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Capítulo 4 : Integrais Múltiplos

Em Cálculo I passamos para o assunto de integrais uma vez terminada a discussão das derivadas. O mesmo é verdade neste curso. Agora que terminamos a discussão das derivadas de funções de mais de uma variável, precisamos passar para integrais de funções de duas ou três variáveis.

A maior parte dos tópicos de derivadas estendidos de forma algo natural a partir de suas contrapartidas de Cálculo I e que será o mesmo aqui. No entanto, como agora estamos envolvendo funções de duas ou três variáveis, haverá também algumas diferenças. Haverá uma nova notação e algumas novas questões que simplesmente não surgem quando lidamos com funções de uma única variável.

Aqui está uma lista de tópicos abordados neste capítulo.

Double Integrals – Nesta seção vamos definir formalmente a dupla integral, bem como dar uma rápida interpretação da dupla integral.

Integras Duplas – Nesta seção vamos mostrar como o Teorema de Fubini pode ser usado para avaliar as integrais duplas onde a região de integração é um retângulo.

Integras Duplas sobre Regiões Gerais – Nesta seção vamos começar a avaliar as integrais duplas sobre regiões gerais, ou seja, regiões que não são retângulos. Vamos ilustrar como uma dupla integral de uma função pode ser interpretada como o volume líquido do sólido entre a superfície dada pela função e o plano.

Duplo Integrais em Coordenadas Polares – Nesta secção vamos olhar para a conversão de integrais (incluindo \\(dA\)) em coordenadas cartesianas em coordenadas polares. As regiões de integração nestes casos serão todas ou partes de discos ou anéis e por isso também teremos que converter os limites originais cartesianos para estas regiões em coordenadas polares.

Triplos Integrais – Nesta secção vamos definir a tripla integral. Ilustraremos também alguns exemplos de definição dos limites de integração a partir da região tridimensional de integração. Obter os limites de integração é muitas vezes a parte difícil destes problemas.

Triple Integrals em Coordenadas Cilíndricas – Nesta secção vamos analisar a conversão de integrais (incluindo \(dV\)) em coordenadas cartesianas em coordenadas Cilíndricas. Também iremos converter os limites originais cartesianos para estas regiões em coordenadas Cilíndricas.

Triple Integrals em Coordenadas Esféricas – Nesta secção iremos ver a conversão de integrais (incluindo \(dV\)) em coordenadas cartesianas em coordenadas esféricas. Também iremos converter os limites originais cartesianos para estas regiões em coordenadas esféricas.

Mudança de Variáveis – Nas secções anteriores convertemos as coordenadas cartesianas em coordenadas polares, cilíndricas e esféricas. Nesta secção vamos generalizar esta ideia e discutir como converter integrais em coordenadas cartesianas em sistemas de coordenadas alternadas. Incluirá uma derivação da fórmula de conversão \(dV\) ao converter para coordenadas esféricas.

Área de superfície – Nesta secção vamos mostrar como uma integral dupla pode ser utilizada para determinar a área da superfície da porção de uma superfície que está sobre uma região no espaço bidimensional.

Área e Volume Revisitado – Nesta secção vamos resumir as várias fórmulas de área e volume deste capítulo.