O problemaEditar

A conjectura de Poincaré, proposta pelo matemático francês Henri Poincaré em 1904, foi um dos principais problemas da topologia. Qualquer laço num espaço euclidiano tetradimensional – como exemplificado pelo conjunto de pontos a uma distância de 1 da origem – pode ser contraído num ponto. A conjectura de Poincaré afirma que qualquer colector tridimensional fechado, de tal forma que qualquer laço pode ser contraído num ponto, é topologicamente uma 3-esfera. O resultado análogo é conhecido em dimensões maiores ou iguais a cinco desde 1960, como na obra de Stephen Smale. O caso tetradimensional resistiu por mais tempo, sendo finalmente resolvido em 1982 por Michael Freedman. Mas o caso dos trêsmanifolds acabou por ser o mais difícil de todos eles. Grosseiramente falando, isto porque na manipulação topológica de um triplo há muito poucas dimensões para mover “regiões problemáticas” para fora do caminho sem interferir com algo mais. A contribuição mais fundamental para o caso tridimensional tinha sido produzida por Richard S. Hamilton. O papel de Perelman era completar o programa Hamilton.

Prova de PerelmanEditar

Em novembro de 2002, Perelman postou a primeira de três pré-impressões no arXiv, na qual ele afirmou ter esboçado uma prova da conjectura da geometrização, da qual a conjectura de Poincaré é um caso particular. Isto foi seguido pelas outras duas pré-impressões em 2003.

Perelman modificou o programa de Richard S. Hamilton para uma prova da conjectura. A idéia central é a noção do fluxo de Ricci. A idéia fundamental de Hamilton é formular um “processo dinâmico” no qual um dado triplo é geometricamente distorcido, com o processo de distorção governado por uma equação diferencial análoga à equação do calor. A equação de calor (que muito antes motivou Riemann a afirmar sua hipótese de Riemann sobre os zeros da função zeta) descreve o comportamento de quantidades escalares, como a temperatura. Ela assegura que concentrações de temperatura elevada se espalharão até que uma temperatura uniforme seja atingida em um objeto. Da mesma forma, o fluxo Ricci descreve o comportamento de uma quantidade tensorial, o tensor de curvatura Ricci. A esperança de Hamilton era que sob o fluxo Ricci as concentrações de grande curvatura se espalhassem até que uma curvatura uniforme fosse atingida em todo o triângulo. Se assim for, se alguém começar com qualquer triplo e deixar o fluxo Ricci ocorrer, então deve-se, em princípio, eventualmente obter uma espécie de “forma normal”. De acordo com William Thurston, essa forma normal deve tomar uma de um pequeno número de possibilidades, cada uma tendo um tipo diferente de geometria, chamada de geometrias de modelo de Thurston.

No entanto, era amplamente esperado que o processo fosse impedido pelo desenvolvimento de “singularidades”. Nos anos 90, Hamilton fez progressos na compreensão dos possíveis tipos de singularidades que podem ocorrer, mas foi incapaz de fornecer uma descrição abrangente. Os artigos de Perelman esboçaram uma solução. De acordo com Perelman, cada singularidade parece ou um cilindro colapsando ao seu eixo, ou uma esfera colapsando ao seu centro. Com este entendimento, ele foi capaz de construir uma modificação do fluxo padrão Ricci, chamado fluxo Ricci com cirurgia, que pode sistematicamente tributar regiões singulares à medida que elas se desenvolvem, de forma controlada. A idéia de fluxo Ricci com cirurgia estava presente desde um artigo de Hamilton de 1993, que a realizou com sucesso em 1997, no estabelecimento de espaços de maior dimensão sujeitos a certas condições geométricas restritas. O procedimento cirúrgico de Perelman foi bastante semelhante ao de Hamilton, mas foi marcadamente diferente em seus aspectos técnicos.

Perelman mostrou que qualquer singularidade que se desenvolve em um tempo finito é essencialmente um “beliscão” ao longo de certas esferas correspondentes à decomposição primária do tri-manifold. Além disso, qualquer singularidade de “tempo infinito” resulta de certas peças em colapso da decomposição do JSJ. O trabalho de Perelman prova esta afirmação e assim prova a conjectura de geometrização.

O conteúdo dos três trabalhos está resumido abaixo:

• A primeira pré-impressão, A fórmula de entropia para o fluxo Ricci e suas aplicações geométricas, fornece muitas técnicas inovadoras no estudo do fluxo Ricci, cujo principal resultado é um teorema dando uma caracterização quantitativa de regiões de alta curvatura do fluxo.
• O segundo pré-impresso, fluxo Ricci com cirurgia em três manobradores, fixa algumas afirmações incorretas do primeiro trabalho e preenche alguns detalhes, e usa o resultado principal do primeiro trabalho para prescrever o procedimento cirúrgico. A segunda metade do papel é dedicada à análise dos fluxos Ricci que existem por tempo infinito.
• O terceiro pré-impresso, Tempo de extinção finito para as soluções do fluxo Ricci em certos trêsmanifolds, fornece um atalho para a prova da conjectura Poincaré que evita os argumentos na segunda metade do segundo pré-impresso. Ele mostra que em qualquer espaço que satisfaça as hipóteses da conjectura de Poincaré, o fluxo Ricci com cirurgia existe apenas para o tempo finito, de modo que a análise do tempo infinito do fluxo Ricci é irrelevante.

Tobias Colding e William Minicozzi II forneceram um argumento completamente alternativo à terceira pré-impressão de Perelman. O argumento deles, dado o pré-requisito de alguns argumentos sofisticados da teoria da medida geométrica desenvolvida nos anos 80, é particularmente simples.

VerificationEdit

As pré-impressões de Perelman rapidamente ganharam a atenção da comunidade matemática, apesar de serem vistas como difíceis de entender, uma vez que tinham sido escritas de forma algo concisa. Contra o estilo usual nas publicações matemáticas acadêmicas, muitos detalhes técnicos haviam sido omitidos. Logo ficou evidente que Perelman tinha feito grandes contribuições para os fundamentos do fluxo de Ricci, embora não fosse imediatamente claro para a comunidade matemática que essas contribuições eram suficientes para provar a conjectura da geometrização ou a conjectura de Poincaré.

Em abril de 2003, Perelman visitou o Massachusetts Institute of Technology, Princeton University, Stony Brook University, Columbia University e New York University para dar uma pequena série de palestras sobre seu trabalho, e para esclarecer alguns detalhes para especialistas nas áreas relevantes.

Em junho de 2003, Bruce Kleiner e John Lott, ambos então da Universidade de Michigan, postaram notas no website de Lott que, seção por seção, preenchiam muitos dos detalhes na primeira pré-impressão de Perelman. Em setembro de 2004, suas notas foram atualizadas para incluir a segunda pré-impressão da Perelman. Após novas revisões e correções, eles postaram uma versão no arXiv em 25 de maio de 2006, uma versão modificada da qual foi publicada na revista acadêmica Geometry & Topology em 2008. No Congresso Internacional de Matemáticos de 2006, Lott disse: “Levou-nos algum tempo para examinar o trabalho de Perelman. Isso se deve em parte à originalidade do trabalho de Perelman e em parte à sofisticação técnica de seus argumentos”. Tudo indica que os seus argumentos estão correctos”. Na introdução ao seu artigo, Kleiner e Lott explicaram

As provas de Perelman são concisas e, às vezes, esboçadas. O objetivo destas notas é fornecer os detalhes que estão faltando em … Em relação às provas, contêm algumas afirmações incorrectas e argumentos incompletos, que tentamos apontar ao leitor. (Alguns dos erros em foram corrigidos em …) Não encontramos nenhum problema sério, ou seja, problemas que não podem ser corrigidos usando os métodos introduzidos por Perelman.

Em junho de 2006, o Asian Journal of Mathematics publicou um artigo de Zhu Xiping da Sun Yat-sen University na China e Huai-Dong Cao da Lehigh University na Pensilvânia, dando uma descrição completa da prova de Perelman do Poincaré e as conjecturas de geometrização. Ao contrário do artigo de Kleiner e Lott, que foi estruturado como uma coleção de anotações aos trabalhos de Perelman, o artigo de Cao e Zhu foi direcionado diretamente para explicar as provas da conjectura de Poincaré e da conjectura de geometrização. Na sua introdução, eles explicam

Neste artigo, vamos apresentar a teoria Hamilton-Perelman do fluxo de Ricci. Baseado nela, daremos o primeiro relato escrito de uma prova completa da conjectura de Poincaré e da conjectura da geometrização de Thurston. Enquanto o trabalho completo é um esforço acumulado de muitos analistas geométricos, os maiores contribuidores são inquestionavelmente Hamilton e Perelman. Neste trabalho, daremos provas completas e detalhadas especialmente do trabalho de Perelman em seu segundo trabalho, no qual muitas idéias chave das provas são esboçadas ou esboçadas, mas detalhes completos das provas estão muitas vezes faltando. Como já assinalamos, temos de substituir vários argumentos-chave de Perelman por novas abordagens baseadas no nosso estudo, porque não conseguimos compreender estes argumentos originais de Perelman que são essenciais para a conclusão do programa de geometrização.

Em Julho de 2006, John Morgan da Universidade de Columbia e Gang Tian do Massachusetts Institute of Technology publicaram um artigo sobre o arXiv no qual apresentaram detalhadamente a prova de Perelman da conjectura de Poincaré. Ao contrário das exposições de Kleiner-Lott e Cao-Zhu, Morgan e Tian também tratam do terceiro artigo da Perelman. Em 24 de agosto de 2006, Morgan fez uma palestra no ICM em Madrid sobre a conjectura de Poincaré, na qual declarou que o trabalho de Perelman tinha sido “minuciosamente verificado”. Em 2008, Morgan e Tian publicaram um trabalho que cobriu os detalhes da prova da conjectura de geometrização. Os dois artigos de Morgan e Tian foram publicados em forma de livro pelo Clay Mathematics Institute.

Revisões das verificaçõesEditar

Todas as três exposições acima foram revisadas após a publicação. Verificou-se que as exposições de Kleiner-Lott e Morgan-Tian apresentaram erros (que não afetaram o grande escopo), enquanto que a exposição de Cao-Zhu atraiu críticas por suas frases e por um erro atribucional.

Desde a publicação, o artigo de Kleiner e Lott foi posteriormente revisado duas vezes para correções, como por uma declaração incorreta do importante “teorema da compacidade” de Hamilton para o fluxo de Ricci. A última revisão do seu artigo foi feita em 2013. Em 2015, Abbas Bahri apontou um erro na exposição de Morgan e Tian, que mais tarde foi corrigido por Morgan e Tian e originado por um erro computacional básico.

Cao e o artigo de Zhu sofreram críticas de algumas partes da comunidade matemática por suas escolhas de palavras, as quais alguns observadores interpretaram como sendo demasiado creditáveis para si próprios. O uso da palavra “aplicação” em seu título “A Complete Proof of the Poincaré and Geometrization Conjectures – Application of the Hamilton-Perelman Theory of Ricci Flow” e a frase “This proof should be considered as the crowning achievement of the Hamilton-Perelman theory of Ricci flow” no resumo foram particularmente apontados para a crítica. Quando perguntado sobre a questão, Perelman disse que Cao e Zhu não tinham contribuído com nada de original, e simplesmente reformularam a sua prova porque “não entenderam bem o argumento”. Além disso, uma das páginas do artigo de Cao e Zhu era essencialmente idêntica à do artigo de Kleiner e Lott de 2003. Em uma errata publicada, Cao e Zhu atribuíram isso a um lapso, dizendo que em 2003 eles tinham retirado notas da versão inicial das notas de Kleiner e Lott, e em seu artigo de 2006 não tinham percebido a fonte apropriada das notas. Eles postaram uma versão revisada no arXiv com revisões em suas frases e na página relevante da prova.

Pontos de vista atuaisEditar

As de 2020, restam alguns matemáticos que, embora seja universalmente reconhecido que Perelman fez enormes avanços na teoria do fluxo de Ricci, não aceitam que as conjecturas de Poincaré e geometrização tenham sido provadas. Para estes observadores, as partes problemáticas da prova estão na segunda metade da segunda pré-impressão de Perelman. Por exemplo, a medalhista Fields Shing-Tung Yau disse em 2019 que

Embora possa ser heresia para mim dizer isto, não estou certo de que a prova esteja totalmente pregada. Estou convencido, como já disse muitas vezes, que Perelman fez um trabalho brilhante sobre a formação e estrutura das singularidades em espaços tridimensionais – um trabalho que foi realmente digno da Medalha dos Campos que lhe foi atribuída. Sobre isso não tenho dúvidas O problema é que há muito poucos especialistas na área de fluxo de Ricci, e ainda não conheci ninguém que afirma ter uma compreensão completa da última e mais difícil parte da prova de Perelman. Tanto quanto sei, ninguém tomou algumas das técnicas que Perelman introduziu no final do seu trabalho e as utilizou com sucesso para resolver qualquer outro problema significativo. Isto me sugere que outros matemáticos ainda não têm o comando completo deste trabalho e suas metodologias.

Por contraste, quando o prémio Millennium foi atribuído a Perelman pela “resolução da conjectura Poincaré” em 2010, o medalhista de Campos Simon Donaldson, numa das laudações ao prémio, disse

Desde o momento em que apareceram as pré-impressões relativas às Conjecturas Poincaré e Geometrização, Os matemáticos de todo o mundo têm estado unidos em expressar seu apreço, admiração e admiração por sua extraordinária realização, e acredito que falo aqui como um representante de toda a nossa comunidade intelectual. Resolve um problema extraordinário, centenário.