Matematyka
Inspiracja, matematyka czysta, stosowana i estetykaEdit
Jest całkiem możliwe, że sztuka rachunku została rozwinięta jeszcze wcześniej niż pisanie, odnosząc się przede wszystkim do księgowości i zarządzania nieruchomościami, handlu, w geodezji, a później w astronomii.
Dziś wszystkie nauki wnoszą problemy, które są badane przez matematyków, a nowe problemy pojawiają się w samej matematyce. Na przykład fizyk Richard Feynman zaproponował całkę ścieżkową jako podstawę mechaniki kwantowej, łącząc rozumowanie matematyczne z podejściem fizycznym, ale w pełni zadowalająca definicja w kategoriach matematycznych nie została jeszcze osiągnięta. Podobnie, teoria strun, rozwijająca się teoria naukowa, która próbuje zjednoczyć cztery podstawowe siły fizyki, nadal inspiruje większość współczesnej matematyki.
Niektóre matematyki są istotne tylko dla dziedziny, w której zostały zainspirowane i są stosowane do innych problemów w tej dziedzinie. Często jednak matematyka inspirowana daną dziedziną jest przydatna w wielu dziedzinach i mieści się w przyjętych ogólnych pojęciach matematycznych. Niezwykły fakt, że nawet najczystsza matematyka ma zwykle zastosowania praktyczne, jest tym, co Eugene Wigner określił jako „nieuzasadnioną skuteczność matematyki w naukach przyrodniczych”.
Jak w większości dziedzin nauki, eksplozja wiedzy w epoce naukowej doprowadziła do specjalizacji matematyki. Istnieje ważne rozróżnienie między czystą matematyką a matematyką stosowaną. Większość matematyków badawczych koncentruje się tylko na jednym z tych obszarów, a czasami wybór jest dokonywany w momencie rozpoczęcia studiów. Kilka dziedzin matematyki stosowanej połączyły się z innymi dziedzinami tradycyjnie poza matematyką i stały się niezależnymi dyscyplinami, takimi jak statystyka, badania operacyjne lub informatyka.
Tych, którzy mają upodobanie do matematyki znaleźć, że aspekt estetyczny przeważa, który określa większość matematyki. Wielu matematyków mówi o elegancji matematyki, jej wewnętrznej estetyce i wewnętrznym pięknie. Ogólnie rzecz biorąc, jednym z jego najbardziej cenionych aspektów jest jego prostota. Jest piękno w prostym i mocnym dowodzie, takim jak dowód Euklidesa na istnienie nieskończenie wielu liczb pierwszych, i w eleganckiej analizie numerycznej, która przyspiesza obliczenia, a także w szybkiej transformacie Fouriera. G. H. Hardy w A Mathematician’s Apology wyraził przekonanie, że te względy estetyczne są same w sobie wystarczającym uzasadnieniem dla studiowania czystej matematyki. Matematycy często starają się znaleźć dowody twierdzeń, które są szczególnie eleganckie. Ekscentryczny matematyk Paul Erdős nazwał ten fakt poszukiwaniem dowodów „Księgi”, w której Bóg zapisał swoje ulubione dowody. Popularność matematyki rekreacyjnej jest kolejnym przejawem przyjemności płynącej z rozwiązywania pytań matematycznych.
Notacja, język i rygorEdit
Większość używanej dziś notacji matematycznej została wynaleziona dopiero w XVIII wieku. Wcześniej matematyka była zapisywana słowami, co było żmudnym procesem, który ograniczał postęp matematyczny. W 18 wieku, Euler, był odpowiedzialny za wiele z notacji używanych dzisiaj. Nowoczesna notacja czyni matematykę znacznie łatwiejszą dla profesjonalistów, ale skomplikowaną dla początkujących. Notacja redukuje matematykę do minimum, sprawiając, że niektóre symbole zawierają dużą ilość informacji. Podobnie jak notacja muzyczna, współczesna notacja matematyczna ma ścisłą składnię i koduje informacje, które trudno byłoby zapisać w inny sposób.
Język matematyczny może być również trudny dla początkujących. Słowa takie jak or i only mają bardziej precyzyjne znaczenie niż w języku potocznym. Ponadto, słowa takie jak open i body mają bardzo konkretne matematyczne znaczenia. Żargon matematyczny, czyli język matematyczny, zawiera terminy techniczne, takie jak homeomorfizm czy całkowanie. Powodem konieczności stosowania notacji i żargonu jest to, że język matematyczny wymaga większej precyzji niż język potoczny. Matematycy określają tę precyzję w języku i logice jako „rygor”.
Rygor jest niezbędnym warunkiem, który musi spełniać dowód matematyczny. Matematycy chcą, aby ich twierdzenia z aksjomatów były zgodne z systematycznym rozumowaniem. Służy to unikaniu błędnych twierdzeń, opartych na zawodnych intuicjach, które zdarzały się już kilkakrotnie w historii tej nauki. Poziom rygoru oczekiwanego w matematyce zmieniał się w czasie: Grecy poszukiwali szczegółowych argumentów, ale w czasach Isaaca Newtona stosowane metody były mniej rygorystyczne. Nieodłączne problemy z definicjami stosowanymi przez Newtona doprowadziły w XIX wieku do odrodzenia się starannej analizy i oficjalnych demonstracji. Teraz matematycy nadal wspierają się wzajemnie poprzez demonstracje wspomagane komputerowo.
Aksjomat jest tradycyjnie interpretowany jako „oczywista prawda”, ale ta koncepcja jest problematyczna. W sferze formalnej aksjomat to nic innego jak ciąg symboli, który ma wewnętrzne znaczenie tylko w kontekście wszystkich formuł wyprowadzonych z systemu aksjomatycznego.
Matematyka jako naukaEdit
Carl Friedrich Gauss określał matematykę jako „królową nauk”. Zarówno w oryginalnym łacińskim Scientiārum Regīna, jak i w niemieckim Königin der Wissenschaften, słowo nauka należy interpretować jako (dziedzinę) wiedzy. Jeśli nauka jest uważana za badanie świata fizycznego, to matematyka, a przynajmniej czysta matematyka, nie jest nauką.
Wielu filozofów uważa, że matematyka nie jest eksperymentalnie falsyfikowalna i dlatego nie jest nauką zgodnie z definicją Karla Poppera. Jednak w latach 30. ważne prace z zakresu logiki matematycznej pokazały, że matematyki nie da się zredukować do logiki, a Karl Popper doszedł do wniosku, że „większość teorii matematycznych jest, podobnie jak teorie fizyki i biologii, hipotetyczno-dedukcyjna”. W ten sposób czysta matematyka zbliżyła się do nauk przyrodniczych, których hipotezy są przypuszczeniami, jak to było do tej pory”. Inni myśliciele, zwłaszcza Imre Lakatos, wzywali do przyjęcia wersji falsyfikacjonizmu dla samej matematyki.
Alternatywny pogląd głosi, że pewne dziedziny nauki (takie jak fizyka teoretyczna) są matematyką z aksjomatami, które rzekomo odpowiadają rzeczywistości. W rzeczywistości fizyk teoretyczny J. M. Ziman proponuje, aby nauka była „wiedzą publiczną” i dlatego obejmuje matematykę. W każdym razie matematyka ma wiele wspólnego z wieloma dziedzinami nauk fizycznych, zwłaszcza z badaniem logicznych konsekwencji hipotez. Intuicja i eksperyment również odgrywają ważną rolę w formułowaniu przypuszczeń w matematyce i innych naukach. Matematyka eksperymentalna nadal zyskuje reprezentację w matematyce. Obliczenia i symulacje odgrywają coraz większą rolę zarówno w naukach ścisłych, jak i w matematyce, łagodząc zarzut, że matematyka nie wykorzystuje metody naukowej. W 2002 roku Stephen Wolfram argumentuje w swojej książce A New Kind of Science, że matematyka obliczeniowa zasługuje na empiryczne badanie jako dziedzina naukowa.
Poglądy matematyków na tę kwestię są bardzo zróżnicowane. Wielu matematyków uważa, że nazywanie ich dziedziny nauką oznacza zminimalizowanie znaczenia jej profilu estetycznego, a także zaprzeczenie jej historii w ramach siedmiu sztuk wyzwolonych. Inni uważają, że ignorowanie jej związku z naukami ścisłymi oznacza ignorowanie oczywistego związku między matematyką a jej zastosowaniami w nauce i inżynierii, co w znacznym stopniu przyczyniło się do rozwoju matematyki. Inną kwestią dyskusyjną, która wiąże się nieco z poprzednią, jest to, czy matematyka została stworzona (jako sztuka), czy odkryta (jako nauka). Jest to jedno z wielu zagadnień, którymi zajmuje się filozofia matematyki.
Nagrody matematyczne są na ogół oddzielone od ich odpowiedników w naukach ścisłych. Najbardziej prestiżowa nagroda w matematyce, Medal Fieldsa, została ustanowiona w 1936 roku i jest przyznawana co cztery lata. Jest ona często uznawana za odpowiednik Nagrody Nobla w dziedzinie nauki. Inne nagrody to Wolf Prize in mathematics, ustanowiona w 1978 r., która honoruje osiągnięcia matematyków za całokształt ich pracy, oraz Abel Prize, kolejna ważna nagroda międzynarodowa, wprowadzona w 2003 r. Te dwie ostatnie przyznawane są za wybitne prace, którymi mogą być przełomowe badania lub rozwiązanie wybitnego problemu w danej dziedzinie. Słynna lista tych 23 nierozwiązanych problemów, zwana „Problemami Hilberta”, została sporządzona w 1900 roku przez niemieckiego matematyka Davida Hilberta. Lista ta stała się bardzo popularna wśród matematyków, a co najmniej dziewięć z tych problemów zostało już rozwiązanych. Nowa lista siedmiu podstawowych problemów, zatytułowana „Problemy milenijne”, została opublikowana w 2000 roku. Rozwiązanie każdego z problemów zostanie nagrodzone kwotą 1 miliona dolarów. Co ciekawe, tylko jedna z nich (hipoteza Riemanna) pojawia się na obu listach.