘b'” (por exemplo, “Este ‘objeto a’ é ‘vermelho'”) significa realmente “‘objeto a’ é um dado-sentido” e “‘vermelho’ é um dado-sentido”, e eles “estão em relação” uns com os outros e em relação ao “I”. Assim, o que realmente queremos dizer é: “Eu percebo que ‘este objeto a é vermelho'” e isto é uma “verdade” inegável por 3ª parte.

PM define ainda mais uma distinção entre um “sense-datum” e uma “sensação”:

Isto é, quando julgamos (digamos) “isto é vermelho”, o que ocorre é uma relação de três termos, a mente, e “isto”, e “vermelho”. Por outro lado, quando percebemos “a vermelhidão disto”, há uma relação de dois termos, a mente e o objeto complexo “a vermelhidão disto” (pp. 43-44).

Russell reiterou sua distinção entre “sense-datum” e “sensation” em seu livro The Problems of Philosophy (1912), publicado ao mesmo tempo que PM (1910-1913):

Deixe-nos dar o nome de “sense-data” às coisas que são imediatamente conhecidas na sensação: tais como cores, sons, cheiros, dureza, aspereza, aspereza, e assim por diante. Vamos dar o nome de “sensação” à experiência de estar imediatamente consciente destas coisas… A cor em si é um dado de sentido, não uma sensação. (p. 12)

Russell descreveu melhor o seu raciocínio por trás das suas definições de “verdade” e “falsidade” no mesmo livro (Capítulo XII, Verdade e Falsidade).

Consequências da lei do meio excluído no Principia MathematicaEdit

Da lei do meio excluído, a fórmula ✸2.1 no Principia Mathematica, Whitehead e Russell derivam algumas das ferramentas mais poderosas no conjunto de ferramentas de argumentação do lógico. (No Principia Mathematica, fórmulas e proposições são identificadas por um asterisco e dois números, como “✸2.1”.)

✸2.1 ~p ∨ p “This is the Law of excluded middle” (PM, p. 101).

A prova de ✸2.1 é aproximadamente a seguinte: “idéia primitiva” 1.08 define p → q = ~p ∨ q. A substituição de p por q nesta regra rende p → p = ~p ∨ p. Como p → p é verdade (este é Teorema 2.08, que é provado separadamente), então ~p ∨ p deve ser verdade.

✸2.11 p ∨ ~p (Permutação das afirmações é permitida pelo axioma 1.4)
✸2.12 p → ~(~p) (Princípio da dupla negação, parte 1: se “esta rosa é vermelha” é verdadeira então não é verdade que “‘esta rosa não é vermelha’ é verdadeira”.)
✸2.13 p ∨ ~{~(~p)} (Lemma junto com 2.12 usado para derivar 2.14)
✸2.14 ~(~p) → p (Princípio da dupla negação, parte 2)
✸2.15 (~p → q) → (~q → p) (Um dos quatro “Princípios de transposição”. Similar a 1.03, 1.16 e 1.17. Uma demonstração muito longa foi necessária aqui.)
✸2.16 (p → q) → (~q → ~p) (Se é verdade que “Se esta rosa é vermelha então este porco voa” então é verdade que “Se este porco não voa então esta rosa não é vermelha.”)
✸2.17 ( ~p → ~q ) → (q → p) (Outro dos “Princípios de transposição”.)
✸2.18 (~p → p) → p (Chamado “O complemento de reductio ad absurdum. Afirma que uma proposta que decorre da hipótese de sua própria falsidade é verdadeira” (PM, pp. 103-104).)

Mais destes teoremas – em particular ✸2.1, ✸2.11, e ✸2.14- são rejeitados pelo intuitionismo. Estas ferramentas são reformuladas em outra forma que Kolmogorov cita como “os quatro axiomas de Hilbert da implicação” e “os dois axiomas de Hilbert da negação” (Kolmogorov em van Heijenoort, p. 335).

Proposições ✸2.12 e ✸2.14, “dupla negação”:Os escritos intuicionistas de L. E. J. Brouwer refere-se ao que ele chama “o princípio da reciprocidade das múltiplas espécies, ou seja, o princípio de que para cada sistema a correção de uma propriedade decorre da impossibilidade da impossibilidade desta propriedade” (Brouwer, ibid, p. 335).

Este princípio é comumente chamado “o princípio da dupla negação” (PM, pp. 101-102). Da lei do meio excluído (✸2.1 e ✸2.11), o PM deriva imediatamente o princípio ✸2.12. Substituímos ~p por p em 2.11 para render ~p ∨ ~(~p), e pela definição de implicação (i.e. 1.01 p → q = ~p ∨ q) depois ~p ∨ ~(~p)= p → ~(~p). QED (A derivação de 2.14 é um pouco mais envolvida.)

ReichenbachEdit

É correto, pelo menos para lógica bivalente – isto é, pode ser visto com um mapa de Karnaugh – que esta lei remove “o meio” do inclusivo – ou usado em sua lei (3). E este é o ponto da demonstração de Reichenbach de que alguns acreditam que o exclusivo – ou deveria tomar o lugar do inclusivo – ou.

Sobre esta questão (em termos reconhecidamente muito técnicos) Reichenbach observa:

O tertium non datur 29. (x) não é exaustivo em seus principais termos e é, portanto, uma fórmula inflada. Este fato talvez explique porque algumas pessoas consideram irracional escrever (29) com o inclusivo-“ou”, e querem tê-lo escrito com o sinal do exclusivo-“ou” 30. (x), onde o símbolo “⊕” significa exclusivo – ou em que forma seria totalmente exaustivo e, portanto, nomológico no sentido mais restrito. (Reichenbach, p. 376)

Na linha (30) o “(x)” significa “para todos” ou “para todos”, uma forma usada por Russell e Reichenbach; hoje em dia o simbolismo é normalmente ∀ {\displaystyle \displaystyle \displaystall \displaystyle \displaystyle \displaystyle \displaystyle \displaystyle \displaystyle}

x. Assim, um exemplo da expressão ficaria assim:

• (porco): (Moscas(porco) ⊕ ~Flies(pig))
• (Para todas as instâncias de “porco” vistas e não vistas): (“Porco voa” ou “Porco não voa” mas não ambos simultaneamente)

Lógicos versus IntuicionistasEditar

Do final dos anos 1800 até aos anos 1930, um debate amargo e persistente entre Hilbert e os seus seguidores versus Hermann Weyl e L. E. J. Brouwer. A filosofia de Brouwer, chamada intuição, começou com Leopold Kronecker no final dos anos 1800.

Hilbert não gostava muito das idéias de Kronecker:

Kronecker insistiu que não poderia existir sem construção. Para ele, como para Paul Gordan , a prova de Hilbert da finitude da base do sistema invariante simplesmente não era matemática. Hilbert, por outro lado, ao longo de sua vida foi insistir que se se pode provar que os atributos atribuídos a um conceito nunca levarão a uma contradição, a existência matemática do conceito é assim estabelecida (Reid p. 34)

Foi sua afirmação de que nada poderia ser dito que tivesse existência matemática, a menos que pudesse ser construído com um número finito de inteiros positivos (Reid p. 26)

O debate teve um efeito profundo em Hilbert. Reid indica que o segundo problema de Hilbert (um dos problemas de Hilbert da Segunda Conferência Internacional em Paris em 1900) evoluiu a partir deste debate (itálico no original):

No seu segundo problema tinha pedido uma prova matemática da consistência dos axiomas da aritmética dos números reais. Para mostrar o significado deste problema, ele acrescentou a seguinte observação: “Se atributos contraditórios forem atribuídos a um conceito, eu digo que matematicamente o conceito não existe” (Reid p. 71)

Thus Hilbert estava dizendo: “Se p e ~p são ambos demonstrados como verdadeiros, então p não existe”, e estava, portanto, invocando a lei do meio excluído lançado na forma da lei da contradição.

E finalmente os construtivistas … restringiram a matemática ao estudo de operações concretas sobre estruturas finitas ou potencialmente (mas não realmente) infinitas; totalidades infinitas completadas … foram rejeitadas, assim como as provas indiretas baseadas na Lei do Meio Excluído. Os mais radicais entre os construtivistas foram os intuicionistas, liderados pelo antigo topólogo L. E. J. Brouwer (Dawson p. 49)

O debate rancoroso continuou durante o início dos anos 1900 até a década de 1920; em 1927 Brouwer queixou-se de “polêmica contra ela em tons escarnecedores” (Brouwer in van Heijenoort, p. 492). Mas o debate foi fértil: ele resultou no Principia Mathematica (1910-1913), e esse trabalho deu uma definição precisa à lei do meio excluído, e tudo isso forneceu um cenário intelectual e as ferramentas necessárias para os matemáticos do início do século 20:

Fora do rancor, e gerado em parte por ele, surgiram vários desenvolvimentos lógicos importantes….A axiomatização de Zermelo da teoria do conjunto (1908a) … que foi seguida dois anos depois pelo primeiro volume do Principia Mathematica …. no qual Russell e Whitehead mostraram como, através da teoria dos tipos, grande parte da aritmética poderia ser desenvolvida por meios lógicos (Dawson p. 49)

Brouwer reduziu o debate ao uso de provas projetadas a partir de provas “negativas” ou “não-existentes” versus provas “construtivas”:

De acordo com Brouwer, uma afirmação de que um objeto existe tendo uma determinada propriedade significa que, e só é provado, quando um método é conhecido que, em princípio, pelo menos permitirá que tal objeto seja encontrado ou construído… Hilbert discordou naturalmente. “As provas de existência pura têm sido os marcos mais importantes no desenvolvimento histórico da nossa ciência”, sustentou ele. (Reid p. 155) Brouwer … recusou-se a aceitar o princípio lógico do meio excluído… O seu argumento era o seguinte: “Suponha que A é a afirmação “Existe um membro do conjunto S que tem a propriedade P.” Se o conjunto é finito, é possível – em princípio – examinar cada membro de S e determinar se existe um membro de S com a propriedade P ou que a cada membro de S falta a propriedade P. Para conjuntos finitos, portanto, Brouwer aceitou como válido o princípio do meio excluído. Ele recusou-se a aceitá-lo para conjuntos infinitos porque se o conjunto S é infinito, não podemos – mesmo em princípio – examinar cada membro do conjunto. Se, durante o nosso exame, encontrarmos um membro do conjunto com a propriedade P, a primeira alternativa é substanciada; mas se nunca encontrarmos tal membro, a segunda alternativa ainda não é substanciada. Uma vez que os teoremas matemáticos são frequentemente provados estabelecendo que a negação nos envolveria numa contradição, esta terceira possibilidade que Brouwer sugeriu colocaria em questão muitas das afirmações matemáticas atualmente aceitas. “Tomar o Princípio do Meio Excluído do matemático”, disse Hilbert, “é o mesmo que … proibir ao boxeador o uso de seus punhos”. “A possível perda não parecia incomodar o Weyl… O programa do Brouwer era o que estava por vir, ele insistiu aos seus amigos em Zurique”. (Reid, p. 149)}}

Na sua palestra em 1941 em Yale e no artigo subsequente, Gödel propôs uma solução: “que a negação de uma proposição universal deveria ser entendida como afirmando a existência … de um contra-exemplo” (Dawson, p. 157))

A abordagem de Gödel à lei do meio excluído era afirmar que as objeções contra “o uso de ‘definições impredicativas'” “tinham mais peso” do que “a lei do meio excluído e teoremas relacionados do cálculo proposicional” (Dawson, p. 156). Ele propôs seu “sistema Σ … e ele concluiu mencionando várias aplicações de sua interpretação. Entre elas estava uma prova da coerência com a lógica intuicionista do princípio ~ (∀A: (A ∨ ~A)) (apesar da inconsistência da hipótese ∃ A: ~ (A ∨ ~A)” (Dawson, p. 157)

O debate parecia enfraquecer: matemáticos, lógicos e engenheiros continuam a usar a lei do meio excluído (e dupla negação) em seu trabalho diário.

Definições intuicionistas da lei (princípio) do meio excluídoEdito

O seguinte destaca o profundo problema matemático e filosófico por trás do que significa “saber”, e também ajuda a elucidar o que a “lei” implica (ou seja, o que a lei realmente significa). Suas dificuldades com a lei emergem: que eles não querem aceitar como verdadeiras implicações extraídas do que é incontrolável (não verificável, incognoscível) ou do impossível ou do falso. (Todas as citações são de van Heijenoort, itálico acrescentado).

Brouwer oferece sua definição de “princípio do meio excluído”; vemos aqui também a questão da “testabilidade”:

Com base na testabilidade que acabamos de mencionar, existe, para propriedades concebidas dentro de um sistema principal finito específico, o “princípio do meio excluído”, ou seja, o princípio de que para cada sistema cada propriedade é correta ou impossível, e em particular o princípio da reciprocidade das espécies complementares, ou seja, o princípio de que para cada sistema a correção de uma propriedade decorre da impossibilidade da impossibilidade dessa propriedade. (335)

Kolmogorov cita os dois axiomas de negação de Hilbert

1. A → (~A → B)
2. (A → B) → { (~A → B) → B}

O primeiro axioma de negação de Hilbert, “qualquer coisa segue o falso”, fez o seu aparecimento somente com o surgimento da lógica simbólica, como o fez o primeiro axioma de implicação…. enquanto… o axioma em consideração afirma algo sobre as consequências de algo impossível: temos que aceitar B se o verdadeiro julgamento A é considerado falso… O segundo axioma de Hilbert de negação expressa o princípio do meio excluído. O princípio é expresso aqui na forma em que é usado para derivações: se B segue de A assim como de ~A, então B é verdadeiro. Sua forma habitual, “todo julgamento ou é verdadeiro ou falso” é equivalente àquele dado acima”. Da primeira interpretação da negação, ou seja, da interdição de considerar o julgamento como verdadeiro, é impossível obter a certeza de que o princípio do meio excluído é verdadeiro… Brouwer mostrou que no caso de tais julgamentos transfinitos o princípio do meio excluído não pode ser considerado óbvio na nota de rodapé 9: “Esta é a formulação muito simples de Leibniz (ver Nouveaux Essais, IV,2). A formulação “A ou é B ou não-B” não tem nada a ver com a lógica dos julgamentos. nota de rodapé 10: “Simbolicamente a segunda forma é expressa assim A ∨ ~A

onde ∨ significa “ou”. A equivalência das duas formas é facilmente comprovada (p. 421)