ArystotelesEdit

Najwcześniejsze znane sformułowanie jest w Arystotelesa dyskusji zasady niesprzeczności, po raz pierwszy zaproponowany w O interpretacji, gdzie mówi, że z dwóch sprzecznych propozycji (tj. gdzie jedna propozycja jest zaprzeczeniem drugiej) jeden musi być prawdziwe, a drugi fałszywe. Stwierdza to również jako zasadę w 3 księdze Metafizyki, mówiąc, że w każdym przypadku konieczne jest twierdzenie lub zaprzeczenie, i że niemożliwe jest, aby istniało coś pomiędzy dwiema częściami sprzeczności.

Arystoteles pisał, że wieloznaczność może wynikać z użycia wieloznacznych nazw, ale nie może istnieć w samych faktach:

Nie jest więc możliwe, aby „być człowiekiem” oznaczało właśnie „nie być człowiekiem”, skoro „człowiek” nie tylko oznacza coś o jednym przedmiocie, ale ma też jedno znaczenie. … I nie będzie możliwe być i nie być tą samą rzeczą, chyba że na mocy dwuznaczności, tak jak gdybyśmy jednego, którego my nazywamy „człowiekiem”, a inni mieliby nazywać „nie-człowiekiem”; ale nie o to chodzi, czy ta sama rzecz może jednocześnie być i nie być człowiekiem z nazwy, lecz czy może być nim w rzeczywistości”. (Metafizyka 4.4, W.D. Ross (przeł.), GBWW 8, 525-526).

Arystotelesowskie twierdzenie, że „nie będzie możliwe być i nie być tą samą rzeczą”, które w logice propozycjonalnej zapisane byłoby jako ¬(P ∧ ¬P), jest twierdzeniem, które współcześni logicy mogliby nazwać prawem wyłączonego środka (P ∨ ¬P), jako rozkład negacji twierdzenia Arystotelesa czyni je równoważnymi, niezależnie od tego, że pierwsze z nich głosi, iż żadne twierdzenie nie jest zarówno prawdziwe, jak i fałszywe, podczas gdy drugie wymaga, by każde twierdzenie było albo prawdziwe, albo fałszywe.

Arystoteles pisze również, że „skoro niemożliwe jest, aby sprzeczności były jednocześnie prawdziwe o tej samej rzeczy, to oczywiście sprzeczności również nie mogą należeć jednocześnie do tej samej rzeczy” (Księga IV, CH 6, s. 531). Następnie proponuje, że „nie może być pośrednictwa między sprzecznościami, lecz o jednym przedmiocie musimy albo potwierdzić, albo zaprzeczyć jakiemuś predykatowi” (Księga IV, CH 7, s. 531). W kontekście tradycyjnej logiki Arystotelesa jest to niezwykle precyzyjne stwierdzenie prawa wyłączonego środka, P ∨ ¬P.

Również w O interpretacji, Arystoteles wydaje się zaprzeczać prawu wyłączonego środka w przypadku przyszłych zdarzeń, w dyskusji o bitwie morskiej.

LeibnizEdit

Jego zwykła forma, „Każdy sąd jest albo prawdziwy, albo fałszywy” ….”(z Kołmogorowa w van Heijenoort, str. 421) przypis 9: „Jest to bardzo proste sformułowanie Leibniza (patrz Nouveaux Essais, IV,2)” (ibid str. 421)

Bertrand Russell i Principia MathematicaEdit

Zasada ta została podana jako twierdzenie logiki propozycjonalnej przez Russella i Whiteheada w Principia Mathematica jako:

∗ 2 ⋅ 11 .

.

Czym więc jest „prawda” i „fałsz”? Na wstępie PM szybko ogłasza kilka definicji:

Wartości prawdy. The „truth-value” of a proposition is truth if it is true and falsehood if it is false* …the truth-value of „p ∨ q” is truth if the truth-value of either p or q is truth, and is falsehood otherwise … that of „~ p” is the opposite of that of p…” (s. 7-8)

To nie jest zbyt pomocne. Ale później, w znacznie głębszej dyskusji („Definicja i systematyczna wieloznaczność prawdy i fałszu” rozdz. II cz. III, s. 41 i nast.) PM definiuje prawdę i fałsz w kategoriach relacji między „a” i „b” a „percypientem”. Na przykład „To 'a’ jest 'b'” (np. „Ten 'obiekt a’ jest 'czerwony'”) oznacza tak naprawdę, że „’obiekt a’ jest sensem-datum” i „’czerwony’ jest sensem-datum”, a one „stoją w relacji” do siebie nawzajem i do „ja”. Tak więc to, co naprawdę mamy na myśli to: „postrzegam, że 'ten obiekt a jest czerwony'” i jest to niezaprzeczalna-by-3rd-party „prawda”.

PM dalej definiuje rozróżnienie między „sens-datum” i „doznaniem”:

To znaczy, kiedy oceniamy (mówimy) „to jest czerwone”, to co się dzieje jest relacją trzech terminów, umysłu, i „tego”, i „czerwonego”. Z drugiej strony, gdy postrzegamy „czerwoność tego”, zachodzi relacja dwóch terminów, mianowicie umysłu i obiektu złożonego „czerwoność tego” (s. 43-44).

Russell powtórzył swoje rozróżnienie między „sensem-datą” a „doznaniem” w książce The Problems of Philosophy (1912), wydanej w tym samym czasie co PM (1910-1913):

Nadajmy nazwę „sens-data” rzeczom, które są natychmiast poznawane w doznaniu: takim jak kolory, dźwięki, zapachy, twardości, szorstkości itd. Nazwę „sensacja” nadamy doświadczeniu natychmiastowego uświadomienia sobie tych rzeczy… Kolor sam w sobie jest sensem-datum, a nie doznaniem. (s. 12)

Russell opisał dalej swoje rozumowanie stojące za definicjami „prawdy” i „fałszu” w tej samej książce (Rozdział XII, Prawda i fałsz).

Konsekwencje prawa wyłączonego środka w Principia MathematicaEdit

Z prawa wyłączonego środka, formuły ✸2.1 w Principia Mathematica, Whitehead i Russell wyprowadzają niektóre z najpotężniejszych narzędzi w zestawie narzędzi argumentacyjnych logika. (W Principia Mathematica formuły i propozycje są oznaczone gwiazdką i dwiema cyframi, np. „✸2.1”.)

✸2.1 ~p ∨ p „To jest prawo wyłączonego środka” (PM, s. 101).

Dowód ✸2.1 jest z grubsza następujący: „prymitywna idea” 1.08 definiuje p → q = ~p ∨ q. Podstawienie p za q w tej regule daje p → p = ~p ∨ p. Ponieważ p → p jest prawdziwe (to Twierdzenie 2.08, które jest dowodzone osobno), to ~p ∨ p musi być prawdziwe.

✸2.11 p ∨ ~p (Permutacja twierdzeń jest dozwolona przez aksjomat 1.4)
✸2.12 p → ~(~p) (Zasada podwójnej negacji, część 1: jeśli „ta róża jest czerwona” jest prawdziwa, to nie jest prawdą, że „’ta róża nie jest czerwona’ jest prawdziwa”.)
✸2.13 p ∨ ~{~(~p)} (Lemat razem z 2.12 użyty do wyprowadzenia 2.14)
✸2.14 ~(~p) → p (Zasada podwójnej negacji, część 2)
✸2.15 (~p → q) → (~q → p) (Jedna z czterech „Zasad transpozycji”. Podobna do 1.03, 1.16 i 1.17. Tu potrzebna była bardzo długa demonstracja.)
✸2.16 (p → q) → (~q → ~p) (Jeśli prawdą jest, że „Jeśli ta róża jest czerwona to ta świnia lata” to prawdą jest, że „Jeśli ta świnia nie lata to ta róża nie jest czerwona.”)
✸2.17 ( ~p → ~q ) → (q → p) (Kolejna z „Zasad transpozycji”.)
✸2.18 (~p → p) → p (Nazywana „Dopełnieniem reductio ad absurdum”. Stwierdza ono, że teza, która wynika z hipotezy o własnym fałszu, jest prawdziwa” (PM, s. 103-104).)

Większość z tych twierdzeń – w szczególności ✸2.1, ✸2.11 i ✸2.14 – jest odrzucana przez intuicjonizm. Narzędzia te są przekształcone w inną formę, którą Kołmogorow cytuje jako „cztery aksjomaty implikacji Hilberta” i „dwa aksjomaty negacji Hilberta” (Kołmogorow w van Heijenoort, s. 335).

Pozycje ✸2.12 i ✸2.14, „podwójna negacja”:W intuicjonistycznych pismach L. E. J. Brouwera odnoszą się do tego, co nazywa on „zasadą wzajemności gatunków wielokrotnych, to znaczy zasadą, że dla każdego systemu poprawność jakiejś własności wynika z niemożliwości niemożliwości tej własności” (Brouwer, tamże, s. 335).

Zasada ta nazywana jest potocznie „zasadą podwójnej negacji” (PM, s. 101-102). Z prawa wyłączonego środka (✸2.1 i ✸2.11) PM wyprowadza od razu zasadę ✸2.12. Zastępujemy ~p przez p w 2.11, aby otrzymać ~p ∨ ~(~p), a z definicji implikacji (tj. 1.01 p → q = ~p ∨ q) wynika, że ~p ∨ ~(~p)= p → ~(~p). QED (wyprowadzenie 2.14 jest nieco bardziej skomplikowane.)

ReichenbachEdit

Prawdą jest, przynajmniej dla logiki dwuwartościowej – tzn. można to zobaczyć za pomocą mapy Karnaugha – że to prawo usuwa „środek” inkluzywnego-or użytego w jego prawie (3). I to jest właśnie punkt demonstracji Reichenbacha, że niektórzy uważają, że wyłączne-or powinno zająć miejsce inclusive-or.

O tej kwestii (wprawdzie w bardzo technicznych terminach) Reichenbach zauważa:

The tertium non datur 29. (x) nie jest wyczerpująca w swoich głównych pojęciach i dlatego jest formułą zawyżoną. Ten fakt może być może wyjaśniać, dlaczego niektórzy uważają za nierozsądne pisanie (29) z inkluzywnym-’lub’ i chcą, aby było ono pisane ze znakiem ekskluzywnego-’lub’ 30. (x), gdzie symbol „⊕” oznacza wyłączne-or, w której to formie byłoby ono w pełni wyczerpujące, a zatem nomologiczne w węższym sensie. (Reichenbach, s. 376)

W wierszu (30) „(x)” oznacza „dla wszystkich” lub „dla każdego”, forma używana przez Russella i Reichenbacha; dziś symbolika jest zwykle ∀ {\i0}.

x. Przykładowe wyrażenie wyglądałoby więc tak:

• (pig): (Flies(pig) ⊕ ~Flies(pig))
• (For all instances of „pig” seen and unseen): („Pig does fly” lub „Pig does not fly”, ale nie oba jednocześnie)

Logicy kontra IntuicjoniściEdit

Od późnych lat 1800 do 1930, gorzka, uporczywa debata szalała między Hilbertem i jego zwolennikami kontra Hermann Weyl i L. E. J. Brouwer. Filozofia Brouwera, zwana intuicjonizmem, rozpoczęła się na poważnie wraz z Leopoldem Kroneckerem pod koniec XIX wieku.

Hilbert intensywnie nie lubił idei Kroneckera:

Kronecker upierał się, że nie może istnieć byt bez konstrukcji. Dla niego, podobnie jak dla Paula Gordana, dowód Hilberta na skończoność podstawy systemu niezmienników był po prostu nie matematyczny. Hilbert natomiast przez całe życie miał się upierać, że jeśli można udowodnić, że atrybuty przypisane pojęciu nigdy nie doprowadzą do sprzeczności, to tym samym stwierdza się matematyczne istnienie tego pojęcia (Reid s. 34)

Było to jego twierdzenie, że o niczym nie można powiedzieć, że ma matematyczne istnienie, jeśli nie może być faktycznie skonstruowane ze skończonej liczby dodatnich liczb całkowitych (Reid s. 26)

Debata ta miała głęboki wpływ na Hilberta. Reid wskazuje, że drugi problem Hilberta (jeden z problemów Hilberta z Drugiej Międzynarodowej Konferencji w Paryżu w 1900 roku) wyewoluował z tej debaty (kursywa w oryginale):

W swoim drugim problemie Hilbert prosił o matematyczny dowód spójności aksjomatów arytmetyki liczb rzeczywistych. Aby pokazać znaczenie tego problemu, dodał następującą uwagę: „Jeśli pojęciu zostaną przypisane sprzeczne atrybuty, to twierdzę, że matematycznie pojęcie to nie istnieje” (Reid s. 71)

Tak więc Hilbert mówił: „Jeśli p i ~p są zarówno wykazane jako prawdziwe, to p nie istnieje”, a tym samym powoływał się na prawo wyłączonego środka rzucone w formę prawa sprzeczności.

I w końcu konstruktywiści … ograniczyli matematykę do badania konkretnych operacji na skończonych lub potencjalnie (ale nie faktycznie) nieskończonych strukturach; skończone nieskończone całkowitości … zostały odrzucone, podobnie jak pośredni dowód oparty na prawie wyłączonego środka. Najbardziej radykalni wśród konstruktywistów byli intuicjoniści, którym przewodził były topolog L. E. J. Brouwer (Dawson s. 49)

Rozdzierająca debata trwała od początku 1900 do lat 20-tych; w 1927 Brouwer skarżył się na „polemizowanie z nią w szyderczych tonach” (Brouwer w van Heijenoort, s. 492). Ale debata była płodna: zaowocowała Principia Mathematica (1910-1913), a to dzieło dało precyzyjną definicję prawa wyłączonego środka, a wszystko to zapewniło intelektualne otoczenie i narzędzia niezbędne matematykom początku XX wieku:

Z tej awantury, a po części przez nią zrodzonej, wyłoniło się kilka ważnych osiągnięć logicznych…. aksjomatyzacja teorii zbiorów przez Zermelo (1908a) … po której dwa lata później ukazał się pierwszy tom Principia Mathematica …. w którym Russell i Whitehead pokazali jak, poprzez teorię typów, znaczna część arytmetyki może być rozwinięta za pomocą środków logistycznych (Dawson s. 49)

Brouwer zredukował debatę do użycia dowodów zaprojektowanych z „negatywnego” lub „nieistnienia” kontra dowód „konstruktywny”:

Według Brouwera, stwierdzenie, że istnieje obiekt posiadający daną własność oznacza, że i jest udowodnione tylko wtedy, gdy znana jest metoda, która w zasadzie przynajmniej umożliwi znalezienie lub skonstruowanie takiego obiektu…. Hilbert oczywiście się nie zgodził. „czyste dowody istnienia były najważniejszymi punktami zwrotnymi w historycznym rozwoju naszej nauki” – utrzymywał. (Reid s. 155) Brouwer (…) odmówił przyjęcia logicznej zasady wyłączonego środka (…). Jego argument był następujący: „Załóżmy, że A jest stwierdzeniem „Istnieje członek zbioru S posiadający własność P.”. Jeśli zbiór jest skończony, to można – w zasadzie – zbadać każdego członka S i stwierdzić, czy istnieje członek S posiadający własność P lub czy każdemu członkowi S brak własności P. Dla zbiorów skończonych Brouwer akceptował więc zasadę wyłączonego środka jako obowiązującą. Odmówił jej przyjęcia dla zbiorów nieskończonych, ponieważ jeśli zbiór S jest nieskończony, to nie możemy – nawet w zasadzie – zbadać każdego jego elementu. Jeśli w trakcie naszego badania znajdziemy członka zbioru posiadającego własność P, to pierwsza alternatywa jest uzasadniona; ale jeśli nigdy nie znajdziemy takiego członka, to druga alternatywa nadal nie jest uzasadniona. Ponieważ twierdzenia matematyczne są często udowadniane przez stwierdzenie, że ich negacja pociągnęłaby za sobą sprzeczność, ta trzecia możliwość, którą zasugerował Brouwer, podważyłaby wiele z obecnie akceptowanych twierdzeń matematycznych. „Odebranie matematykowi zasady wyłączonego środka”, powiedział Hilbert, „jest tym samym, co … zakazanie bokserowi używania pięści”. „Możliwa strata nie wydawała się przeszkadzać Weylowi… Program Brouwera był rzeczą nadchodzącą, upierał się przy tym wobec swoich przyjaciół w Zurychu.” (Reid, s. 149)}}

W swoim wykładzie w 1941 roku w Yale i następującym po nim referacie Gödel zaproponował rozwiązanie: „że negacja uniwersalnej propozycji miała być rozumiana jako twierdzenie o istnieniu … kontrprzykładu” (Dawson, s. 157))

Podejście Gödla do prawa wyłączonego środka polegało na twierdzeniu, że obiekcje przeciwko „użyciu 'definicji impredicatywnych'” „miały większą wagę” niż „prawo wyłączonego środka i związane z nim twierdzenia rachunku propozycjonalnego” (Dawson s. 156). Zaproponował swój „system Σ … i zakończył wymieniając kilka zastosowań jego interpretacji. Wśród nich był dowód spójności z logiką intuicjonistyczną zasady ~ (∀A: (A ∨ ~A)) (pomimo niespójności założenia ∃ A: ~ (A ∨ ~A)” (Dawson, s. 157)

Debata wydawała się słabnąć: Matematycy, logicy i inżynierowie nadal używają prawa wyłączonego środka (i podwójnej negacji) w swojej codziennej pracy.

Intuicjonistyczne definicje prawa (zasady) wyłączonego środkaEdit

Poniżej podkreślamy głęboki matematyczny i filozoficzny problem kryjący się za tym, co to znaczy „wiedzieć”, a także pomagamy wyjaśnić, co to „prawo” implikuje (tzn. co to prawo naprawdę znaczy). Ich trudności z prawem wynikają z tego, że nie chcą zaakceptować jako prawdziwych implikacji wyciągniętych z tego, co jest nieweryfikowalne (niesprawdzalne, niepoznawalne) lub z tego, co niemożliwe lub fałszywe. (Wszystkie cytaty pochodzą od van Heijenoorta, kursywa dodana).

Brouwer proponuje swoją definicję „zasady wyłączonego środka”; widzimy tu również kwestię „testowalności”:

Na podstawie testowalności, o której przed chwilą była mowa, obowiązuje dla własności pojmowanych w ramach określonego skończonego systemu głównego „zasada wyłączonego środka”, to znaczy zasada, że dla każdego systemu każda własność jest albo poprawna, albo niemożliwa, a w szczególności zasada wzajemności gatunków komplementarnych, to znaczy zasada, że dla każdego systemu poprawność jakiejś własności wynika z niemożliwości niemożliwości tej własności. (335)

Definicja Kołmogorowa powołuje się na dwa aksjomaty negacji Hilberta

1. A → (~A → B)
2. (A → B) → { (~A → B) → B}

Pierwszy aksjomat negacji Hilberta, „wszystko wynika z fałszu”, pojawił się dopiero wraz z powstaniem logiki symbolicznej, podobnie jak pierwszy aksjomat implikacji…. podczas gdy… rozważany aksjomat twierdzi coś o konsekwencjach czegoś niemożliwego: musimy przyjąć B, jeśli prawdziwy sąd A jest uważany za fałszywy… Drugi aksjomat negacji Hilberta wyraża zasadę wyłączonego środka. Zasada ta jest tu wyrażona w postaci, w jakiej jest używana w derywacjach: jeśli B wynika zarówno z A, jak i z ~A, to B jest prawdziwe. Jej zwykła forma, „każdy sąd jest albo prawdziwy, albo fałszywy” jest równoważna tej podanej powyżej”. Z pierwszej interpretacji negacji, to znaczy z zakazu uznawania sądu za prawdziwy, nie można uzyskać pewności, że zasada wyłączonego środka jest prawdziwa… Brouwer pokazał, że w przypadku takich sądów transfinitywnych zasada wyłączonego środka nie może być uznana za oczywistą Przypis 9: „Jest to bardzo proste sformułowanie Leibniza (zob. Nouveaux Essais, IV,2). Sformułowanie „A jest albo B, albo nie-B” nie ma nic wspólnego z logiką sądów. przypis 10: „Symbolicznie druga forma wyraża się w ten sposób A ∨ ~A

, gdzie ∨ oznacza „lub”. Równoważność tych dwóch form jest łatwo udowodniona (str. 421)

.