ProblemEdit

Przemyślenie Poincarégo, zaproponowane przez francuskiego matematyka Henri Poincarégo w 1904 roku, było jednym z kluczowych problemów w topologii. Każda pętla na 3-sferze – czego przykładem jest zbiór punktów w odległości 1 od początku w czterowymiarowej przestrzeni euklidesowej – może zostać skurczona do punktu. Domniemanie Poincarégo głosi, że każda zamknięta trójwymiarowa rozmaitość, w której każda pętla może być skurczona do punktu, jest topologicznie 3-sferą. Od 1960 roku wiadomo, że analogiczny wynik jest prawdziwy w wymiarach większych lub równych pięciu, jak w pracy Stephena Smale’a. Czterowymiarowy przypadek opierał się dłużej, w końcu został rozwiązany w 1982 roku przez Michaela Freedmana. Jednak przypadek trzech rozmaitości okazał się najtrudniejszy z nich wszystkich. Z grubsza rzecz ujmując, dzieje się tak dlatego, że w topologicznym manipulowaniu trójpłaszczyznowym obiektem jest zbyt mało wymiarów, by można było usunąć „problematyczne regiony” z drogi bez ingerencji w coś innego. Najbardziej fundamentalny wkład w sprawę trójwymiarowości wniósł Richard S. Hamilton. Rolą Perelmana było dokończenie programu Hamiltona.

Dowód PerelmanaEdit

W listopadzie 2002 roku Perelman zamieścił w arXiv pierwszy z trzech preprintów, w którym twierdził, że nakreślił dowód domniemania geometryzacji, którego szczególnym przypadkiem jest domniemanie Poincarégo. Następnie w 2003 roku ukazały się dwa inne przedruki.

Perelman zmodyfikował program Richarda S. Hamiltona dotyczący dowodu tego przypuszczenia. Centralną ideą jest pojęcie przepływu Ricci’ego. Podstawowym pomysłem Hamiltona jest sformułowanie „procesu dynamicznego”, w którym dana trójpłaszczyznowość ulega geometrycznemu zniekształceniu, przy czym procesem zniekształcania rządzi równanie różniczkowe analogiczne do równania ciepła. Równanie ciepła (które dużo wcześniej zmotywowało Riemanna do sformułowania hipotezy Riemanna na temat zer funkcji zeta) opisuje zachowanie wielkości skalarnych, takich jak temperatura. Zapewnia ono, że skupiska podwyższonej temperatury będą się rozprzestrzeniać, aż do osiągnięcia jednolitej temperatury w całym obiekcie. Podobnie, przepływ Ricciego opisuje zachowanie się wielkości tensorowej, tensora krzywizny Ricciego. Hamilton miał nadzieję, że pod działaniem przepływu Ricciego skupiska dużych krzywizn będą się rozprzestrzeniać aż do osiągnięcia jednolitej krzywizny w całym trójpłaszczyznowym obiekcie. Jeśli tak, to jeśli zaczniemy od dowolnej trójpłaszczyznowej struktury i pozwolimy na przepływ Ricciego, to w zasadzie powinniśmy w końcu otrzymać pewnego rodzaju „formę normalną”. Według Williama Thurstona ta normalna forma musi przyjąć jedną z niewielkiej liczby możliwości, z których każda ma inny rodzaj geometrii, zwanych geometriami modelu Thurstona.

Powszechnie oczekiwano jednak, że proces ten będzie utrudniony przez rozwijające się „osobliwości”. W latach 90-tych Hamilton poczynił postępy w zrozumieniu możliwych typów osobliwości, które mogą wystąpić, ale nie był w stanie przedstawić ich wyczerpującego opisu. Artykuły Perelmana zarysowały rozwiązanie tego problemu. Według Perelmana każda osobliwość wygląda albo jak walec zapadający się do swojej osi, albo jak kula zapadająca się do swojego środka. Dzięki temu Perelman był w stanie skonstruować modyfikację standardowego przepływu Ricciego, zwaną przepływem Ricciego z chirurgią, która może systematycznie i w kontrolowany sposób usuwać obszary osobliwe w miarę ich powstawania. Pomysł na przepływ Ricciego z chirurgią był obecny od artykułu Hamiltona z 1993 roku, który przeprowadził go z powodzeniem w 1997 roku na przestrzeniach o wyższych wymiarach, podlegających pewnym ograniczonym warunkom geometrycznym. Procedura chirurgiczna Perelmana była zasadniczo podobna do Hamiltona, ale była uderzająco różna w swoich technicznych aspektach.

Perelman pokazał, że każda osobliwość, która rozwija się w skończonym czasie jest zasadniczo „uszczypnięciem” wzdłuż pewnych sfer odpowiadających pierwszorzędnym rozkładom trójpłaszczyznowym. Ponadto, wszelkie osobliwości „w nieskończonym czasie” wynikają z pewnych zapadających się fragmentów rozkładu JSJ. Praca Perelmana dowodzi tego twierdzenia i tym samym dowodzi przypuszczenia o geometryzacji.

Treść tych trzech prac jest streszczona poniżej:

• Pierwszy preprint, The entropy formula for the Ricci flow and its geometric applications, dostarcza wielu nowych technik w badaniu przepływu Ricciego, którego głównym wynikiem jest twierdzenie dające ilościową charakterystykę regionów o wysokiej krzywiźnie przepływu.
• Trzeci preprint, Finite extinction time for the solutions to the Ricci flow on certain three-manifolds, przedstawia skrót do dowodu domysłu Poincarégo, który pozwala uniknąć argumentów w drugiej połowie drugiego preprintu. Pokazuje on, że na dowolnej przestrzeni spełniającej założenia domysłu Poincarégo, przepływ Ricciego z operacjami istnieje tylko dla skończonego czasu, tak że nieskończenie czasowa analiza przepływu Ricciego jest nieistotna.

Tobias Colding i William Minicozzi II dostarczyli całkowicie alternatywny argument do trzeciego preprintu Perelmana. Ich argument, biorąc pod uwagę warunek wstępny w postaci pewnych wyrafinowanych argumentów z geometrycznej teorii miary, rozwiniętych w latach osiemdziesiątych, jest szczególnie prosty.

WeryfikacjaEdit

Perelmana preprinty szybko zyskały uwagę społeczności matematycznej, chociaż były powszechnie postrzegane jako trudne do zrozumienia, ponieważ były napisane nieco zwięźle. Wbrew stylowi typowemu dla akademickich publikacji matematycznych, pominięto w nich wiele szczegółów technicznych. Wkrótce okazało się, że Perelman wniósł istotny wkład w podstawy przepływu Ricci’ego, choć nie od razu było jasne dla społeczności matematycznej, że wkład ten był wystarczający do udowodnienia domysłu geometryzacji lub domysłu Poincarégo.

W kwietniu 2003 roku Perelman odwiedził Massachusetts Institute of Technology, Princeton University, Stony Brook University, Columbia University i New York University, aby wygłosić krótkie serie wykładów na temat swojej pracy i wyjaśnić niektóre szczegóły ekspertom w odpowiednich dziedzinach.

W czerwcu 2003 roku Bruce Kleiner i John Lott, obaj z University of Michigan, zamieścili notatki na stronie internetowej Lott’a, które, sekcja po sekcji, wypełniły wiele szczegółów w pierwszym preprintze Perelmana. We wrześniu 2004 r. ich notatki zostały zaktualizowane o drugi przedruk Perelmana. Po dalszych zmianach i korektach, 25 maja 2006 r. zamieścili wersję w arXiv, której zmodyfikowana wersja została opublikowana w czasopiśmie naukowym Geometry & Topology w 2008 r. Na Międzynarodowym Kongresie Matematyków w 2006 roku Lott powiedział: „Zajęło nam trochę czasu, aby zbadać pracę Perelmana. Wynika to po części z oryginalności pracy Perelmana, a po części z technicznego wyrafinowania jego argumentów. Wszystko wskazuje na to, że jego argumenty są poprawne.” We wstępie do swojego artykułu Kleiner i Lott wyjaśnili

Dowody Perelmana są zwięzłe i, czasami, szkicowe. Celem tych uwag jest dostarczenie szczegółów, których brakuje w … Jeśli chodzi o dowody, zawierają pewne błędne stwierdzenia i niekompletne argumenty, na które staraliśmy się zwrócić uwagę czytelnika. (Niektóre z błędów w zostały poprawione w .) Nie znaleźliśmy żadnych poważnych problemów, to znaczy takich, które nie mogą być poprawione przy użyciu metod wprowadzonych przez Perelmana.

W czerwcu 2006 roku w Asian Journal of Mathematics ukazał się artykuł Zhu Xipinga z Sun Yat-sen University w Chinach i Huai-Dong Cao z Lehigh University w Pensylwanii, podający kompletny opis dowodu Perelmana na twierdzenia Poincarégo i twierdzenia o geometrii. W odróżnieniu od artykułu Kleinera i Lotta, który był zbiorem przypisów do prac Perelmana, artykuł Cao i Zhu był bezpośrednio ukierunkowany na wyjaśnienie dowodu twierdzenia Poincarégo i twierdzenia o geometrii. We wstępie wyjaśniają

W niniejszym artykule przedstawimy teorię Hamiltona-Perelmana przepływu Ricci’ego. W oparciu o nią, podamy pierwszy pisemny dowód kompletnego twierdzenia Poincarégo i twierdzenia Thurstona o geometryzacji. Chociaż kompletna praca jest wynikiem wysiłków wielu analityków geometrii, głównymi autorami są bezsprzecznie Hamilton i Perelman. W tym artykule przedstawimy kompletne i szczegółowe dowody, szczególnie pracy Perelmana w jego drugiej pracy, w której wiele kluczowych idei dowodów jest naszkicowanych lub zarysowanych, ale często brakuje pełnych szczegółów dowodów. Jak zaznaczyliśmy wcześniej, musieliśmy zastąpić kilka kluczowych argumentów Perelmana nowymi podejściami opartymi na naszych badaniach, ponieważ nie byliśmy w stanie zrozumieć tych oryginalnych argumentów Perelmana, które są niezbędne do ukończenia programu geometrii.

W lipcu 2006 roku John Morgan z Columbia University i Gang Tian z Massachusetts Institute of Technology zamieścili na arXiv pracę, w której szczegółowo przedstawili dowód Perelmana dotyczący domysłu Poincarégo. W odróżnieniu od ekspozycji Kleiner-Lott i Cao-Zhu, praca Morgana i Tiana dotyczy także trzeciej pracy Perelmana. 24 sierpnia 2006 roku Morgan wygłosił na ICM w Madrycie wykład na temat domysłu Poincarégo, w którym oświadczył, że praca Perelmana została „dokładnie sprawdzona”. W 2008 roku Morgan i Tian opublikowali artykuł, w którym przedstawili szczegóły dowodu twierdzenia o geometrii. Dwa artykuły Morgana i Tiana zostały opublikowane w formie książkowej przez Clay Mathematics Institute.

Rewizje weryfikacjiEdit

Wszystkie trzy powyższe ekspozycje zostały zrewidowane po publikacji. Ekspozycje Kleiner-Lott i Morgan-Tian okazały się mieć błędy (które nie miały wpływu na duży zakres), podczas gdy ekspozycja Cao-Zhu przyciągnęła krytykę za ich frazowanie i za błąd atrybucyjny.

Od czasu publikacji, artykuł Kleiner i Lott był następnie dwukrotnie rewidowany w celu wprowadzenia poprawek, takich jak błędne stwierdzenie ważnego „twierdzenia zwartości” Hamiltona dla przepływu Ricci’ego. Ostatnia rewizja ich artykułu miała miejsce w 2013 roku. W 2015 roku Abbas Bahri zwrócił uwagę na błąd w ekspozycji Morgana i Tiana, który został później poprawiony przez Morgana i Tiana i sprowadzony do podstawowego błędu obliczeniowego.

Praca Cao i Zhu została poddana krytyce ze strony niektórych części społeczności matematycznej za ich wybory słów, które niektórzy obserwatorzy zinterpretowali jako przypisywanie sobie zbyt dużych zasług. Szczególnie krytykowano użycie słowa „zastosowanie” w tytule pracy „A Complete Proof of the Poincaré and Geometrization Conjectures – Application of the Hamilton-Perelman Theory of Ricci Flow” oraz zdanie „This proof should be considered as the crowning achievement of the Hamilton-Perelman theory of Ricci flow” w abstrakcie. Zapytany o tę kwestię Perelman stwierdził, że Cao i Zhu nie wnieśli nic oryginalnego, a jedynie przerobili jego dowód, ponieważ „nie do końca zrozumieli argumentację”. Dodatkowo, jedna ze stron artykułu Cao i Zhu była zasadniczo identyczna z tą z postu Kleinera i Lott’a z 2003 roku. W opublikowanej erracie Cao i Zhu przypisali to przeoczeniu, twierdząc, że w 2003 roku zrobili notatki z początkowej wersji notatek Kleinera i Lotta, a w swojej pracy z 2006 roku nie zdawali sobie sprawy z właściwego źródła tych notatek. Zamieścili poprawioną wersję na arXiv z poprawkami w ich sformułowaniach i na odpowiedniej stronie dowodu.

Aktualne punkty widzeniaEdit

Od 2020 roku, pozostają niektórzy matematycy, którzy, mimo że powszechnie uznaje się, że Perelman poczynił ogromne postępy w teorii przepływu Ricci’ego, nie akceptują faktu, że przypuszczenia Poincarégo i geometrii zostały udowodnione. Dla tych obserwatorów, kłopotliwe części dowodu znajdują się w drugiej połowie drugiego preprintu Perelmana. Na przykład, medalista Fieldsa Shing-Tung Yau powiedział w 2019 roku, że

Although it may be heresy for me to say this, I am not certain that the proof is totally nailed down. Jestem przekonany, jak już wielokrotnie mówiłem, że Perelman wykonał genialną pracę dotyczącą powstawania i struktury osobliwości w przestrzeniach trójwymiarowych – pracę, która rzeczywiście była godna przyznanego mu Medalu Fieldsa. Nie mam co do tego żadnych wątpliwości. Rzecz w tym, że jest bardzo niewielu ekspertów w dziedzinie przepływu Ricciego i nie spotkałem jeszcze nikogo, kto twierdziłby, że w pełni rozumie ostatnią, najtrudniejszą część dowodu Perelmana. O ile mi wiadomo, nikt nie wykorzystał technik wprowadzonych przez Perelmana pod koniec jego pracy i nie użył ich z powodzeniem do rozwiązania jakiegokolwiek innego ważnego problemu. To sugeruje mi, że inni matematycy również nie mają jeszcze pełnej kontroli nad tą pracą i jej metodologią.

Dla kontrastu, kiedy nagroda milenijna została przyznana Perelmanowi za „rozwiązanie domysłu Poincarégo” w 2010 roku, medalista Fieldsa Simon Donaldson, w jednej z laudacji do nagrody, powiedział

Od czasu, kiedy pojawiły się preprinty dotyczące domysłów Poincarégo i geometrii, matematycy na całym świecie zjednoczyli się w wyrażaniu uznania, podziwu i zdumienia wobec jego niezwykłego osiągnięcia i wierzę, że przemawiam tu jako przedstawiciel całej naszej wspólnoty intelektualnej. Rozwiązuje ono wybitny, stuletni, problem.

.