Artigo principal: Teoria do grupo Os possíveis movimentos num cubo de Rubik formam um grupo (muito grande). A teoria de grupo é útil como uma noção abstracta de simetria, o que a torna aplicável a uma vasta gama de áreas: a relação entre as raízes de um polinómio (como na teoria Galois) e os métodos de solução para o cubo de Rubik são ambos exemplos proeminentes.

Informalmente, um grupo é um conjunto equipado com uma operação binária ∘\circ∘, de modo que a operação em quaisquer dois elementos do grupo também produz um elemento do grupo. Por exemplo, os números inteiros formam um grupo sob adição, e os números reais não zeros formam um grupo sob multiplicação. A operação ∘\circ∘ precisa satisfazer um número de propriedades análogas àquelas que satisfaz para estes sistemas de números “normais”: deve ser associativa (o que significa essencialmente que a ordem das operações não importa), e deve haver um elemento de identidade (0 no primeiro exemplo acima, e 1 no segundo). Mais formalmente, um grupo é um conjunto equipado com uma operação ⋅\cdot⋅ de tal forma que os seguintes axiomas se mantêm; note que ⋅\cdot⋅ não se refere necessariamente à multiplicação; pelo contrário, deve ser visto como uma função em duas variáveis (de facto, ⋅\cdot⋅ pode mesmo referir-se à adição):

Axiomas do grupo

1) Associatividade. Para qualquer x,y,z∈Gx, y, z \em G x,y,z∈G, temos (x⋅y)⋅z=x⋅(y⋅z) (x \cdot y) \cdot z = x \cdot (y \cdot z) (x⋅y)⋅z=x⋅(y⋅z).
2) Identidade. Existe um e∈G e \cdot G e∈G, tal que e⋅x=x⋅e=x e \cdot x = x \cdot e = x e⋅x=x⋅e=x para qualquer x∈Gx \in G x∈G. Dizemos que eee é um elemento de identidade da GGG.
3) Inverso. Para qualquer x∈Gx \ em Gx∈G, existe um y∈Gy \ em Gy∈G tal que x⋅y=e=y⋅xx \cdot y = e = y \cdot x x⋅y=e=y⋅x. Dizemos que yyy é um inverso de xxx.

Também vale a pena notar o axioma do fechamento para ênfase, pois é importante verificar o fechamento ao trabalhar com subgrupos (grupos contidos inteiramente dentro de outro):

4) Fechamento. Para qualquer x,y∈Gx, y \em G x,y∈G, x∗yx*y x∗y também está em GGG.

Exemplos adicionais de grupos incluem

• Zn\mathbb{Z}_nZn, o conjunto de inteiros {0,1,…,n-1}{0,1, {0,1, \ldots, n-1}{0,1,…n-1} com a operação de adição modulo nnn
• SnS_nSn, o conjunto de permutações de {1,2,…,n}{1, 2, pontos, n, 1,2,…,n} com a operação de composição.

S3S_3S3 vale uma nota especial como exemplo de um grupo que não é comutativo, o que significa que a⋅b=b⋅aa \cdot b = b \cdot aa⋅b=b⋅a geralmente não se mantém. Formalmente falando, o S3S_3S3 não é comutativo (um grupo abeliano é aquele em que a operação é comutativa). Quando a operação não é clara a partir do contexto, os grupos são escritos no formulário (set,op)(\text{set}, \text{op})(set,op); por exemplo, os reais não-zero equipados com multiplicação podem ser escritos como (R∗,⋅)(\mathbb{R}^*, \cdot)(R∗,⋅).

Muita teoria de grupo (e álgebra abstrata em geral) está centrada em torno do conceito de homomorfismo de grupo, o que significa essencialmente um mapeamento de um grupo para outro que preserva a estrutura do grupo. Em outras palavras, o mapeamento do produto de dois elementos deve ser o mesmo que o produto dos dois mapeamentos; intuitivamente falando, o produto de dois elementos não deve mudar sob o mapeamento. Formalmente, um homomorfismo é uma função ϕ:G→H\phi: G \rightarrow Hϕ:G→H tal que

ϕ(g1)⋅Hϕ(g2)=ϕ(g1⋅Gg2),\phi(g_1) \cdot_H \phi(g_2) = \phi(g_1 \cdot_G g_2),ϕ(g1)⋅Hϕ(g2)=ϕ(g1⋅Gg2),

where ⋅H\cdot_H⋅H é a operação no HHH e ⋅G\cdot_G⋅G é a operação no GGG. Por exemplo, ϕ(g)=g(modn)\phi(g) = g \pmod nϕ(g)=g(modn) é um exemplo de homomorfismo de grupo de Z\mathbb{Z}Z a Zn\mathbb{Z}_nZn. O conceito de operações potencialmente diferentes é necessário; por exemplo, ϕ(g)=eg\phi(g)=e^gϕ(g)=eg é um exemplo de homomorfismo de grupo de (R,+)(\mathbb{R},+)(R,+) até (R∗,⋅)(\mathbb{R}^{*},\cdot)(R∗,⋅).