Równanie Diraca
Równanie Diraca w postaci pierwotnie zaproponowanej przez Diraca to:
( β m c 2 + c ∑ n = 1 3 α n p n ) ψ ( x , t ) = i ℏ ∂ ψ ( x , t ) ∂ t {displaystyle \left(\beta mc^{2}+c:\suma _{n}mathop {=} 1}^{3} \alpha _{n}p_{n}}right)\psi (x,t)=i:\hbar {\frac {{partial \psi (x,t)}{partial t}}.
gdzie ψ = ψ(x, t) jest funkcją falową dla elektronu o masie spoczynkowej m we współrzędnych czasoprzestrzennych x, t. P1, p2, p3 to składowe momentu pędu, rozumianego jako operator momentu pędu w równaniu Schrödingera. Ponadto, c jest prędkością światła, a ħ jest zredukowaną stałą Plancka. Te fundamentalne stałe fizyczne odzwierciedlają odpowiednio szczególną względność i mechanikę kwantową.
Celem Diraca w rzuceniu tego równania było wyjaśnienie zachowania relatywistycznie poruszającego się elektronu, a więc umożliwienie traktowania atomu w sposób zgodny z względnością. Jego raczej skromna nadzieja polegała na tym, że wprowadzone w ten sposób poprawki mog± mieć znaczenie dla problemu widm atomowych.
Do tego czasu próby uczynienia starej kwantowej teorii atomu zgodn± z teori± względno¶ci, próby oparte na dyskretyzacji momentu pędu przechowywanego w możliwie nie okr±głej orbicie elektronu wokół j±dra atomowego, nie powiodły się – a nowa mechanika kwantowa Heisenberga, Pauliego, Jordana, Schrödingera i samego Diraca nie rozwinęła się wystarczaj±co, aby rozwi±zać ten problem. Chociaż pierwotne intencje Diraca zostały spełnione, jego równanie miało o wiele głębsze implikacje dla struktury materii i wprowadziło nowe matematyczne klasy obiektów, które są obecnie podstawowymi elementami fundamentalnej fizyki.
Nowymi elementami w tym równaniu są cztery macierze 4 × 4 α1, α2 , α3 i β oraz czteroskładnikowa funkcja falowa ψ. W ψ są cztery składniki, ponieważ jej ocena w dowolnym punkcie przestrzeni konfiguracyjnej jest bispinorem. Interpretuje się ją jako superpozycję elektronu spin-up, elektronu spin-down, pozytonu spin-up i pozytonu spin-down (dalsza dyskusja poniżej).
Macierze 4 × 4 αk i β są hermitowskie i są inwolucyjne:
α i 2 = β 2 = I 4 {{displaystyle \alpha _{i}^{2}= I_{4}}
i wszystkie one wzajemnie się antykomutują:
α i α j + α j α i = 0 ( i ≠ j ) { {{displaystyle \\ alpha _{i}+ {{alpha _{j}+{alpha _{j}=0\quad (i \neq j)}
α i β + β α i = 0 {displaystyle \ alfa _{i} + \ alfa _{i}=0} Struktura algebraiczna reprezentowana przez macierze gamma została stworzona około 50 lat wcześniej przez angielskiego matematyka W.K. Clifforda. Z kolei idee Clifforda wyrosły z prac niemieckiego matematyka Hermanna Grassmanna z połowy XIX wieku, zawartych w jego Lineale Ausdehnungslehre (Teorii rozszerzeń liniowych). Ta ostatnia praca była uważana przez większość współczesnych za niemal niezrozumiałą. Pojawienie się czegoś tak pozornie abstrakcyjnego, w tak późnym czasie i w tak bezpośredni sposób fizyczny, jest jednym z najbardziej niezwykłych rozdziałów w historii fizyki.
Pojedyncze symboliczne równanie rozwija się więc w cztery sprzężone liniowe równania różniczkowe cząstkowe pierwszego rzędu dla czterech wielkości, które składają się na funkcję falową. Równanie to można zapisać bardziej jednoznacznie w jednostkach Plancka jako:
i ∂ t = i ∂ x + ∂ y + i ∂ z + m {{displaystyle ipartial _{t}{begin{bmatrix}}}=ipartial _{x}{begin{bmatrix}-.\psi \\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\u005B\psi _{4}- \\u002600}{{3}}- \u002600}{{2}}- \u002600}{{1}end{bmatrix}}+partial _{z}{\u002600}{{bmatrix}- \u002600}{{3}}- \u002600}{{4}}-\\\}+m{begin{bmatrix}+\\i0}+\i0}przykłady _{1}przykłady _{2}przykłady _{3}przykłady _{4}przykłady _{4}przykłady}}}.
co uściśla, że jest to zbiór czterech równań różniczkowych cząstkowych z czterema niewiadomymi funkcji.
Uczynienie równania Schrödingera relatywistycznymEdit
Równanie Diraca jest powierzchownie podobne do równania Schrödingera dla masywnej cząstki swobodnej:
– ℏ 2 2 m ∇ 2 ϕ = i ℏ ∂ ∂ t ϕ .
Lewa strona przedstawia kwadrat operatora pędu podzielony przez dwukrotność masy, czyli nierelatywistyczną energię kinetyczną. Ponieważ względność traktuje przestrzeń i czas jako całość, relatywistyczne uogólnienie tego równania wymaga, aby pochodne przestrzeni i czasu wchodziły symetrycznie, tak jak w równaniach Maxwella rządzących zachowaniem światła – równania muszą być różniczkowalne tego samego rzędu w przestrzeni i czasie. W teorii względności moment pędu i energie są czasoprzestrzennymi i przestrzennymi częściami wektora czasoprzestrzennego, czteromomentu, i są powiązane relatywistycznie niezmienniczą zależnością
E 2 = m 2 c 4 + p 2 c 2 {{displaystyle E^{2}=m^{2}c^{4}+p^{2}c^{2}}}
co mówi, że długość tego czterowektora jest proporcjonalna do masy spoczynkowej m. Podstawiając operatorowe odpowiedniki energii i pędu z teorii Schrödingera, otrzymujemy równanie Kleina-Gordona opisujące rozchodzenie się fal, zbudowanych z obiektów relatywistycznie niezmienniczych,
( – 1 c 2 ∂ 2 ∂ t 2 + ∇ 2 ) ϕ = m 2 c 2 ℏ 2 ϕ {{displaystyle \left(-{frac {1}{c^{2}}}}{\frac {{partial ^{2}}}{\partial t^{2}}}+\nabla ^{2}}}right)\phi ={\frac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}}}phi }
z funkcją falową ϕ będącą skalarem relatywistycznym: liczbą złożoną, która ma tę samą wartość liczbową we wszystkich układach odniesienia. Pochodne przestrzeni i czasu wchodzą do drugiego rzędu. Ma to wymowną konsekwencję dla interpretacji równania. Ponieważ równanie jest drugiego rzędu w pochodnej czasowej, to aby rozwiązać problemy skończone, trzeba podać wartości początkowe zarówno samej funkcji falowej, jak i jej pierwszej pochodnej czasowej. Ponieważ obie te wartości mogą być określone mniej lub bardziej arbitralnie, funkcja falowa nie może zachować swojej poprzedniej roli, polegającej na określeniu gęstości prawdopodobieństwa znalezienia elektronu w danym stanie ruchu. W teorii Schrödingera gęstość prawdopodobieństwa jest dana przez dodatnio określone wyrażenie
ρ = ϕ ∗ ϕ {{displaystyle \rho = ^{*}phi }
i gęstość ta jest konwekcjonowana zgodnie z wektorem prądu prawdopodobieństwa
J = – i ℏ 2 m ( ϕ ∗ ∇ ϕ – ϕ ∇ ϕ ∗ ) {displaystyle J=-.{frac }{2m}}(^{*} ^nabla ^{*})}
z zachowaniem prądu prawdopodobieństwa i gęstości wynikającym z równania ciągłości:
∇ ⋅ J + ∂ ρ ∂ t = 0 . {{displaystyle \nabla \cdot J+{frac {{partial \rho }{partial t}}=0~.}
Fakt, że gęstość jest dodatnio określona i konwekowana zgodnie z tym równaniem ciągłości implikuje, że możemy zintegrować gęstość w pewnej dziedzinie i ustawić sumę na 1, a warunek ten będzie zachowany przez prawo zachowania. Właściwa teoria relatywistyczna z prądem gęstości prawdopodobieństwa musi również posiadać tę cechę. Teraz, jeśli chcemy zachować pojęcie gęstości konwekcyjnej, to musimy uogólnić wyrażenie Schrödingera na gęstość i prąd tak, aby pochodne przestrzeni i czasu znów wchodziły symetrycznie względem skalarnej funkcji falowej. Wolno nam zachować wyrażenie Schrödingera dla prądu, ale musimy zastąpić gęstość prawdopodobieństwa symetrycznie utworzonym wyrażeniem
ρ = i ℏ 2 m c 2 ( ψ ∗ ∂ t ψ – ψ ∂ t ψ ∗ ) .
który staje się teraz 4 składową wektora czasoprzestrzennego, a cała gęstość prawdopodobieństwa 4-prądowego ma relatywistycznie kowariantne wyrażenie
J μ = i ℏ 2 m ( ψ ∗ ∂ μ ψ – ψ ∂ μ ψ ∗ ) . {{displaystyle J^{mu }={frac {i}hbar }{2m}(^psi ^{*} ^{mu } – ^{psi ^{mu } ^{*})~.}
Równanie ciągłości jest takie jak poprzednio. Wszystko jest teraz zgodne z względnością, ale widzimy natychmiast, że wyrażenie na gęstość nie jest już dodatnio określone – wartości początkowe zarówno ψ, jak i ∂tψ mogą być dowolnie wybrane, a gęstość może w ten sposób stać się ujemna, co jest niemożliwe dla prawomocnej gęstości prawdopodobieństwa. Tak więc, nie możemy otrzymać prostego uogólnienia równania Schrödingera przy naiwnym założeniu, że funkcja falowa jest relatywistycznym skalarem, a równanie, które spełnia, drugiego rzędu w czasie.
Pomimo, że nie jest to udane relatywistyczne uogólnienie równania Schrödingera, równanie to zostało wskrzeszone w kontekście kwantowej teorii pola, gdzie znane jest jako równanie Kleina-Gordona i opisuje bezspinowe pole cząstek (np. mezon pi lub bozon Higgsa). Historycznie rzecz biorąc, sam Schrödinger doszedł do tego równania przed tym, które nosi jego imię, ale wkrótce je odrzucił. W kontekście kwantowej teorii pola nieokreślona gęstość jest rozumiana jako odpowiadająca gęstości ładunku, który może być dodatni lub ujemny, a nie gęstości prawdopodobieństwa.
Pucz Diraca
Dirac pomyślał więc, aby wypróbować równanie, które było pierwszego rzędu zarówno w przestrzeni, jak i w czasie. Można by, na przykład, formalnie (tzn. przez nadużycie notacji) przyjąć relatywistyczne wyrażenie na energię
E = c p 2 + m 2 c 2 , {{displaystyle E=c{sqrt {p^{2}+m^{2}c^{2}}}~,}
zastąpić p jego odpowiednikiem operatorowym, rozwinąć pierwiastek kwadratowy w nieskończonej serii operatorów pochodnych, postawić problem wartości własnej, a następnie rozwiązać równanie formalnie przez iteracje. Większość fizyków nie wierzyła w taki proces, nawet gdyby był on technicznie możliwy.
Po wymnożeniu prawej strony widzimy, że aby wszystkie twierdzenia krzyżowe, takie jak ∂x∂y zniknęły, musimy założyć
A B + B A = 0 , … {{displaystyle AB+BA=0,~ldots ~}.
z
A 2 = B 2 = … = 1 . {displaystyle A^{2}=B^{2}=ldots =1~.}
Dirac, który właśnie wtedy intensywnie zajmował się opracowywaniem podstaw mechaniki macierzowej Heisenberga, natychmiast zrozumiał, że warunki te mogą być spełnione, jeśli A, B, C i D są macierzami, co implikuje, że funkcja falowa ma wiele składników. To natychmiast wyjaśniło pojawienie się dwuskładnikowych funkcji falowych w fenomenologicznej teorii spinu Pauliego, co do tej pory było uważane za tajemnicze, nawet przez samego Pauliego. Jednak do utworzenia układu o wymaganych właściwościach potrzebne są macierze co najmniej 4 × 4 – a więc funkcja falowa miała cztery składniki, a nie dwa, jak w teorii Pauliego, czy jeden, jak w czystej teorii Schrödingera. Czteroskładnikowa funkcja falowa reprezentuje nową klasę obiektów matematycznych w teoriach fizycznych, która pojawia się tutaj po raz pierwszy.
Dając faktoryzację w kategoriach tych macierzy, można teraz natychmiast zapisać równanie
( A ∂ x + B ∂ y + C ∂ z + i c D ∂ t ) ψ = κ ψ { {displaystyle \left(A \partial _{x}+B \partial _{y}+C \partial _{z}+{frac {i}{c}}D \partial _{t} \right)\psi = \kappa \psi }
z κ {displaystyle \kappa }
do wyznaczenia. Ponowne zastosowanie operatora macierzy po obu stronach daje ( ∇ 2 – 1 c 2 ∂ t 2 ) ψ = κ 2 ψ . {{displaystyle \i0}left(\nabla ^{2}-{{frac {1}{c^{2}}}partial _{t}^{2}}right)\psi = \kappa ^{2} \i~.}
Na wzięciu κ = m c ℏ {displaystyle \kappa ={tfrac {mc}{hbar }}
znajdujemy, że wszystkie składowe funkcji falowej indywidualnie spełniają relatywistyczną relację energia-momentum. Zatem poszukiwane równanie, które jest pierwszego rzędu zarówno w przestrzeni, jak i w czasie, brzmi ( A ∂ x + B ∂ y + C ∂ z + i c D ∂ t – m c ℏ ) ψ = 0 . {displaystyle \left(A \partial _{x}+B \partial _{y}+C \partial _{z}+{frac {i}{c}}D \partial _{t}-{frac {mc}{hbar }}right)\psi =0~.}
Ustawienie
A = i β α 1 , B = i β α 2 , C = i β α 3 , D = β , {{displaystyle A=i β alpha _{1}},,B=iibeta _{2}},,C=iibeta _{3},,D=iibeta ~,}
a ponieważ D 2 = β 2 = I 4 , {displaystyle D^{2}=iibeta ^{2}=I_{4}~,}
otrzymujemy równanie Diraca zapisane powyżej.
Postać kowariantna i niezmienniczość relatywistycznaEdit
Aby zademonstrować relatywistyczną niezmienniczość równania, korzystnie jest przekształcić je do postaci, w której pochodne czasowe i przestrzenne występują na równych prawach. Nowe macierze wprowadza się w następujący sposób:
D = γ 0 , {{displaystyle D=gamma ^{0}~,}
A = i γ 1 , B = i γ 2 , C = i γ 3 , }
a równanie przyjmuje postać (pamiętając definicję kowariantnych składowych gradientu 4gradientu, a w szczególności, że ∂0 = 1/c∂t )
i ℏ γ μ ∂ μ ψ – m c ψ = 0 {displaystyle i\hbar \gamma ^{mu } \partial _{mu } \psi -mc \psi =0}
gdzie występuje implikowane sumowanie nad wartościami dwukrotnie powtórzonego indeksu μ = 0, 1, 2, 3, a ∂μ jest gradientem 4. W praktyce często zapisuje się macierze gamma w postaci 2 × 2 podmacierzy z macierzy Pauliego i 2 × 2 macierzy tożsamości. Wyraźnie standardowa reprezentacja to
γ 0 = ( I 2 0 0 – I 2 ) , γ 1 = ( 0 σ x – σ x 0 ) , γ 2 = ( 0 σ y – σ y 0 ) , γ 3 = ( 0 σ z – σ z 0 ) . {\displaystyle \gamma ^{0}={\begin{pmatrix}I_{2}&0\\0&-I_{2}\end{pmatrix}}~,\gamma ^{1}=\left({\begin{array}{cccc}0&\sigma _{x}\\-\sigma _{x}&0\end{array}}\right)~,\gamma ^{2}=\left({\begin{array}{cccc}0&\sigma _{y}\\-\sigma _{y}&0\end{array}}\right)~,\gamma ^{3}=\left({\begin{array}{cccc}0&\sigma _{z}\\-\sigma _{z}&0\end{array}}\right)~.}
Kompletny układ streszcza się za pomocą metryki Minkowskiego na czasoprzestrzeni w postaci
{ γ μ , γ ν } = 2 η μ ν I 4 {{displaystyle ^{gamma ^{mu },^{gamma ^{nu }} = 2 η μ ^{mu ^{nu }I_{4}}.
gdzie wyrażenie nawiasowe
{ a , b } = a b + b a {{a,b}}=ab+ba}.
oznacza antykomutator. Są to relacje definiujące algebrę Clifforda nad pseudo-ortogonalną przestrzenią 4-wymiarową o sygnaturze metrycznej (+ – – -). Konkretna algebra Clifforda użyta w równaniu Diraca jest dziś znana jako algebra Diraca. Chociaż Dirac nie uznawał jej za taką w momencie formułowania równania, z perspektywy czasu wprowadzenie tej algebry geometrycznej stanowi ogromny krok naprzód w rozwoju teorii kwantowej.
Równanie Diraca można teraz interpretować jako równanie wartości własnych, w którym masa spoczynkowa jest proporcjonalna do wartości własnej operatora 4-momentum, a stałą proporcjonalności jest prędkość światła:
P o p ψ = m c ψ . {displaystyle P_{mathrm {op} P o p ψ = m c ~.}
( ∂ / {displaystyle {{partial ^{big /}}}
wymawia się jako „d-slash”), zgodnie z notacją ukośnikową Feynmana, równanie Diraca przyjmuje postać: i ℏ ∂ / ψ – m c ψ = 0. {{displaystyle i}hbar {{partial \i0} -mc \i =0.}
W praktyce fizycy często używają jednostek miary takich, że ħ = c = 1, zwanych jednostkami naturalnymi. Równanie przyjmuje wtedy prostą postać
( i ∂ / – m ) ψ = 0 {{displaystyle (i{partial ∂ / – m) ψ =0}
Fundamentalne twierdzenie mówi, że jeśli dane są dwa różne zbiory macierzy, które oba spełniają relacje Clifforda, to są one połączone ze sobą transformacją podobieństwa:
γ μ ′ = S – 1 γ μ S . {{displaystyle }=S^{-1} ^{gamma ^{mu ^{mu ^~.}
Jeżeli dodatkowo wszystkie macierze są jednostkowe, tak jak zbiór Diraca, to samo S jest jednostkowe;
γ μ ′ = U † γ μ U . {displaystyle \gamma ^{mu \ prime }=U^{pierwiastek }=U^{pierwiastek }\gamma ^{mu }U~.}
Transformacja U jest unikalna aż do multiplikatywnego czynnika o wartości bezwzględnej 1. Wyobraźmy sobie teraz, że transformacja Lorentza została dokonana na współrzędnych przestrzeni i czasu oraz na operatorach pochodnych, które tworzą wektor kowariantny. Aby operator γμ∂μ pozostał niezmienniczy, gammy muszą przekształcić się między sobą jako wektor niezmienniczy względem swojego indeksu czasoprzestrzennego. Te nowe gammy same będą spełniały relacje Clifforda, ze względu na ortogonalność transformacji Lorentza. Na mocy twierdzenia podstawowego możemy zastąpić nowy zbiór starym zbiorem poddanym transformacji unitarnej. W nowym układzie, pamiętając, że masa spoczynkowa jest relatywistycznym skalarem, równanie Diraca przyjmie wtedy postać
( i U † γ μ U ∂ μ ′ – m ) ψ ( x ′ , t ′ ) = 0 {{displayplaystyle (iU^{dagger }} ^{partial _{{mu }^{prime }-m)^psi (x^{prime },t^{prime })=0}.
U † ( i γ μ ∂ μ ′ – m ) U ψ ( x ′ , t ′ ) = 0 . U ψ ( x ′ , t ′ ) = 0. {{displaystyle U^{dagger }(i ^gamma ^{mu }^partial _{prime }-m)U ψ (x^{prime },t^{prime })=0~.}
Jeśli teraz zdefiniujemy przekształcony spinor
ψ ′ = U ψ {{displaystyle ^{prime }=U ^{prime }}
to mamy przekształcone równanie Diraca w sposób, który pokazuje oczywistą relatywistyczną niezmienniczość:
( i γ μ ∂ μ ′ – m ) ψ ′ ( x ′ , t ′ ) = 0 . {{displayplaystyle (i ^{gamma ^{mu } ^{prime }-m)^{prime }(x^{prime },t^{prime })=0~.}
Tak więc, gdy już ustalimy dowolną jednostkową reprezentację gammy, jest ona ostateczna pod warunkiem, że przekształcimy spinor zgodnie z transformacją jednostkową, która odpowiada danej transformacji Lorentza.
Różne reprezentacje macierzy Diraca pozwolą skupić się na poszczególnych aspektach zawartości fizycznej w funkcji falowej Diraca (patrz niżej). Przedstawiona tu reprezentacja jest znana jako reprezentacja standardowa – w niej dwa górne składniki funkcji falowej przechodzą w 2 spinową funkcję falową Pauliego w granicy niskich energii i małych prędkości w porównaniu do światła.
Powyższe rozważania ujawniają pochodzenie gamma z geometrii, nawiązując do pierwotnej motywacji Grassmanna – reprezentują one stałą podstawę wektorów jednostkowych w czasoprzestrzeni. Podobnie, iloczyny gammy takie jak γμγν reprezentują zorientowane elementy powierzchni, i tak dalej. Mając to na uwadze, możemy znaleźć postać elementu jednostkowej objętości w czasoprzestrzeni w kategoriach gamma w następujący sposób. Z definicji wynika, że jest to
V = 1 4 ! ϵ μ ν α β γ μ γ ν γ α γ β . {{displaystyle V={frac {1}{4!}}}epsilon _{ ^mu ^alpha ^beta } ^gamma ^{mu } ^gamma ^{alpha } ^gamma ^{beta }.}
Aby to było niezmienne, symbol epsilon musi być tensorem, a więc musi zawierać czynnik √g, gdzie g jest wyznacznikiem tensora metrycznego. Ponieważ jest on ujemny, czynnik ten jest urojony. Zatem
V = i γ 0 γ 1 γ 2 γ 3 . V=i ^{0} ^{1} ^{1} ^{2} ^{3} ^{3}~.}
Macierz ta otrzymała specjalny symbol γ5, ze względu na jej znaczenie, gdy rozważa się niewłaściwe przekształcenia czasoprzestrzeni, to znaczy takie, które zmieniają orientację wektorów bazowych. W standardowej reprezentacji jest to
γ 5 = ( 0 I 2 I 2 0 ) . {\displaystyle \gamma _{5}={\begin{pmatrix}0&I_{2}\\I_{2}&0\end{pmatrix}}~.}
Okazuje się, że macierz ta jest również antynomiczna z pozostałymi czterema macierzami Diraca:
γ 5 γ μ + γ μ γ 5 = 0 {displaystyle ^{5}} ^{pmatrix}+ ^{pmatrix} 0}
Przyjmuje ona wiodącą rolę, gdy pojawiają się pytania o parzystość, ponieważ element objętości jako wielkość skierowana zmienia znak pod odbiciem czasoprzestrzennym. Przyjęcie dodatniego pierwiastka kwadratowego powyżej jest więc równoznaczne z wyborem konwencji parzystości na czasoprzestrzeni.
Zachowanie prądu prawdopodobieństwaEdit
Definiując spinor adjoint
ψ ¯ = ψ † γ 0 {{displaystyle {{bar {{psi }}= ^{gamma ^{0}}
gdzie ψ† jest sprzężoną transpozycją ψ, i zauważając, że
( γ μ ) † γ 0 = γ 0 γ μ , {{displaystyle (^gamma ^{mu })^{dagger } ^gamma ^{0}= ^gamma ^{0} ^{mu }~,}
otrzymujemy, biorąc koniugat hermitowski równania Diraca i mnożąc od prawej strony przez γ0, równanie addytywne:
ψ ¯ ( i γ μ ∂ μ + m ) = 0 , {(igamma ^{mu ∂ μ+m)=0~,}
gdzie ∂μ rozumiemy jako działanie w lewo. Mnożąc równanie Diraca przez ψ z lewej strony, a równanie addytywne przez ψ z prawej strony i dodając, otrzymujemy prawo zachowania prądu Diraca:
∂ μ ( ψ ¯ γ μ ψ ) = 0 . {∂ ∂ μ ( ψ ¯ γ μ ψ ) = 0.
Teraz widzimy wielką przewagę równania pierwszego rzędu nad tym, którego próbował Schrödinger – jest to zachowana gęstość prądu wymagana przez relatywistyczną niezmienniczość, tylko teraz jej czwarty składnik jest dodatnio określony, a więc nadaje się do roli gęstości prawdopodobieństwa:
J 0 = ψ ¯ γ 0 ψ = ψ † ψ . {J ^{0}={bar {{gamma ^{0}} } }
Ponieważ gęstość prawdopodobieństwa pojawia się teraz jako czwarty składnik relatywistycznego wektora, a nie prosty skalar jak w równaniu Schrödingera, będzie ona podlegać zwykłym efektom transformacji Lorentza, takim jak dylatacja czasu. Tak więc, na przykład, procesy atomowe, które są obserwowane jako szybkości, będą z konieczności korygowane w sposób zgodny z relatywistyką, podczas gdy te obejmujące pomiar energii i pędu, które same tworzą relatywistyczny wektor, będą poddane równoległej korekcie, która zachowa relatywistyczną kowariancję obserwowanych wartości. Sam prąd Diraca jest więc czasoprzestrzennie kowariancyjnym czterowektorem:
J μ = ψ ¯ γ μ ψ . {{displaystyle J^{mu }={gamma ^{mu }}.
SolutionsEdit
See Dirac spinor for details of solutions to the Dirac equation. Zauważmy, że ponieważ operator Diraca działa na 4-tuple funkcji kwadratowoegregowalnych, jego rozwiązania powinny być członkami tej samej przestrzeni Hilberta. Fakt, że energie rozwiązań nie mają dolnego ograniczenia jest nieoczekiwany – zobacz sekcję teorii dziur poniżej po więcej szczegółów.
Porównanie z teorią PauliegoEdit
Konieczność wprowadzenia pół-integer spinu sięga doświadczalnie do wyników eksperymentu Sterna-Gerlacha. Przez silne niejednorodne pole magnetyczne przepuszczono wiązkę atomów, która następnie rozpadła się na N części w zależności od własnego momentu pędu atomów. Stwierdzono, że dla atomów srebra wiązka rozpada się na dwie części – stan podstawowy nie może być zatem całkowity, ponieważ nawet gdyby moment pędu atomów był tak mały jak to tylko możliwe, czyli 1, wiązka rozpadłaby się na trzy części, odpowiadające atomom o Lz = -1, 0, +1. Wniosek jest taki, że atomy srebra mają moment pędu netto 1⁄2. Pauli stworzył teorię, która wyjaśniała to rozszczepienie poprzez wprowadzenie dwuskładnikowej funkcji falowej i odpowiedniego członu korekcyjnego w hamiltonianie, reprezentującego półklasyczne sprzężenie tej funkcji falowej z przyłożonym polem magnetycznym, tak jak w jednostkach SI: (Zauważmy, że pogrubiona czcionka oznacza wektory euklidesowe w 3 wymiarach, podczas gdy Minkowski czterowektor Aμ może być zdefiniowany jako A μ = ( ϕ / c , – A ) { {displaystyle A_{}}=(\phi /c,-\mathbf {A} )}
.) H = 1 2 m ( σ ⋅ ( p – e A ) ) 2 + e ϕ . Displaystyle H= {{{frac {1}{2m}}}left({{boldsymbol {{sigma}}} ^{2}+e}phi ~.}
Tutaj A i ϕ {{displaystyle }
przedstawiają składowe elektromagnetycznego czteropotencjału w ich standardowych jednostkach SI, a trzy sigmy są macierzami Pauliego. Po podniesieniu do kwadratu pierwszego członu otrzymujemy szczątkowe oddziaływanie z polem magnetycznym wraz ze zwykłym klasycznym hamiltonianem cząstki naładowanej oddziałującej z przyłożonym polem w jednostkach SI: H = 1 2 m ( p – e A ) 2 + e ϕ – e ℏ 2 m σ ⋅ B . H={{displaystyle H={{frac {1}{2m}}}left(\mathbf {p} -e\mathbf {A} \prawo)^{2}+e\i -{{{frac {\i0}}{\i0}}boldsymbol {\i0}}}przykład {\i0} \i0}.
Ten hamiltonian jest teraz macierzą 2 × 2, więc oparte na nim równanie Schrödingera musi używać dwuskładnikowej funkcji falowej. Po wprowadzeniu zewnętrznego elektromagnetycznego potencjału 4-wektorowego do równania Diraca w podobny sposób, znany jako minimalne sprzężenie, przyjmuje ono postać:
( γ μ ( i ℏ ∂ μ – e A μ ) – m c ) ψ = 0 . {{displaystyle (^{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{}}}}}) – m c)ψ = 0 .
Drugie zastosowanie operatora Diraca odtworzy teraz termin Pauliego dokładnie tak jak poprzednio, ponieważ przestrzenne macierze Diraca pomnożone przez i, mają te same własności kwadraturowania i komutacji co macierze Pauliego. Co więcej, wartość współczynnika gyromagnetycznego elektronu, stojącego przed nowym terminem Pauliego, jest wyjaśniona z pierwszej zasady. Było to wielkie osiągnięcie równania Diraca i dało fizykom wielką wiarę w jego ogólną poprawność. Jest jednak coś więcej. Teoria Pauliego może być postrzegana jako niskoenergetyczne ograniczenie teorii Diraca w następujący sposób. Najpierw równanie zapisujemy w postaci równań sprzężonych dla 2-spinorów z przywróconymi jednostkami SI:
( ( m c 2 – E + e ϕ ) c σ ⋅ ( p – e A ) – c σ ⋅ ( p – e A ) ( m c 2 + E – e ϕ ) ) ( ψ + ψ – ) = ( 0 0 ) . {displaystyle {{begin{pmatrix}(mc^{2}-E+e}phi )&c{boldsymbol {sigma }} – lewa strona(\mathbf {p} -e\mathbf {A} \prawa)}e\mathbf {A} \right)&\left(mc^{2}+E-e\phi \right)\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\psi _{+}\\\psi _{-}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}~.}
so
( E – e ϕ ) ψ + – c σ ⋅ ( p – e A ) ψ – = m c 2 ψ + {displaystyle (E-)\psi _{+}-c{boldsymbol {{sigma }} \cdot \left(\mathbf {p} -e\mathbf {A} \right)\psi _{-}=mc^{2}\psi _{+}
– ( E – e ϕ ) ψ – + c σ ⋅ ( p – e A ) ψ + = m c 2 ψ – {{displaystyle – – przyp. tłum.(E-e )\psi _{-}+c{boldsymbol {{sigma }} \cdot \left(\mathbf {p} -e\mathbf {A} \right)\psi _{+}=mc^{2}\psi _{-}
Zakładając, że pole jest słabe, a ruch elektronu nierelatywistyczny, mamy całkowitą energię elektronu w przybliżeniu równą jego energii spoczynkowej, a pęd przechodzący do wartości klasycznej,
E – e ϕ ≈ m c 2 {{displaystyle E-e\i \approx mc^{2}}
p ≈ m v {displaystyle \mathbf {p} ≈ m v }
i tak drugie równanie można zapisać
ψ – ≈ 1 2 m c σ ⋅ ( p – e A ) ψ + {displaystyle \psi _{-}approx {{frac {1}{2mc}}{{boldsymbol {{sigma}}} lewa(\mathbf {p} -e\mathbf {A} \prawa)\psi _{+}.
który jest rzędu v/c – a więc przy typowych energiach i prędkościach, dolne składowe spinora Diraca w standardowej reprezentacji są znacznie wytłumione w porównaniu z górnymi składowymi. Podstawienie tego wyrażenia do pierwszego równania daje po pewnym przearanżowaniu
( E – m c 2 ) ψ + = 1 2 m 2 ψ + + e ϕ ψ + {{}displaystyle (E-mc^{2})\psi _{+}={\frac {1}{2m}}\left^{2}\psi _{+}+e\i \{+}
Operator po lewej stronie reprezentuje energię cząstki pomniejszoną o jej energię spoczynkową, która jest po prostu energią klasyczną, więc odzyskujemy teorię Pauliego, jeśli w nierelatywistycznym przybliżeniu utożsamimy jego 2-spinor z górnymi składowymi spinora Diraca. Dalsze przybliżenie daje równanie Schrödingera jako ograniczenie teorii Pauliego. Tak więc, równanie Schrödingera może być postrzegane jako dalekie nierelatywistyczne przybliżenie równania Diraca, kiedy można zaniedbać spin i pracować tylko przy niskich energiach i prędkościach. To również był wielki triumf nowego równania, ponieważ pozwolił na odnalezienie tajemniczego i, które się w nim pojawia, oraz konieczności istnienia złożonej funkcji falowej, z powrotem do geometrii czasoprzestrzeni poprzez algebrę Diraca. Podkreśla to również dlaczego równanie Schrödingera, choć powierzchownie w formie równania dyfuzji, w rzeczywistości reprezentuje propagację fal.
Należy mocno podkreślić, że ten podział spinora Diraca na duże i małe składowe zależy wyraźnie od niskoenergetycznego przybliżenia. Cały spinor Diraca stanowi nieredukowalną całość, a składniki, które właśnie pominęliśmy, aby dojść do teorii Pauliego, wniosą nowe zjawiska w reżimie relatywistycznym – antymaterię oraz ideę kreacji i anihilacji cząstek.
Porównanie z teorią WeylaEdit
W granicy m → 0 równanie Diraca redukuje się do równania Weyla, które opisuje relatywistyczne bezmasowe cząstki spin-1⁄2.
Dirac LagrangianEdit
Zarówno równanie Diraca jak i równanie Adjointa Diraca można otrzymać z (zróżnicowania) działania z określoną gęstością Lagrangianu, która jest dana przez:
L = i ℏ c ψ ¯ γ μ ∂ μ ψ – m c 2 ψ ψ {{displaystyle}}=i ℏ c{overline {{psi }} -mc^{2}{overline {{psi }}.
.