$ \\\\P \mathcal P} % power set \f \Leftrightarrow}$

Mapowanie, lub w skrócie mapa, jest jednym z wielu synonimów używanych dla funkcji.W szczególności, termin map(ping) jest używany w ogólnych kontekstach, takich jak teoria zbiorów, ale użycie nie jest ograniczone do tych przypadków.

Koncepcja mapowania w teorii zbiorów

W teorii zbiorów mapowania są specjalnymi relacjami binarnymi.

Odwzorowanie $f$ ze zbioru $A$ do zbioru $B$ jest (uporządkowaną) trójką $ f = (A,B,G_f) $ gdzie $ G_f \zbiór A \tymczasem B \u$ takie, że

• (a) jeśli $ (x,y) $ oraz $ (x,y’) w G_f $ to $ y=y’ $, oraz
• (b) projekcja $ \pi_1 (G_f) = \{ x \mid (x,y) \ w G_f \} = A $.

Warunek (a) wyraża, że $f$ jest jednowartościowy. a warunek (b), że jest zdefiniowany na $A$.

$A$ jest dziedziną, $B$ jest kodomeną, a $G_f$ jest grafem odwzorowania. Dlatego w tym układzie odwzorowania są równe wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie trzy odpowiadające im składniki (dziedzina, kodomena i graf) są równe.
Odwzorowanie jest zwykle oznaczane jako $ f : A do B $, a $ a ™mapsto f(a) $, gdzie $ f(a) := b ™iff (a,b) ™w G_f $ jest wartością $f$ w $a$.

Jeśli dwie odwzorowania $ f_1 = (A_1,B_1,G_1) $ i $ f_2 = (A_2,B_2,G_2) $ spełniają

$ A_1 \subset A_2 $, $ B_1 \subset B_2 $ i $ G_1 \subset G_2 $

to $f_2$ nazywamy rozszerzeniem $ f_1 $, a $ f_1 $ ograniczeniem $f_2$.W tym przypadku $ f_1 $ jest często oznaczane jako $ f_2 $ i, co oczywiste, $ f_1 (a) = f_2 (a) $ zachodzi dla wszystkich $ a w A_1 $.

Uwaga:
Czasami do reprezentacji funkcji używany jest tylko graf $G_f$.W tym przypadku dwa odwzorowania są równe, jeśli mają ten sam graf, a można dopuścić grafy, które nie są zbiorami, lecz klasami.
O ile dziedzinę funkcji można otrzymać jako rzut $ \pi_1 (G_f) $ pierwszego składnika, o tyle rzut $ \pi_2 (G_f) $ drugiego składnika nie daje kodomeny, a jedynie obraz dziedziny.Zatem pojęcie surjektywności nie ma zastosowania.

Kompozycja

Dwa odwzorowania mogą być złożone, jeśli kodomena jednego odwzorowania jest podzbiorem dziedziny drugiego odwzorowania:

Dla $ f=(A,B,G_f) $ i $ g=(C,D,G_g) $ przy $ B rzedziale C $ kompozycja $ g rzedziału f $ jest odwzorowaniem $ (A,D,G) $ z

$ G := \{ (a,g(f(a))) \mid a \in A \} = \{ (a,c) \mid (\exists b \in B) ( (a,b) \in G_f \land (b,c) \in G_g ) \} $.

Uwagi:
(a) Warunek $ B \subset C $ można zrelaksować do $ f(A) \subset C $.
(b) Jeśli używa się tylko grafów, to graf kompozycji definiuje się (jak wyżej) przez

$ G_{g \circ f} := \{ (a,c) \mid (\exists b ) ( (a,b) \in G_f \land (b,c) \in G_g ) \} $

ale może okazać się pusta.

Mapowania indukowane

Każde odwzorowanie $ f : A do B $ indukuje dwa odwzorowania między zbiorami potęgowymi $ P(A)$ i $ P(B)$.

$ f_\ast : \P(A) \ do \P(B) $ zdefiniowane przez $ f_\ast (S) := \{ f(a) \mid a \ w S \}$ dla $ S \zbioru A $

i

$ f^\ast : \P(B) \ do \P(A) $ zdefiniowane przez $ f^\ast (T) := \{ a \mid f(a) \ w T \}$ dla $ T \ podzbioru B $

$ f_ast (S) $ nazywamy obrazem $S$ pod $f$, oznaczanym zwykle jako $f(S)$, a $ f^ast (T) $ nazywamy odwrotnym obrazem $T$ pod $f$, oznaczanym zwykle jako $f^{-1}(T)$,ale trzeba mieć świadomość, że te potoczne notacje mogą być w pewnych sytuacjach niejednoznaczne.