Operator (matematyka)

wrz 22, 2021

admin

GeometriaEdit

Główne artykuły: ogólna grupa liniowa i izometria

W geometrii, dodatkowe struktury na przestrzeniach wektorowych są czasami badane. Operatory, które odwzorowują takie przestrzenie wektorowe na siebie bijektorowo są bardzo przydatne w tych badaniach, w naturalny sposób tworzą grupy przez złożenie.

Na przykład operatorami bijektorowymi zachowującymi strukturę przestrzeni wektorowej są właśnie odwracalne operatory liniowe. Tworzą one ogólną grupę liniową przez złożenie. Nie tworzą one przestrzeni wektorowej pod dodawaniem operatorów, np. zarówno id, jak i -id są odwracalne (bijective), ale ich suma, 0, nie jest.

Operatory zachowujące metrykę euklidesową na takiej przestrzeni tworzą grupę izometryczną, a te, które ustalają początek, tworzą podgrupę znaną jako grupa ortogonalna. Operatory w grupie ortogonalnej, które również zachowują orientację tupli wektorowych, tworzą specjalną grupę ortogonalną lub grupę obrotów.

Teoria prawdopodobieństwaEdit

Main article: Probability theory

W teorii prawdopodobieństwa występują również operatory, takie jak oczekiwanie, wariancja i kowariancja. Rzeczywiście, każda kowariancja jest w zasadzie iloczynem punktowym; każda wariancja jest iloczynem punktowym wektora z samym sobą, a zatem jest normą kwadratową; każde odchylenie standardowe jest normą (pierwiastek kwadratowy z normy kwadratowej); odpowiadającym cosinusem tego iloczynu punktowego jest współczynnik korelacji Pearsona; wartość oczekiwana jest w zasadzie operatorem całkowym (używanym do pomiaru ważonych kształtów w przestrzeni).

CalculusEdit

Główne artykuły: operator różniczkowy i operator całkowy

Z punktu widzenia analizy funkcjonalnej, rachunek jest badaniem dwóch operatorów liniowych: operatora różniczkowego d d t {{displaystyle {{frac {{mathrm {d} {{mathrm {d} t}}

$frac {{mathrm{d}}}{{mathrm{d}t}}$

, oraz operator Volterry ∫ 0 t {{displaystyle ∫ ∫ 0 t }

$\int_0^t$

Szereg Fouriera i transformata FourieraEdit

Główne artykuły: Szereg Fouriera i transformata Fouriera

Przekształcenie Fouriera jest przydatne w matematyce stosowanej, w szczególności w fizyce i przetwarzaniu sygnałów. Jest to kolejny operator całkowy; jest on przydatny głównie dlatego, że przekształca funkcję w jednej dziedzinie (czasowej) na funkcję w innej dziedzinie (częstotliwościowej), w sposób efektywnie odwracalny. Żadna informacja nie jest tracona, ponieważ istnieje operator transformaty odwrotnej. W prostym przypadku funkcji okresowych, wynik ten wynika z twierdzenia, że każdą ciągłą funkcję okresową można przedstawić jako sumę szeregu sinusów i kosinusów:

f ( t ) = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ a n cos ( ω n t ) + b n sin ( ω n t ) { {displaystyle f(t)={a_{0} ≥2}+sum _{n=1}^{infty }{a_{n} cos(∞) +b_{n} sin(∞) }}

$f(t) = {a_0 ∗ ponad 2} + ∗sum_{n=1}^{infty}{ a_n ∗cos ( ∗ n t ) + b_n ∗sin ( ∗ n t ) } }$

Krotka (a0, a1, b1, a2, b2, …) jest w rzeczywistości elementem nieskończenie wymiarowej przestrzeni wektorowej ℓ2, a zatem szereg Fouriera jest operatorem liniowym.

Gdy mamy do czynienia z ogólną funkcją R → C, transformata przyjmuje postać całkową:

f ( t ) = 1 2 π ∫ – ∞ + ∞ g ( ω ) e i ω t d ω .

$f(t) = {1 \over \sqrt{2 \pi}} \int_{- \infty}^{+ \infty}{g( \omega )e^{ i \omega t } \}.$

Transformata Laplace’aEdit

Main article: Transformata Laplace’a

Transformata Laplace’a jest kolejnym operatorem całkowym i bierze udział w upraszczaniu procesu rozwiązywania równań różniczkowych.

Dając f = f(s), definiuje się ją przez:

F ( s ) = L { f } ( s ) = ∫ 0 ∞ e – s t f ( t ) d t . {F(s)= {{mathcal {L}} {f}(s)= ∫ 0 ∞ e^{-st}f(t)} dt.

F(s)={mathcal {L}}\{f}(s)=int _{0}^{infty }e^{-st}f(t)\,dt.

$\nabla$

) przypisuje w każdym punkcie pola skalarnego wektor, który wskazuje w kierunku największej szybkości zmian tego pola i którego norma mierzy wartość bezwzględną tej największej szybkości zmian.

Div (dywergencja), (z symbolem operatora ∇ ⋅ {displaystyle \nabla \nabla }

Jako rozszerzenie operatorów rachunku wektorowego na fizykę, inżynierię i przestrzenie tensorowe, operatory Grad, Div i Curl są również często związane z rachunkiem tensorowym oraz rachunkiem wektorowym.