A equação de Dirac na forma originalmente proposta por Dirac é:

( β m c 2 + c ∑ n = 1 3 α n p n ) ψ ( x , t ) = i ℏ ∂ ψ ( x , t ) ∂ t {\i1}esquerda(beta mc^{\i}+c^sum _{n\i}mathop {\i} 1^^^3}alfa _{n\i_p_{n\i}direita)psi (x,t)=ihbar {n\i}frac (x,t)=ihbar {n\i}parcial

where ψ = ψ(x, t) é a função de onda para o elétron da massa de repouso m com coordenadas espaço-tempo x, t. Os p1, p2, p3 são os componentes do momento, entendido como o operador do momento na equação de Schrödinger. Além disso, c é a velocidade da luz, e ħ é a constante reduzida de Planck. Estas constantes físicas fundamentais refletem a relatividade especial e a mecânica quântica, respectivamente.

Dirac ao fundir esta equação teve como objetivo explicar o comportamento do elétron em movimento relativista, e assim permitir que o átomo fosse tratado de uma forma consistente com a relatividade. Sua esperança bastante modesta era que as correções introduzidas dessa forma pudessem ter relação com o problema dos espectros atômicos.

Até então, tentativas de tornar a velha teoria quântica do átomo compatível com a teoria da relatividade, tentativas baseadas na discretização do momento angular armazenado na órbita possivelmente não circular do núcleo atômico do elétron, haviam falhado – e a nova mecânica quântica de Heisenberg, Pauli, Jordan, Schrödinger e o próprio Dirac não haviam se desenvolvido o suficiente para tratar esse problema. Embora as intenções originais de Dirac estavam satisfeitas, sua equação teve implicações muito mais profundas para a estrutura da matéria e introduziu novas classes matemáticas de objetos que agora são elementos essenciais da física fundamental.

Os novos elementos nesta equação são as quatro matrizes 4 × 4 α1, α2 , α3 e β, e a função de onda de quatro componentes ψ. Há quatro componentes em ψ, porque a avaliação dela em qualquer ponto do espaço de configuração é um bispinor. É interpretado como uma sobreposição de um elétron spin-up, um elétron spin-down, um positron spin-up e um positron spin-down (veja abaixo para mais discussão).

As matrizes 4 × 4 αk e β são todas hermitianas e são involuntárias:

α i 2 = β 2 = I 4 {\displaystyle \alpha _{\i}^{2}=\beta ^{2}=I_{4}}

e todos eles são mutuamente anticompostos:

α i α i α j + α j α i = 0 ( i ≠ j ) {\i} {\i}displaystyle {\i}alpha _{\i}+{\i}alpha _{\i}}alpha _{\i}=0\i}quad (i\i}neq j)}

>

α i β + β α i = 0 {\i}displaystyle {\i}alpha _{\i}beta +\i}alpha _{\i}=0}

Estas matrizes e a forma da função de onda têm um profundo significado matemático. A estrutura algébrica representada pelas matrizes gama tinha sido criada cerca de 50 anos antes pelo matemático inglês W. K. Clifford. Por sua vez, as ideias de Clifford tinham surgido a partir do trabalho de meados do século XIX do matemático alemão Hermann Grassmann no seu Lineale Ausdehnungslehre (Teoria das Extensões Lineares). Esta última tinha sido considerada quase incompreensível pela maioria dos seus contemporâneos. O aparecimento de algo tão aparentemente abstrato, em uma data tão tardia, e de uma forma física tão direta, é um dos capítulos mais notáveis da história da física.

A equação simbólica única se desdobra assim em quatro equações diferenciais parciais lineares de primeira ordem acopladas para as quatro quantidades que compõem a função da onda. A equação pode ser escrita mais explicitamente em unidades Planck como:

i ∂ t = i ∂ x + ∂ y + i ∂ z + m {\i1}displaystyle i}parcial _{\i}{\i1}begin{\i}bmatrix}psi _\i _\i _\i _\i _\i _\i}end{\i1}bmatrix}=i{\i1}parcial _\i}begin{\i}bmatrix\Psi… Psi… Psi… Psi… Psi… Psi… Psi… Psi…\Psi + Psi + Psi + Psi + Psi + Psi + Psi + Psi + Psi + Psi + Psi + Psi + Psi + Psi + Psi

o que torna mais claro que se trata de um conjunto de quatro equações diferenciais parciais com quatro funções desconhecidas.

Tornando a equação de Schrödinger relativisticEdit

A equação de Dirac é superficialmente semelhante à equação de Schrödinger para uma partícula livre massiva:

– ℏ 2 2 m ∇ 2 ϕ = i ℏ ∂ ∂ t ϕ . estilo de jogo -frac {\i}{2m}{2m}}nabla {2}phi =ihbar {2}frac {3}frac {4}parcial t

O lado esquerdo representa o quadrado do operador do momento dividido pelo dobro da massa, que é a energia cinética não-relativista. Como a relatividade trata o espaço e o tempo como um todo, uma generalização relativista desta equação exige que as derivadas do espaço e do tempo entrem simetricamente como nas equações de Maxwell que governam o comportamento da luz – as equações devem ser diferentemente da mesma ordem no espaço e no tempo. Na relatividade, o momento e as energias são as partes do espaço e do tempo de um vetor espaço-tempo, o quatro-momento, e estão relacionados pela relação relativisticamente invariante

E 2 = m 2 c 4 + p 2 c 2 {\displaystyle E^{2}=m^{2}c^{4}+p^{2}c^{2}}}

que diz que o comprimento deste quatro-vector é proporcional à massa restante m. Substituindo os equivalentes do operador da energia e momento da teoria de Schrödinger, obtemos a equação de Klein-Gordon que descreve a propagação das ondas, construídas a partir de objetos relativisticamente invariantes,

( – 1 c 2 ∂ 2 ∂ t 2 + ∇ 2 ) ϕ = m 2 c 2 ℏ 2 ϕ estilo de jogo esquerda(-frac {1}{c^2}}{c^2}}{frac {2}}{frac {2}{2}{2}{2}{2}{2}{3}fi ={2}frac {2}c^2}{2}{4}{4}{4}frac {5}{5}}{501}{501}{501}{6}{601}{7}}fi

sendo a função de onda ϕ uma escalar relativista: um número complexo que tem o mesmo valor numérico em todos os quadros de referência. As derivadas de espaço e tempo entram ambas na segunda ordem. Isto tem uma consequência reveladora para a interpretação da equação. Como a equação é de segunda ordem na derivada do tempo, deve-se especificar valores iniciais tanto da própria função de onda como da sua primeira derivada do tempo para resolver problemas definidos. Como ambas podem ser especificadas mais ou menos arbitrariamente, a função de onda não pode manter seu papel anterior de determinar a densidade de probabilidade de encontrar o elétron em um determinado estado de movimento. Na teoria de Schrödinger, a densidade de probabilidade é dada pela expressão positiva definitiva

ρ = ϕ ∗ ϕ {\displaystyle \rho = ^{*}phi ^{\phi ^}

e esta densidade é convencionada de acordo com o vector de corrente de probabilidade

J = – i ℏ 2 m ( ϕ ∗ ∇ ϕ – ϕ ∇ ϕ ∗ ) {\i1}displaystyle J=-“Frac” (2m) “phi -phi -phi -phi -phi” (2m)

com a conservação da corrente de probabilidade e densidade seguindo a equação de continuidade:

∇ ⋅ J + ∂ ρ ∂ t = 0 . estilo de jogo nabla J+frac Parcial t=0~.}

O facto de a densidade ser positiva definida e convectada de acordo com esta equação de continuidade implica que podemos integrar a densidade sobre um determinado domínio e definir o total para 1, e esta condição será mantida pela lei de conservação. Uma teoria relativista adequada com uma corrente de densidade de probabilidade também deve compartilhar esta característica. Agora, se quisermos manter a noção de densidade convencionada, então devemos generalizar a expressão Schrödinger da densidade e corrente para que o espaço e as derivadas do tempo entrem de novo simetricamente em relação à função da onda escalar. Podemos manter a expressão de Schrödinger para a corrente, mas devemos substituir a densidade da probabilidade pela expressão simétrica

ρ = i ℏ 2 m c 2 ( ψ ∗ ∂ t ψ – ψ ∂ t ψ ∗ ) . estilo de jogo {\i}(2mc^{2}}({\i^2}}({\i^2mc^}}({\i^2}psi -psi -psi -psi ^psi ^2}parcial _{t}psi -psi _t}psi

que agora se torna a 4ª componente de um vector espaço-tempo, e toda a densidade de probabilidade 4-corrente tem a expressão relativisticamente covariante

J μ = i ℏ 2 m ( ψ ∗ ∂ μ ψ – ψ ∂ μ ψ ∗ ) . Jmu -frac = 2m (2m) (psi -psi -psi -psi -psi -psi -psi -psi -psi -psi -psi -psi -psi -psi

A equação de continuidade é como antes. Agora tudo é compatível com a relatividade, mas vemos imediatamente que a expressão para a densidade já não é definitiva positiva – os valores iniciais tanto de ψ como de ∂tψ podem ser escolhidos livremente, e a densidade pode assim tornar-se negativa, o que é impossível para uma densidade de probabilidade legítima. Assim, não podemos obter uma simples generalização da equação de Schrödinger sob a hipótese ingênua de que a função da onda é uma escalar relativista, e a equação satisfaz, segunda ordem no tempo.

Embora não seja uma generalização relativista bem sucedida da equação de Schrödinger, esta equação é ressuscitada no contexto da teoria do campo quântico, onde é conhecida como equação de Klein-Gordon, e descreve um campo de partículas sem spinless (por exemplo, pi meson ou boson de Higgs). Historicamente, o próprio Schrödinger chegou a esta equação antes daquela que leva seu nome, mas logo a descartou. No contexto da teoria do campo quântico, entende-se que a densidade indefinida corresponde à densidade de carga, que pode ser positiva ou negativa, e não à densidade de probabilidade.

Golpe de Dirac

Dirac assim pensou-se em tentar uma equação que fosse de primeira ordem tanto no espaço como no tempo. Poder-se-ia, por exemplo, formalmente (i.e. por abuso de notação) tomar a expressão relativista para a energia

E = c p 2 + m 2 c 2 , {\\\i1}displaystyle E=c{\i^{\i^{2}+m^{\i}c^{2}}~,}

substituir p pelo seu equivalente operador, expandir a raiz quadrada numa série infinita de operadores derivados, estabelecer um problema de valor próprio, e depois resolver a equação formalmente por iterações. A maioria dos físicos tinha pouca fé em tal processo, mesmo que fosse tecnicamente possível.

Como diz a história, Dirac estava olhando para a lareira em Cambridge, ponderando este problema, quando ele bateu na idéia de tomar a raiz quadrada do operador de onda assim:

∇ 2 – 1 c 2 ∂ 2 ∂ t 2 = ( A ∂ x + B ∂ y + C ∂ z + i c D ∂ t ) ( A ∂ x + B ∂ y + C ∂ z + i c D ∂ t ) . estilo de jogo ^{\i1}-Parcial esquerda (A Parcial _x)+B Parcial _y}+C Parcial _z)+Frac Parcial esquerda (A) (A) (X) + B) Parcial (Y) + C) Parcial (Z) + Frac (I) (C) (D) Parcial (I) (D) Parcial (T) (D) (T) (D) Parcial (T)}

Ao multiplicarmos o lado direito vemos que, para que todos os termos cruzados como ∂x∂y desapareçam, devemos assumir

A B + B A = 0 , … {\i1}displaystyle AB+BA=0,~\i}ldots ~}

>

with

A 2 = B 2 = … = 1 . A^{\\\a2}=B^{\a2}=\a2 =1~.} Isto explicou imediatamente o aparecimento das funções de onda de dois componentes na teoria fenomenológica de Pauli, algo que até então tinha sido considerado misterioso, até mesmo para o próprio Pauli. No entanto, é necessário pelo menos 4 × 4 matrizes para montar um sistema com as propriedades necessárias – assim a função de onda tinha quatro componentes, não dois, como na teoria de Pauli, ou um, como na teoria de Schrödinger nu. A função de onda de quatro componentes representa uma nova classe de objeto matemático em teorias físicas que faz sua primeira aparição aqui.

Dada a factorização em termos destas matrizes, pode-se agora escrever imediatamente uma equação

( A ∂ x + B ∂ y + C ∂ z + i c D ∂ t ) ψ = κ ψ Esquerda (A) parcial (A) + B (B) parcial (A) + C (C) parcial (Z) + Frac (I) D (D) parcial (T) (I) (D) parcial (I) =kappa (I)

>

with κ {\i}displaystyle {\i}kappa

a ser determinado. Aplicando novamente o operador da matriz em ambos os lados rendimentos ( ∇ 2 – 1 c 2 ∂ t 2 ) ψ = κ 2 ψ . Estilo de exibição Esquerda (nabla 2) -frac (1) -c^^ (2) -parcial _t} ^ (2) -psi =kappa ^ (2) -psi ~.}

descobrimos que todos os componentes da função de onda satisfazem individualmente a relação energia-momento relativista. Assim, a equação procurada que é de primeira ordem tanto no espaço como no tempo é ( A ∂ x + B ∂ y + C ∂ z + i c D ∂ t – m c ℏ ) ψ = 0 . Esquerda (A) parcial _x+B) parcial _y}+C) parcial _z}+frac _i}{c} D) parcial _t) -frac (mc) -mc) direita (psi) =0~.}

esquerda (A) parcial _{x}+B) parcial _{y}+C}parcial _{z}+frac {c}}Dparcial _t}-{t+frac {mc}{mc}barra direita)|psi =0~.A = i β α 1 , B = i β α 2 , C = i β α 3 , D = β , {\i1}displaystyle A=i>beta {\i}alpha _{\i},,{\i},B=i=beta alfa _{2},,,C=i=i=beta alfa _{3},,D=beta _,D=beta _,

>735>{\an8}displaystyle A=i=beta alfa _{1},,,B=i=beta alfa _{2}D 2 = β 2 = I 4 , D^{2}=beta D^{2}=I_{4}=I_{4}~,

obtemos a equação de Dirac como escrita acima.

Forma covariante e invariância relativistaEditar

Para demonstrar a invariância relativista da equação, é vantajoso lançá-la numa forma em que as derivadas do espaço e do tempo aparecem em pé de igualdade. As novas matrizes são introduzidas da seguinte forma:

D = γ 0 , {\displaystyle D=\gamma ^{0}~,}

A = i γ 1 , B = i γ 2 , C = i γ 3 , estilo de jogo A=i=i=gamma 1, esquad B=i=gamma 2, esquad C=i=gamma 3,

e a equação toma a forma (lembrando a definição dos componentes covariantes dos 4-gradiente e especialmente que ∂0 = 1/c∂t )

equação de Dirac

i ℏ γ μ μ μ ψ – m c ψ = 0 {\displaystyle i\bar ^{\mu } ^mu ^parcial _{\mu ^psi -mc\psi =0}

>

onde há uma soma implícita sobre os valores do índice duas vezes repetido μ = 0, 1, 2, 3, e ∂μ é o 4-gradiente. Na prática, escreve-se frequentemente as matrizes gama em termos de 2 × 2 sub-matrizes retiradas das matrizes Pauli e da matriz de identidade 2 × 2. Explicitamente, a representação padrão é

γ 0 = ( I 2 0 0 – I 2 ) , γ 1 = ( 0 σ x – σ x 0 ) , γ 2 = ( 0 σ y – σ y 0 ) , γ 3 = ( 0 σ z – σ z 0 ) . {\displaystyle \gamma ^{0}={\begin{pmatrix}I_{2}&0\\0&-I_{2}\end{pmatrix}}~,\gamma ^{1}=\left({\begin{array}{cccc}0&\sigma _{x}\\-\sigma _{x}&0\end{array}}\right)~,\gamma ^{2}=\left({\begin{array}{cccc}0&\sigma _{y}\\-\sigma _{y}&0\end{array}}\right)~,\gamma ^{3}=\left({\begin{array}{cccc}0&\sigma _{z}\\-\sigma _{z}&0\end{array}}\right)~.}

O sistema completo é resumido usando a métrica Minkowski em espaço-tempo no formulário

{ γ μ , γ ν } = 2 η μ ν I 4 {\i1}displaystyle {\i},{\i}gamma {\i},{\i}gamma {\i}=2eta {\i}2eta {\i}I_4}

onde a expressão de parênteses

{ a , b } = a b + b a {\a,b}=ab+ba

denotado o anticomutador. Estas são as relações definidoras de uma álgebra de Clifford sobre um espaço pseudo-ortogonal 4-dimensional com assinatura métrica (+ – – – -). A álgebra específica de Clifford empregada na equação de Dirac é conhecida hoje como a álgebra de Dirac. Embora não reconhecida como tal por Dirac na época em que a equação foi formulada, em retrospectiva a introdução desta álgebra geométrica representa um enorme avanço no desenvolvimento da teoria quântica.

A equação de Dirac pode agora ser interpretada como uma equação de autovalor, onde a massa restante é proporcional a um autovalor do operador de 4-momentos, sendo a constante de proporcionalidade a velocidade da luz:

P o p ψ = m c ψ . P_{\i1}displaystyle P_{\i}mathrm {\i} Psi =mc=mc=psi ~.}

Using ∂ / = d e f γ μ ∂ μ {\i1}displaystyle {\i1}partial {\i}!!{\i}stackrel {\i}mathrm Gamma em parte…

>>7629>>displaystyle {\an8}parcial {\an8}!!{\an8}stackrel {\an8} Parcial _3948

( ∂ /displaystyle _parcial!!! i-bar Parcial {\\i1}displaystyle i-bar {\i1}parcial {\i1}big /\i}psi -mcpsi =0.}

Na prática, os físicos usam frequentemente unidades de medida tais que ħ = c = 1, conhecidas como unidades naturais. A equação então toma a forma simples

equação de Dirac (unidades naturais)

( i ∂ / – m ) ψ = 0 {\i1}displaystyle (i{\i}parcial {\i}!{\i}!{\i}-m)}psi =0} gamma ^mu ^prime ^S^{-1}gamma ^S~.^S~.^

>5375>displaystyle ^gamma ^mu ^prime ^S^-1^gamma ^S~.9692

Se além disso as matrizes são todas unitárias, tal como o conjunto Dirac, então o próprio S é unitário;

γ μ ′ = U † γ μ U . gamma estilo de jogo ^mu ^mu ^prime ^U^dagger ^gamma ^mu ^U~.^

A transformação U é única até um factor multiplicativo de valor absoluto 1. Imaginemos agora uma transformação Lorentz a ter sido realizada nas coordenadas espaço e tempo, e nos operadores derivados, que formam um vector covariante. Para que o operador γμ∂μ permaneça invariante, as gammas devem transformar-se entre si como um vetor contravariante em relação ao seu índice espaço-tempo. Estes novos gammas irão, eles próprios, satisfazer as relações de Clifford, devido à ortogonalidade da transformação de Lorentz. Pelo teorema fundamental, podemos substituir o novo conjunto pelo antigo conjunto sujeito a uma transformação unitária. No novo quadro, lembrando que a massa restante é um escalar relativista, a equação de Dirac tomará então a forma

( i U U † γ μ U ∂ μ ′ – m ) ψ ( x ′ , t ′ ) = 0 {\\i1}gamma (iU^{\i}gamma (iU^{\i^mu {\i}Uparcial _\i^{\i^mu {\i}-m)psi (x^\i^,t^{\i^prime {\i})=0} U^{\a2}(i}gamma ^(i}gamma ^mu ^mu ^mu ^mu ^prime ^-m) U=psi (x^{\a ^prime ^,t^{\a ^prime ^)=0~.} displaystyle U^dagger ^(i}gamma ^mu ^mu ^parcial _{{\an1}{\an1}mu}-m)U=psi (x^prime ^,t^{\an1}}prime ^ =0~.”>

Se agora definirmos o spinor transformado

ψ ′ = U ψ ^{\\prime ^=U\prime ^=U\psi

então temos a equação Dirac transformada de uma forma que demonstra uma invariância relativista manifesta:

( i γ μ ∂ ′ ′ – m ) ψ ′ ( x ′ , t ′ ) = 0 . estilo de jogo (i^gamma ^mu ^mu ^parcial _prime ^mu ^-m)psi ^prime ^(x^prime ^,t^prime ^))=0~.^

Para que isto seja invariante, o símbolo epsilon deve ser um tensor, e assim deve conter um factor de √g, onde g é o determinante do tensor métrico. Como isso é negativo, esse fator é imaginário. Assim

V = i γ 0 γ 1 γ 2 γ 3 . V=i>gamma ^{0}gamma ^{1}gamma ^{2}gamma ^{3}~.^

Esta matriz recebe o símbolo especial γ5, devido à sua importância quando se considera transformações impróprias do espaço-tempo, ou seja, aquelas que mudam a orientação dos vetores de base. Na representação padrão, é

γ 5 = ( 0 I 2 I 2 0 ) . {\displaystyle \gamma _{5}={\begin{pmatrix}0&I_{2}\\I_{2}&0\end{pmatrix}}~.}

{\displaystyle \gamma _{5}={\begin{pmatrix}0I_{2}\\I_{2}0\end{pmatrix}}~.Esta matriz também será encontrada para anticomutar com as outras quatro matrizes Dirac: γ 5 γ μ + γ μ γ 5 = 0 ^gamma ^{5}gamma ^{5}gamma ^{5}+gamma ^{5}=0}

Toma um papel de liderança quando surgem questões de paridade porque o elemento volume como magnitude dirigida muda de sinal sob uma reflexão espaço-tempo. Tomar a raiz quadrada positiva acima equivale, portanto, a escolher uma convenção de mão no espaço-tempo.

Conservação da corrente de probabilidadeEditar

Definindo o spinor adjunto

ψ ¯ = ψ † γ 0 {\displaystyle {\psi }}=\psi ^{\dagger ^{\dagger ^{\0}}

onde ψ† é a transposição conjugada de ψ, e notando que

( γ μ ) † γ 0 = γ 0 γ μ , ^displaystyle (^gamma ^mu ^) ^dagger ^gamma ^{0}=gamma ^gamma ^0}gamma ^mu ^,

{\i1}displaystyle (^gamma ^{\i})^gamma ^{0}=gamma ^{0}gamma ^{\i}~,^6317>

obtemos, tomando o conjugado hermitiano da equação de Dirac e multiplicando da direita por γ0, a equação adjunta:

ψ ¯ ( i γ μ ∂ μ + m ) = 0 , {\i1}bar {\i}(i\i}gamma ^{\i}}(i\i}mu ^parcial _{\i ^+m)=0~,

onde ∂μ é entendido para agir à esquerda. Multiplicando a equação de Dirac por ψ a partir da esquerda, e a equação adjunta por ψ a partir da direita, e adicionando, produz-se a lei de conservação da corrente de Dirac:

∂ μ ( ψ ¯ γ μ ψ ) = 0 . esquerda (bar) =0~.0

Agora vemos a grande vantagem da equação de primeira ordem sobre a que Schrödinger tinha tentado – esta é a densidade de corrente conservada exigida pela invariância relativista, só agora o seu 4º componente é positivo definitivo e, portanto, adequado ao papel de uma densidade de probabilidade:

J 0 = ψ ¯ γ 0 ψ = ψ † ψ . J^{\i}={\i}={\i1}gamma ^{\i}psi =\i ^\i ^{\i}displaystyle J^{\i}psi ~.^

>5378>{\i1}displaystyle J^{0}={\i}bar {\i}gamma ^{0}psi =\i ^psi ^{\i}dagger ^psi ~.^8003>

Porque a densidade de probabilidade aparece agora como o quarto componente de um vector relativista e não um simples escalar como na equação de Schrödinger, estará sujeito aos efeitos habituais das transformações de Lorentz como a dilatação do tempo. Assim, por exemplo, processos atômicos que são observados como taxas, serão necessariamente ajustados de forma consistente com a relatividade, enquanto aqueles que envolvem a medição da energia e do momentum, que por sua vez formam um vetor relativista, sofrerão ajustes paralelos que preservam a covariância relativista dos valores observados. A própria corrente Dirac é, então, a quadri-variante espaço-tempo:

J μ = ψ ¯ γ μ ψ . J^{\mu {\mu }={\bar {\psi }}gamma ^{\mu ^psi .}

SolutionsEdit

Veja spinor Dirac para detalhes de soluções para a equação Dirac. Note que como o operador de Dirac atua em 4-tuplos de funções integráveis ao quadrado, suas soluções devem ser membros do mesmo espaço Hilbert. O fato das energias das soluções não terem um limite inferior é inesperado – veja a seção da teoria dos furos abaixo para mais detalhes.

Comparação com a teoria de PauliEdit

Veja também: equação de Pauli

A necessidade de introduzir spin semi-inteiro volta experimentalmente aos resultados da experiência de Stern-Gerlach. Um feixe de átomos passa por um forte campo magnético não homogéneo, que depois se divide em N partes, dependendo do momento angular intrínseco dos átomos. Verificou-se que para os átomos de prata, o feixe foi dividido em dois – o estado do solo, portanto, não podia ser inteiro, porque mesmo que o momento angular intrínseco dos átomos fosse o menor possível, 1, o feixe seria dividido em três partes, correspondentes aos átomos com Lz = -1, 0, +1. A conclusão é que os átomos de prata têm um momento angular intrínseco líquido de 1⁄2. Pauli estabeleceu uma teoria que explicou esta divisão introduzindo uma função de onda de dois componentes e um termo de correcção correspondente no Hamiltoniano, representando um acoplamento semi-clássico desta função de onda a um campo magnético aplicado, como é o caso das unidades SI: (Note que caracteres em negrito implicam vetores Euclidianos em 3 dimensões, enquanto o Minkowski de quatro vetores Aμ pode ser definido como A μ = ( ϕ / c , – A ) {\displaystyle A_{\mu }=(\phi /c,-\mathbf {A} )}

.) H = 1 2 m ( σ ⋅ ( p – e A ) ) 2 + e ϕ . H = H = Frac 1 = 2m esquerda + símbolo de fuso horário.

Here A e ϕ

representam os componentes dos quatro potenciais electromagnéticos nas suas unidades SI padrão, e os três sigmas são as matrizes Pauli. Na quadratura do primeiro termo, é encontrada uma interação residual com o campo magnético, juntamente com o clássico clássico Hamiltoniano de uma partícula carregada que interage com um campo aplicado em unidades SI: H = 1 2 m ( p – e A ) 2 + e ϕ – e ℏ 2 m σ ⋅ B . estilo de jogo H=frac {1}{2m}}{2m esquerda(mathbf {p} -e=mathbf {A}direita)^{2}+ephi -frac ^2mbar {2m}{2m símbolo de fração ^cdot ^mathbf ^B} ~.^

>2824>>displaystyle H=frac 1{\an8}{\an8}{\an8}{\an8}-esquerda(mathbf {\an8} -e=mathbf {\an8}-direita)^2+ephi -frac {\an8}{\an8}{\an8}{\an8}-esquerda(mathbf {\an8} -e=mathbfEste Hamiltoniano é agora uma matriz 2 × 2, por isso a equação de Schrödinger baseada nela deve usar uma função de onda de dois componentes. Ao introduzir o potencial eletromagnético externo de 4 vetores na equação de Dirac de forma similar, conhecida como acoplamento mínimo, ela toma a forma: ( γ μ ( i ℏ ∂ μ – e A μ ) – m c ) ψ = 0 . estilo de jogo (gamma ^{\mu }(i bar ^parcial _{\mu }-eA_{\mu })-mc)-mc)\psi =0~.}

Uma segunda aplicação do operador Dirac irá agora reproduzir o termo Pauli exactamente como antes, porque as matrizes espaciais Dirac multiplicadas por i, têm as mesmas propriedades de quadratura e comutação que as matrizes Pauli. Além disso, o valor da razão giromagnética do elétron, em frente ao novo termo Pauli, é explicado a partir dos primeiros princípios. Esta foi uma grande conquista da equação de Dirac e deu aos físicos grande fé em sua correção geral. Há mais, no entanto. A teoria de Pauli pode ser vista como o limite de baixa energia da teoria de Dirac da seguinte maneira. Primeiro a equação é escrita na forma de equações acopladas para 2-spinors com as unidades SI restauradas:

( m c 2 – E + e ϕ ) c σ ⋅ ( p – e A ) – c σ ⋅ ( p – e A ) ( m c 2 + E – e ϕ ) ) ( ψ + ψ – ) = ( 0 0 0 ) . estilo de jogo (mc^2) E+e+phi &c Símbolo de fivela (mc^2) -cdot (mathbf) -e (mc^2) -e (mathbf) -cdot (mathbf) -e (mc^2) -cdot (mathbf)e\mathbf {A} \right)&\left(mc^{2}+E-e\phi \right)\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\psi _{+}\\\psi _{-}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}~.}

so

( E – e ϕ ) ψ + – c σ ⋅ ( p – e A ) ψ – = m c 2 ψ + {\i1}{\i1}displaystyle (E-ephi )psi _{+-c{{\i1}boldsymbol _{\i}cdot {\i}left(mathbf {\i} -e{\i1}mathbf {\i}right)psi _{\i}mc^{\i}mc^{\i}psi _\i}

– ( E – e ϕ ) ψ – + c σ ⋅ ( p – e A ) ψ + = m c 2 ψ – {\displaystyle -(E-e=phi )psi _{-}+c{\i1}boldsymbol {\i}cdot {\i}left(mathbf {\i} -e{\i1}mathbf {\i}direita)|mc^{\i}mc^{\i}

Assumindo que o campo é fraco e o movimento do electrão não-relativista, temos a energia total do elétron aproximadamente igual à sua energia de repouso, e o impulso passando para o valor clássico,

E – e ϕ ≈ m c 2 {\displaystyle E-e}phi Aproximadamente mc^{2}}

p ≈ m v {\i1}displaystyle {\i}mathbf {\i} \Aproxima-te da matemática.

e assim a segunda equação pode ser escrita

ψ – ≈ 1 2 m c σ ⋅ ( p – e A ) ψ + {\i1}displaystyle {\i}psi _{\i}Aproximadamente 2mc… Símbolo de fração…

>8277>>displaystyle {\an8}psi _-approx {\an8}{\an8}{\an8}{\an8}{\an8}{\an8}{\an8}{\an8}cdot {\an8}-esquerda -e{\an8}mathbf {\an8} -e{\an8}psi _\an8}-2336>

que é de ordem v/c – portanto com energias e velocidades típicas, os componentes inferiores do spinor Dirac na representação padrão são muito suprimidos em comparação com os componentes superiores. A substituição desta expressão na primeira equação dá após algum rearranjo

( E – m c 2 ) ψ + = 1 2 m 2 ψ + + e ϕ ψ + {\displaystyle (E-mc^{2})\psi _{+}={\frac {1}{2m}}}esquerda^{2}\psi _{+}+ephi \psi _{+}}

O operador à esquerda representa a energia da partícula reduzida pela sua energia de repouso, que é apenas a energia clássica, assim recuperamos a teoria de Pauli se identificarmos os seus 2-spinadores com os componentes superiores do spinor Dirac na aproximação não-relativista. Uma outra aproximação dá a equação de Schrödinger como o limite da teoria de Pauli. Assim, a equação de Schrödinger pode ser vista como a aproximação não-relativista da equação de Dirac quando se pode negligenciar o spin e trabalhar apenas com baixas energias e velocidades. Este também foi um grande triunfo para a nova equação, pois ela traçou o i misterioso que aparece nela, e a necessidade de uma função de onda complexa, de volta à geometria do espaço-tempo através da álgebra de Dirac. Ela também destaca porque a equação de Schrödinger, embora superficialmente na forma de uma equação de difusão, na verdade representa a propagação de ondas.

Deve ser fortemente enfatizado que esta separação do spinor de Dirac em componentes grandes e pequenos depende explicitamente de uma aproximação de baixa energia. Todo o spinor de Dirac representa um todo irredutível, e os componentes que acabamos de negligenciar para chegar à teoria de Pauli trarão novos fenômenos no regime relativista – a antimatéria e a idéia de criação e aniquilação de partículas.

Comparação com a teoria de WeylEdit

No limite m → 0, a equação de Dirac se reduz à equação de Weyl, que descreve partículas relativistas sem massa de spin-1⁄2.

Dirac LagrangianEdit

Tanto a equação de Dirac como a equação de Dirac Adjunta podem ser obtidas a partir (variando) a ação com uma densidade Lagrangiana específica que é dada por:

L = i ℏ c ψ ¯ γ μ ∂ μ ψ – m c 2 ψ ¯ ψ ¯ ψ {\\i1}displaystyle {\i}=i bar c{\i}gamma c{\i}gamma

>5594>{\i}mathcal {\i}=ihbar c{\i}gamma c{\i}gamma