Existem duas fórmulas básicas que já conhecemos:
1) Total = n(Sem set) + n(Exatamente um set) + n(Exatamente dois sets) + n(Exatamente três sets)

2) Total = n(A) + n(B) + n(C) – n(A e B) – n(B e C) – n(C e A) + n(A e B e C) + n(Sem set)

Destas duas fórmulas, podemos derivar todas as outras.

n(Exatamente um conjunto) + n(Exatamente dois conjuntos) + n(Exatamente três conjuntos) dá-nos n(Pelo menos um conjunto). Então obtemos:

3) Total = n(Sem set) + n(Pelo menos um set)

De (3), obtemos n(Pelo menos um set) = Total – n(Sem set)

Plugando isto em (2), obtemos então:

4) n(Pelo menos um conjunto) = n(A) + n(B) + n(C) – n(A e B) – n(B e C) – n(C e A) + n(A e B e C)

Agora vamos ver como podemos calcular o número de pessoas em exatamente dois conjuntos. Há uma razão para termos saltado para n(Exactamente dois conjuntos) em vez de seguirmos o próximo passo mais lógico de descobrir n(Pelo menos dois conjuntos) – será mais intuitivo obter n(Pelo menos dois conjuntos) depois de encontrarmos n(Exactamente dois conjuntos).

n(A e B) inclui pessoas que estão em A e B e também inclui pessoas que estão em A, B e C. Por causa disto, devemos remover n(A e B e C) de n(A e B) para obter apenas n(A e B). Da mesma forma, você obtém n(B e C apenas) e n(C e A apenas), assim adicionando todos estes três nos dará o número de pessoas em exatamente 2 conjuntos.

n(Exatamente dois conjuntos) = n(A e B) – n(A e B e C) + n(B e C) – n(A e B e C) + n(C e A) – n(A e B e C). Portanto:

5) n(Exactamente dois conjuntos) = n(A e B) + n(B e C) + n(C e A) – 3*n(A e B e C)

Agora podemos facilmente obter n(Pelo menos dois conjuntos):

6) n(Pelo menos dois conjuntos) = n(A e B) + n(B e C) + n(C e A) – 2*n(A e B e C)

Isto é apenas n(A e B e C) mais do que n(Exactamente dois conjuntos). Isso faz sentido, não faz? Aqui, você inclui as pessoas que estão nos três conjuntos uma vez e n(Exactamente dois conjuntos) converte para n(Pelo menos dois conjuntos)!

Agora, continuamos para encontrar n(Exactamente um conjunto). De n(Pelo menos um conjunto), vamos subtrair n(Pelo menos dois conjuntos); ou seja subtraímos (6) de (4)

n(Exatamente um conjunto) = n(Pelo menos um conjunto) – n(Pelo menos dois conjuntos), portanto:

7) n(Exatamente um conjunto) = n(A) + n(B) + n(C) – 2*n(A e B) – 2*n(B e C) – 2*n(C e A) + 3*n(A e B e C)

Você não precisa aprender todas essas fórmulas. Basta focar nas duas primeiras e saber como você pode chegar às outras, se necessário. Vamos tentar isto num problema de exemplo:

Entre 250 espectadores entrevistados que vêem pelo menos um dos três canais de TV, nomeadamente A, B &C. 116 vê A, 127 vê C, enquanto 107 vê B. Se 50 vêem exactamente dois canais. Quantos assistem exatamente um canal?

(A) 185

(B) 180

(C) 175

(D) 190

(E) 195

É o que lhe é dado:

n(Pelo menos um canal) = 250

n(Exactamente dois canais) = 50

Então nós sabemos que n(Pelo menos um canal) = n(Exactamente 1 canal) + n(Exactamente 2 canais) + n(Exactamente 3 canais) = 250

250 = n(Exactamente 1 canal) + 50 + n(Exactamente 3 canais)

Vamos encontrar o valor de n(Exactamente 3 canais) = x

Sabemos também que n(Pelo menos um canal) = n(A) + n(B) + n(C) – n(A e B) – n(B e C) – n(C e A) + n(A e B e C) = 250

Também, n(Exatamente dois canais) = n(A e B) + n(B e C) + n(C e A) – 3*n(A e B e C)

Então n(A e B) + n(B e C) + n(C e A) = n(Exatamente dois canais) + 3*n(A e B e C)

Plugando isto na equação acima:

250 = n(A) + n(B) + n(C) – n(Exactamente dois canais) – 3*x + x